数学区间问题教法探析

摘要：区间问题在高中数学教学中具有很重要的意义，它覆盖面广，演绎繁多，且应用灵活，能从它派生出许多复杂问题。文中阐述了区间概念在教学中的矛盾，运用问题教学法使学生弄通区间概念的几点措施，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

关键词：区间概念；重要性；措施；方法

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）51-0081-03

一、基本概念

（一）区间的定义

初等代数定义为一个数集。指包含在特定的两个实数之间的所有数，可能同时包含这两个数。区间是一种数的表现形式。在高等数学中定义为分配给对象（如表）的任何连续块叫区间，区间也叫拓展。因为当它用完已经分配的区间后，还有新的记录插入，就必须在分配的新区间延伸拓展一些块。

（二）区间的分类

区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括。在界值上分为：①开区间，例如：{x|a

（三）区间的运算

区间计算是数值分析上计算含误差的工具，其运算法则如下：

1.加法法则：[a，b]+[a，d]=[a+c，b+d]。

2.减法法则：[a，b]-[c，d]=[a-c，b-d]。

3.乘法法则：[a，b]×[c，d]=[min（ac，ad，bc，bd），max（ac，ad，bc，bd）]。

4.除法法则：[a，b]÷[c，d]=[min（■，■，■，■），max（■，■，■，■）]。

加法乘法符合交换律，结合律，子分配律，集X（Y+Z）是 XY+XZ的子集，在几何上用图论反映为微分流形，映射变换。

二、区间概念的重要性

1.区间概念的覆盖面广，在高中数学代数上包括定义域值域表示法、不等式解集表示法、单调区间、零点区间、极值区间、收敛区间、连续区间等等；在几何上有二面角范围、向量夹角范围、三角函数线范围及微分中值定理等等。因为外延广，影响数学体系的知识迁移，影响数学的衔接与交汇，必须循序渐进。

2.区间的演绎繁多，区间是确定性与不确性、连续与间断、可测与不可测、收敛与发散的矛盾统一体，影响函数的连续性、可微性、收敛性、单调性、奇偶性。其融严谨性、确定性、概括性于一体，是初等数学与高等数学的奠基石，在数学教学中要充分揭示概念内涵与外延，综合把握运算规律。

3.区间的运用范围广，区间数学在化学酸碱性界定上应用多。在国防炸弹半径设计上，精确制导上更是应该首要研究的。在汽车工程应用中运用广泛，在彩票中注中也需着重考虑，要多做研究性课题。

三、区间概念在高中数学教学中的矛盾

区间概念拓展是一种系统程序，是一种深奥的过程，当前高中区间概念在数学中普遍存在如下四种矛盾：

1.不能处理区间概念的数与形的结合。如：点P∈{（x，y，z）|x2+y2=1，0≤z≤1}，求P点轨迹图形的表面积，学生受空间想象力的制约，很难作出几何图形。

2.不能严谨区分开区间与闭区间的异同。如：y=a|x|与y=x+a总有两个交点，求a的范围，常常使用闭区间表示。

3.不能理解对称区间的图象性质。如：f（x）=mx2+nx+1在 x∈[m+2，m+4]上为偶函数，求f（x）的值域。

4.不能灵活解决区间建模问题。

四、弄通区间概念的措施

区间虽然是一种简单的数集，明确的线段、射线、矩形域等，但因其外延广、应用广，学生很难系统地掌握概念，笔者综合新课程内容谈几点教法。

1.结合区间概念确定参数范围。如[2m，m+1]=[-1，1]，求m范围，理解区间特定排序规律。

2.结合函数奇偶性在对称区间存在的前提，提高学生数形结合能力。例如闭区间[a，a+2]的偶函数y=ax2+2x+a，求函数值域。通过此题深化奇偶函数中区间对称性的认识，同时加深对函数介值定理的理解。（函数介值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]连续，m与M分别是函数f（x）在闭区间[a，b]的最小值与最大值，g是m与M之间任意数（即m≤g≤M），则在闭区间[a，b]至少存在点C，使f（c）=g。）

3.结合函数在特定区间有意义的提前求函数定义域。例如求y=■的定义域。综合不等式条件，综合根式函数性质、对数函数性质，确定定义域为（■，1]，在运算中求区间。又如已知函数f（x）定义域为[-1，1]，求f（2x）定义域。通过换元变换，求得复合函数定义域为[-■，■]，加深对定义域的运算理解，在具体例题中抽象出区间的内涵。

4.通过求值域提高区间问题计算能力。如求函数y=■值域，通过函数原始概念，采用判别式法，变式为：yx2+y=x2+x+1，判别式非负，得值域为[■，■]，又如设函数 f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]最小值为g（t），求g（t）表达式，使学生提高分类解题的能力。

5.结合函数在区间的单调性，求单调区间。例如求函数y=x2-2|x|-3的单调区间，通过二次函数图象再现，使学生在推理、作图中求得增区间为[-1，0]，[1，+∞）。

6.结合函数在区间上的周期性，加强区间与周期的内在逻辑联系的理解。例如：定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k），（k∈Z）且当x∈（0，1）时，f（x）=■，求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）的解析式，证明f（x）在（0，1）上为减函数，探悉周期为2，利用周期性及奇函数对称规律求得周期函数表达式，通过周期性揭示区间的周期规律。

7.结合区间的封闭性提高学生逻辑思维。（1）结合区间的分类严谨性，提高学生思维的判断性、概括性。例如：已知不等式x2-ax-8≥0与x2-2ax+b

（2）结合区间的连续性，对称不等式规律，确定参数，把握运算规律，提高分析能力。例如：二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（-1）=0，且对任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈[0，2]时，f（x）≤■，求f（1）。通过恒成立问题，利用夹逼定理，确定参数，提高学生综合运算能力。

（3）通过零点定理，确定方程根存在的范围。（引理：零点定理，若函数f（x）在闭区间[a，b]连续，且f（a）f（b）

A.？摇（1，2） ？摇B.（2，3）？摇 ？摇C.（1，■） ？摇？摇D.（e，+∞）

解析：f（1）=-2

通过零点定理，理解方程根的分布，从而求得方程的近似解，使学生加深对二分法的理解。

（4）结合区间的连续性，分清左连续与右连续及可导与可微。定义：设函数在以a为左端点的区间有定义，■f（x）=f（a）=f（a+0），则称函数f（x）在a右连续。

例f（x）=■ x≠4A x=4函数f（x）能连续开拓，求A。

解得A=8，通过区间在连续性上的间断点，确定参数，分清区间的左右连续特征。

五、总结

区间既是一种符号，更是一种深奥的数学语言，在使用上有严格的区分度，在解题上更有逻辑性，在教学中切实做到严谨性与量力性相结合，运用恰当方法，提高学生分析问题与解决问题的能力，在区间教学中开阔学生知识视野。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]陈兴祥.学海导航高一数学[M].海南：海南出版社，2011.

[3]刘义军.高中教学同步辅导数学高一（上）[M].海南：海南出版社.

作者简介：黄咏梅（1968-），女，现中南大学附属铁道中学数学中级教师，曾多次评为优秀教师，国家级奥数教练，曾在《中学数学》、《中学数学教学参考》发表过论文。