如何搞好二轮复习

第二轮复习，是高考备考过程中不可缺少的重要一环.如何使教材知识点面结合，如何使考点连点成面，连面成线，归纳和梳理相关知识，对热点知识、重点专题进行整合、归类训练，是摆在第二轮复习面前的首要课题.本文主要针对整个高中数学重要知识点的归纳、提炼、阐释以及对2008年高考预测而组织的，共分6个专题：

一、函数与导数：

函数这部分内容，几乎涉及到中学里所学的数学思想方法，例如：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想.函数的解题方法，用到了很多典型的基本方法，例如：配方法、待定系数法、数学归纳法、换元法、消元法、反证法等.

复习时首先要重视基础，基础知识的掌握要全面，其次要注意函数图像的平移变换、伸缩变换、对称变换以及函数图像的翻折变换，这些都是高考出现频率高的问题，应熟练掌握.

有关函数的综合问题一般难度较大，失分较严重，要增加复习力度，要重视有关一次函数、二次函数、指数与对数函数的综合问题，重视应用问题中函数模型的构建，要掌握用解析几何的思想和方法解决代数问题，掌握用导数方法研究函数的性质及解决实际问题的方法.

例1 （2007年山东高考题）设函数f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0．

（Ⅰ）当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln( +1)> - 都成立．

解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(-1,+∞)，f′(x)=2x+ = .设g(x)=2x2-2x+b，其图象的对称轴为x= - ∈(-1,+∞)，

g(x)min=g(- )=- +b．当b> 时，g(x)min=- +b>0，

即g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立，

当x∈(-1,+∞)时，f′(x)>0,当b> 时，函数f(x)在定义域(-1,+∞)上单调递增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当b> 时，函数f(x)无极值点．

②b= 时，f′(x)= =0有两个相同的解x=- ，

x∈(-1,- )时，f′(x)>0，x∈(- ,+∞)时，f′(x)>0，

b= 时，函数f(x)在(-1,+∞)上无极值点．

③当b< 时，f′(x)=0有两个不同解，

x1= ，x2= ，

b

即x1∈(-1,+∞)，x2∈[-1,+∞)．

b

由此表可知：b

x1= ，

当0

此时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

由此表可知：0

x1= 和一个极小值点x2= ；

综上所述：

b

（Ⅲ）当b=-1时，函数f(x)=x2-ln(x+1)，令函数h(x)=x3- f(x)=x3-x2+ln(x+1)，则h′(x)=3x2-2x+ = ．

当x∈[0,+∞)时，f′(x)>0，所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增，

又h(0)=0．x∈(0,+∞)时，恒有h(x)>h(0)=0，

即x3>x2-ln(x+1)恒成立．

故当x∈(0,+∞)时，有ln(x+1)>x2-x3．

对任意正整数n取x= ∈(0,+∞)，则有ln( +1)> - ．所以结论成立．

点评：用导数研究函数的性质尤其是单调性与极值是高考试题中的必考内容，本题的前两问继承传统没有大的变化，第三问利用导数证明不等式，有一定的新意.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查函数与导数知识的还有安徽、北京、天津等.综合分析可预测2008年，函数与导数知识仍为必考内容，函数的单调性与极值仍是热点，另外，应注意导数在不等式证明、研究曲线的切线性质、实际应用题中的应用.

二、数列与数学归纳法：

函数是高考的主线，而数列是一种特殊的函数，一直是高考的热点，因此，解数列题要注意运用方程与函数的思想方法，分类讨论的思想，等价转化的思想等数学的思想与方法去解题，①等差数列的求和公式是关于n的二次函数，所以解题时可借助二次函数的性质求解；②等比数列的求和公式中分母出现1-q,解题时要注意分母为零的情况，要分|q|>1,|q|

数列问题与数学归纳法是密切相关的，经常需要利用合情推理，从特殊到一般，观察分析归纳得到数列中各项之间的递推关系，然后进行证明求解.纵观近几年各地高考试题，主要有两种表现形式：一种是以图、表等形式给出彼此间关系，确定图、表中某一行或某一列中项的规律性质；另一种是借助函数、方程等条件给出项之间的关系，然后确定数列的通项、前n项和的关系式或比较其中某些项的大小关系.

例2 （2007年湖南高考题）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第

行；第61行中1的个数是．

第1行 11

第2行101

第3行 1111

第4行10001

第5行 110011

…… …………………………………………

分析:观察杨辉三角形可知，第1次全行的数都为1的是第1=21-1行;

第2次全行的数都为1的是第3=22-1行;

第3次全行的数都为1的是第7=23-1行;

第4次全行的数都为1的是第15=24-1行;…，

所以，第n次全行的数都为1的是第（2n-1）行；

因为第7行8个数为：1，1，1，1，1，1，1，1；

第6行7个数为：1，0，1，0，1，0，1；

第5行6个数为：1，1，0，0，1，1；

所以第63行64个数为：1，1，1，1，1，1，1，…，1；

第62行63个数为：1，0，1，0，1，0，1，0，…，1；

第61行62个数为：1，1，0，0，1，1，0，0，…，1，1；

第61行62个数中1的个数为：15×2+2=32.

点评:本题这种图表题型近几年一直在考，解决关键是准确理解图表前几行或列中各项之间的关系，找出规律特点，然后运用合情推理，把此规律特点运用到所求的问题上，问题即可迎刃而解.

例3 （2007年山东高考题）设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，a∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}的通项；

（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn．

解：（Ⅰ）a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，n=1时，a1= ；

假设n=k时，ak= ；则n=k+1时，3k•ak+1= -(a1+3a2+…+3k-1•ak)= -( + +…+ )= - = ，

ak+1= ；由数学归纳法原理知：an= ．

（Ⅱ）bn= ，bn=n3n．

Sn=3+2×32+3×33+…+n3n，①

3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1． ②

②-①得 2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n)．

即2Sn=n3n+1- ， Sn= + ．

点评：数列是年年高考必考内容之一，一般一个大题，1-2个小题.本题主要考察等比数列的通项公式、前n项和公式及推导方法，考察数列知识的应用能力和转化的数学思想.同时本题也体现对常规题目运用通性通法解决问题的能力.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查数列与数学归纳法的还有全国卷、上海卷、浙江卷.综合分析可预测2008年，高考数列部分要求不会有大的改变，仍重点考察等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式及常用的求通项、求和的方法，但须注意两点：（1）数列与其他知识的结合（如函数、导数、解析几何等），尤其是用函数与方程思想方法解决数列问题；（2）树立应用意识，能利用数列的有关知识解决实际生活中的一些问题.

三、三角函数

三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数.本部分基本的解题规律为： 观察差异（或角、或函数、或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.

变是本部分的主题，角的变换、三角函数名的变换、三角函数次数的变换、三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变的意识是关键，但题目不可太难，要立足课本，掌握课本中常见问题的通性通法，自觉对课本习题进行归类，并进行分析比较，从中发现解题规律与技巧.另外要注意加强三角函数应用意识的训练.

例4 （2007年浙江高考题）已知ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC．

（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为 sinC，求角C的度数．

解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC= +1，BC+AC= AB，两式相减，得AB=1．

（II）由ABC的面积 BC•AC•sinC= sinC，得BC•AC= ，由余弦定理，得cosC=

= = ，所以C=60°．

点评：本题考察三角函数在三角形中的应用，新课标对解三角形要求没有降低，同时加强了对应用意识的要求，因此，与应用有关的数学知识成为考察重点.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查三角函数的还有山东卷、全国二卷、湖南卷、安徽卷、江西卷等，综合分析可预测2008年，高考对三角部分的考察将保持4个稳定：内容稳定、难度稳定、题量稳定、题型稳定，考察重点仍是三角函数的概念、性质和图像，求值与三角变换，另外要注意加强三角函数应用意识的训练.

四、圆锥曲线与平面向量：

本专题的重要内容是直线与二次曲线的位置关系，而这种关系可从方程的观点出发，把直线与二次曲线的关系问题等价于直线方程与二次方程联立的方程组解的问题，即等价于消元后的一元二次方程的判别式情况，这是代数方法研究两曲线位置关系的基础.学习本部分内容，不仅为了掌握圆锥曲线的定义和性质，还要通过对他们的研究，进一步学习如何用代数方法研究几何问题，即掌握坐标法.

这类问题常涉及到：

（1）直线被二次曲线截得的弦AB，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)则弦长|AB|= + ，与弦AB有关的三角形面积的计算及最值问题.

（2）二次曲线上有关已知直线对称的两点问题.

（3）直线与二次曲线相交、相切条件下某些关系的建立及其一些字母范围的确定.

处理以上问题常常用到一元二次方程的根与系数关系，整体思想，“设而不求”、间接考虑问题的思想方法和数形结合思想.

例5 （2007年山东高考题）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)，由已知得：a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b2=a2-c2=3.椭圆的标准方程为为 + =1．

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立得y=kx+m， + =1．得

(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，

Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0，x1+x2=- ，x1•x2= ．

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= ，

因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0)，

kADkBD=-1，即 • =-1，

y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，

+ + +4=0，

9m2+16mk+4k2=0．解得：m1=-2k，m2=- ，且均满足3+4k2-m2>0，

当m1=-2k时，l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；

当m2=- 时，l的方程为y=k(x- )，直线过定点( ，0)．

所以，直线l过定点，定点坐标为( ，0)．

点评：由于新课标降低了对双曲线的要求，因此有关椭圆的内容成为重点，本题主要考察直线与椭圆的位置关系，解析几何的思想方法以及运用解析法处理问题的能力，考察函数与方程的思想方法，同时本题也体现了对常规题目运用通性通法解决的要求.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查圆锥曲线的还有广东卷、湖南卷、江西卷、全国卷、陕西卷、天津卷、浙江卷、重庆卷等，综合分析可预测2008年高考本板块以下内容将会是命题的热点：（1）求指定曲线方程或轨迹方程；（2）圆锥曲线的定值、定点问题；（3）圆锥曲线的最值问题；（4）圆锥曲线中的对称问题.

五、立体几何与空间几何体：

立体几何考察的重点在空间图形上，突出对空间概念和空间想象力的考察.立体几何的基础是对点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法.

空间几何体是空间直线与平面问题的延续和深化，要熟练掌握概念、性质、面积、体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解，会用类比的思想方法研究线面的垂直与平行关系.

例6 （2007年山东高考题）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，AB∥DC．

（1）求证：D1CAC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

（1）证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，

连结C1D，DC=DD1，

四边形DCC1D1是正方形．DC1DC1．

又ADDC，ADDD1，DCDD1=D，

AD平面DCC1D1，

D1C 平面DCC1D1，ADD1C．

AD,DC1 平面ADC1，且ADDC=D，

D1C平面ADC1，又AC1 平面ADC1，D1CAC1．

（2）连结AD1，连结AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连结MN，

平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使DE1∥平面A1BD，须使MN∥D1E，

又M是AD1的中点．N是AE的中点．

又易知ABN≌EDN，AB=DE．

即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使DE1∥平面A1BD．

点评：本题主要考察空间直线和平面平行的判定定理的应用，考察同学们的空间想象力和逻辑思维能力，另外第二问以开放形式给出条件，考察了同学们的创新意识与发散思维能力，是一道较好的文科试题.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查立体几何还有全国卷、安徽卷、江苏卷、天津卷、广东卷等.综合分析可预测2008年，高考内容不会有太大的变化，文科仍以简单的逻辑证明为主，主要是线线、线面、面面的平行与垂直.要求同学们记牢4个公理及相关推论，等角定理，8个相应的判断定理和性质定理及有关的结论.注意作题的规范化.

六、概率与统计

对于概率、统计这部分内容，要注意课本例题、习题的示范性、规范性、导向性的功能.概率、统计的考察以基本知识为主，应注意课本例题习题的形式，特别是概率，背景不宜太复杂，切忌过度拔高而脱离高考和学生的实际.

例7 （2007年山东高考题）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；

解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x2+bx+c=0没有实根”为事件A，“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2+bx+c=0有两个相异实数”为事件C，则Ω={（b，c）|b，c=1，2，…，6}，

A={（b，c）|b2-4c

B={（b，c）|b2-4c=0，b，c=1，2，…，6}，

C={（b，c）|b2-4c>0，b，c=1，2，…，6}，

所以Ω是的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个.又因为B,C是互斥事件，故所求概率P=P(B)+B(C)= + = ．

点评：本题的背景比较新颖，避开了传统的掷筛子、射击、摸球、涂色、次品等传统背景，而与一元二次方程结合，这就要求学生应明确整个事件，明确基本事件，并能够准确的计算出这些基本事件的个数及其发生的概率，从题目本身看，严格遵循了课标和考试说明的要求，是一个较好的题目.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查概率与统计的还有全国卷、海南卷、广东卷、湖北卷、安徽卷等.综合分析可预测2008年，高考概率部分主要考察古典概型、几何概型的概率，互斥事件的概率，难度多为低档或中档题；统计从考察的角度看，难度不会太大，仍会以三种简单抽样为主，出现在选择题或填空题中；另外，在突出应用数学的今天，可能会加大考察力度，在度量间的相关关系上出题，应引起重视.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。