初中数学教学中的一些数学思想

《全日制义务教育数学课程标准》指出：教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。新课程把数学思想作为基础知识的重要组成部分，在新课标中提出来，这不仅是课标义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。

数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。目前，在初中阶段，主要数学思想方法有：转化思想、方程思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等。

一、转化思想

所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程。转化是化繁为简、化难为易、化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析、解决问题的能力有着积极的促进作用。

在学习《平行四边形和梯形的认识》时，对于梯形的认识和学习可引导学生通过作适当的辅助线，比如做梯形的高、平移一条腰或者平移一条对角线把梯形分割或补成三角形和平行四边形来解决问题。从而把生疏的、新的问题转化为熟悉的、旧的问题，把困难的问题转化为容易的问题。

二、方程思想

所谓方程思想，主要是指建立方程（组）解决实际问题的思想方法。教材中大量地出现这种思想方法，如列方程解应用题、求函数解析式、利用根的判别式、根与系数关系、求字母系数的值等。方程建模的思想对人的教育价值体现在两个方面：一个是建模，另一个是化归。学生学习方程的意义在于：一是学习在生活中从错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，这个过程是非常难的，很有训练的价值；二是在运算中遵循最佳的途径，将复杂问题简单化，这种优化思想对于思维习惯的影响是深远的。

教学时，可有意识地引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把它们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉地去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。

三、分类讨论思想

“分类讨论”是一种逻辑方法，是中学数学中一个极其重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略，当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。

例如，对于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的对象分为正数、负数、零三种情况，在每种情况下再分别处理。

例题：若m-n=n-m，且m=4，|n|=3，则（m+n）2=。

简解：因为m=4，|n|=3，所以m=±4，n=±3，

又因为m-n=n-m，所以n-m≥0，n≥m。

当n=3时，m可能取的值为-4，结果为1;

当n=-3时，m可能取值为-4，则结果为49，所以（m+n）2可能的值是49或1。

绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。许多学生因分类讨论的意识不强等原因，导致结果不完整，失分比较多。运用分类讨论思想处理数学问题时首先要审清题意，认真分析可能产生不同影响的因素，明确分类标准。另外还要逐一讨论，认真解答。

四、数形结合的思想

“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要思想方法，它是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象思维相结合的一种方法。

数形结合的思想贯穿于初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型。（2）建立几何模型解决有关方程和函数的问题。（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

数形结合是数学中一种重要的思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使代数问题几何化或使几何问题代数化，为问题的解决提供了简洁明快的途径。在实践中我们发现，学生在解决问题的过程中经常会面对问题时无从下手，这时如果学生能灵活运用数形结合的方法，往往能很快找到解决问题的窍门。

在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题、死套模式。数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析、解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质，必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。

（作者单位 河北省唐山市友谊中学）