数学开放题及其教学

数学教师要转变教育观念，改革人才培养模式，激发学生独立思考和创新的意识。目前的中小学数学教材中的习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械方法代替智力活动的倾向。因此，以数学开放题作为一个切入点，通过开放题的引入，促进数学教育的开放化和个性化，有利于培养学生的创新精神和实践能力，使数学教育适应时代的需要。

（一）数学开放题的分类

数学命题一般可根据思维形式分为假设―推理―判断三部分，数学开放题是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。根据数学命题的三部分，大致可将数学开放题分为以下几类。

1.条件开放型。在数学命题中若假设是未知的元素，则这类问题称为条件开放题。这类问题是通过给定结论来反求满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一。

[例1]空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：①满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？②满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？③满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

简析：①要使四边形EFGH为平行四边形，可通过一组对边平行且相等或两组对边分别平行来得到。因此取E、F、G、H分别为各边中点或当AE:AB=AH:AD=CF:CB=CG:CD时，四边形EFGH为平行四边形。②、③略。

[例2]写出5个解集为（2，3）的不等式。

2.结论开放型。在数学命题中判断未知的这类数学开放题称为结论开放题。这类问题是在条件给定的情况下探索结论的多样性。

简析：由于f（x）是周期函数，容易想到从三角函数入手，因此可得到：①f（x）=│sinx│②f（x）=k・cos2x+b（k

[例4]试构造三个不同的棱长相等的多面体，使它们的体积均为18cm3，分别求出它们的棱长并画出它们的图形。

简析：考虑三种不同的多面体为：正方体、正三棱柱、正四面体，当然也可以是正四棱锥或底面是菱形的直四棱柱等（解、图略）。这类问题主要考查学生的发散性思维和对所学知识的应用能力。

3.策略开放型。若数学命题的未知要素为推理则为策略开放题。这类题目要求学生综合运用所学的数学知识来探索数学问题。

[例5]某无尘粉笔（50支装）的小包装（长方体）尺寸为9×5×7.5cm3，现准备将12盒小包装组成一个大包装，请设计一个包装方案，并计算这个方案的大包装表面积为多少平方厘米。

简析：考虑到实际情况，大包装应为一个长方体。①12个小长方体排成一排，称为1×12包装方案；②2×6包装方案；③3×4包装方案；④2×2×3包装方案。

（二）开放题教学

开放题教学背景广泛，但因其具有条件不充分、方法多样、思维空间大、思维难度高等特点，学生解题时往往不知应如何下手。因此，在平时的教学中应把开放题不断地渗透到平时的教学中去。同时应把握好以下几个方面：

1.以教材为本，适当把一些课本上的题目改编为开放题。如可以把条件、结论完整的例题或定理改成给出条件，先猜结论，再进行证明的形式；也可以改成给出多个条件，进行整理、筛选后才能求解或证明的题目；还可以进一步变换条件，引申推广。

2.在课堂中注重变式教学，通过变式教学使一题多用、多题重组。引导学生从不同的角度，用不同的方法来思考问题，从而拓宽思路，培养思维的敏捷性和灵活性，培养学生知识和方法的迁移能力，达到举一反三、触类旁通的效果。

3.教师应改变传统的教学方法，在教师的主导下，坚持以学生作为探究的主体。在学习的过程中，引导学生自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，激发其强烈的求知欲和创造欲，培养学生的发散思维和创新能力。

4.开放题的教学要适度。在以常规题为主体的前提下，适当引入开放题，可弥补常规题的不足。必须适当控制开放题的开放程度，在平时的课堂教学中引入一些开放度较小的题，而一些开放度较大的题可放在选修课和研究性学习中来进行，必要时教师应作适当的铺垫。

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