专题六 立体几何(1)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.[A，B，C]表示不同的点，[a，l]表示不同的直线，[α，β]表示不同的平面，下列推理不正确的是（ ）

A. [A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α]

B. [A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α?β=直线AB]

C. [l?α，A∈l?A?α]

D.[A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线][?][α][与β重合]

2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为[45°]，腰和上底长均为1的等腰梯形[O′A′B′C′]，则这个平面图形的面积是（ ）

A. [12+22] B. [1+22]

C. [1+2] D. [2+2]

[正视图][侧视图][俯视图] 3. 已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为[5]，则该几何体的体积是（ ）

A. [4π3] B. [2π]

C. [8π3] D. [10π3]

4. 设[m，n]是空间两条不同的直线，[α，β]是空间两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）

A. 当[nα]时，“[nβ]”是“[α∥β]”的充要条件

B. 当[m?α]时，“[mβ]”是“[αβ]”的充分不必要条件

C. 当[m?α]时，“[n∥α]”是“[m∥n]”的必要不充分条件

D. 当[m?α]时，“[nα]”是“[mn]”的充分不必要条件

[ ]5. 如图，已知[E，F]分别是正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱[BB1，AD]的中点，则直线[EF]与平面[BDD1B1]所成角的正弦值是（ ）

A. [26] B. [36] C. [13] D. [66]

[ ]6. 如图，在四面体[ABCD]中，点[P，Q，M，N]分别是棱[AB，BC，CD，AD]的中点，截面[PQMN]是正方形，则下列命题错误的为（ ）

A. [ACBD]

B. [AC∥截面PQMN]

C. [异面直线PM与BD所成的角为45°]

D. [AC=CD]

[ ]7. 如图，已知正三角形[ABC]三个顶点都在半径为2的球面上，球心[O]到平面[ABC]的距离为1，点[E]是线段[AB]的中点，过点[E]作球[O]的截面，则截面面积的最小值是（ ）

A. [7π4] B. [2π] C. [9π4] D. [3π]

8. 如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为[1cm]和半径为[3cm]的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为[20cm]，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为[28cm]，则这个简单几何体的总高度为（ ）

A. [29cm] B. [30cm]

C. [32cm] D. [48cm]

[ ] 9. 如图，在棱长为[a]的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[M]为[AB]的中点，则点[C]到平面[A1DM]的距离为（ ）

A. [63a] B. [66a]

C. [22a] D. [12a]

10. 如图，平面四边形[ABCD]中，[AB=AD=CD=1，][BD=2，BDCD].将四边形[ABCD]沿对角线[BD]折成四面体[A′-BCD]，使平面[A′BD平面BCD]，则下列结论正确的是（ ）

A. [A′CBD]

B. [∠BA′C=90°]

C. [CA′与平面A′BD所成的角为30°]

D. 四面体[A′-BCD]的体积为[13]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱[AA1底面A1B1C1]，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为 .

12. 如图所示，已知[ΔABC]和[ΔBCD]所在平面互相垂直，[∠ABC=∠BCD=90°]，[AB=a]，[BC=b，CD=c]，且[a2+b2+c2]=1，则三棱锥[A-BCD]的外接球的表面积为 .

[ ]13. 如图，二面角[α-l-β]的大小是[60°]，直线[AB?α，B∈l，AB与l]所成的角为[30?]，则[AB]与平面[β]所成角的正弦值是 .

14. 已知[m，n]是两条不同的直线，[α，β]是两个不同的平面，有下列四个命题：（1）若[mα，nβ，mn]，则[αβ]；（2）若[m∥α，n∥β，mn]，则[α∥β]；（3）若[mα，n∥β，mn]，则[α∥β]；（4）若[mα，n∥β，][α∥β]，则[mn].其中正确的命题是 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 如图，在四棱锥[S-ABCD]中，底面[ABCD]是矩形，[SA底面ABCD，][SA=AD]，点[M]是[SD]的中点，[ANSC]，且交[SC]于点[N].

（1）求证：[SB∥平面ACM]；

（2）求证：平面[SAC平面AMN].

16. 如图，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AC=AA1=][2AB=2，∠BAC=90?]，点[D]是侧棱[CC1]延长线上一点，[EF]是平面[ABD]与平面[A1B1C1]的交线.

（1）求证：[EFA1C]；

（2）当直线[BD]与平面[ABC]所成角的正弦值为[31414]时，求三棱锥[D-EFC1]的体积.

17. 如图，[AB]是圆[O]的直径，[C]是圆[O]上除[A，B]外的一点，[ΔAED]在平面[ABC]上的投影恰好是[ΔABC].已知[CD=BE，AB=4，tan∠EAB=14.]

（1）证明：平面[ADE平面ACD]；

（2）当三棱锥[C-ADE]的体积最大时，求三棱锥[C-ADE]的高 [ ] .

18.如图，在等腰梯形[PDCB]中，[DC∥PB，PB=][3DC=3，PD=2，DAPB]，垂足为[A].将[ΔPAD]沿[AD]折起，使得[PAAB]，得到四棱锥[P-ABCD].

（1）证明：平面[PAD平面PCD]；

（2）点[M]在棱[PB]上，平面[AMC]把四棱锥[P-ABCD]分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比[V多面体PMACDVM-ABC=54]时，证明：[PD∥平面AMC].