专题六 立体几何(5)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（ ）

[A B C D]

2. 设[m，n]为两条不同的直线，[α，β]为两个不同的平面，给出下列命题，其中正确命题的序号是（ ）

①[mα，mn?n∥α] ②[m?α，n?β，α∥β?m∥n]

③[mα，mβ?α∥β] ④[mβ，nβ?m∥n]

A. ②③ B. ③④

C. ①④ D. ①②③④

3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

[正视图][侧视图][俯视图] [2] [2] [2] [1][1] [2] [1][1]

A. [4] B. [103] C. [2] D. [43]

4. 已知[α，β，γ]是三个不同的平面，命题“[α∥β]，且[αγ?βγ]”是真命题.如果把[α，β，γ]中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

5. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）

A. [33] B. [34] C. [35] D. [36]

6. 若正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）[ABCD-][A1B1C1D1]的底面边长为1，[AB1]与底面[ABCD]成[60°]角，则[A1C1]到底面[ABCD]的距离为（ ）

A. [33] B. [1] C. [2] D. [3]

[ ]7.如图，在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=10，AD=5，AA1=4.]分别过[BC，A1D1]的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为[V1=VAEA1-DFD1，][V2=VEBE1A1-FCF1D1，][V3=VB1E1B-C1F1C].若[V1∶V2∶V3][=1∶3∶1]，则截面[A1EFD1]的面积为（ ）

A. [410] B. [83] C. [162] D. [202]

8. 已知三棱锥[S-ABC]的所有顶点都在球[O]的球面上，[SA平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，][∠BAC=60°]，则球[O]的体积为（ ）

A. [323π] B. [163π] C. [12π] D. [4π]

A. [MCAN]

B. [GB∥平面AMN]

C. 平面[CMN]平面[AMN]

D. 平面[DCM∥]平面[ABN]

10. 连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦[AB，CD]的长度分别为[27，43]，[M，N]分别为[AB，CD]的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦[AB，CD]可能相交于点[M]；②弦[AB，CD]可能相交于点[N]；③[MN]的最大值为5；④[MN]的最小值为1. 其中真命题的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为 .

[2] [1] [2][正视图][侧视图] [2] [2] [1] [俯视图]

[ ]12. 如图，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=1，BC=2，][AC=5，AA1=3，][M]为线段[BB1]上的一动点，则过[A，M，C1]的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 .

14.已知三棱锥[S-ABC]的所有顶点都在以[O]为球心的球面上，[ΔABC]是边长为1的正三角形，[SC]为球[O]的直径，若三棱锥[S-ABC]的体积为[26]，则球[O]的表面积为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15.如图，在四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]中，已知平面[AA1C1C]平面[ABCD]，且[AB=BC=CA=3]，[AD=CD=1].

（1）求证：[BDAA1]；

（2）若四边形[ACC1A1]是菱形，且[∠A1AC=60°]，求四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的体积.

16.如图1，在四棱锥[P-ABCD]中，[PA]底面[ABCD]，底面[ABCD]为正方形，[E]为侧棱[PD]上一点，[F]为[AB]上一点.该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示.

（1）求四面体[PBFC]的体积；

（2）证明：[AE∥]平面[PFC]；

（3）证明：平面[PFC]平面[PCD].

17.如图，已知菱形[ABEF]所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，[AB=2AD=2CD=4]，[∠ABE=60°]，[∠BAD=∠CDA=90°]，点[H，G]分别是线段[EF，BC]的中点.

（1）求证：平面[AHC]平面[BCD]；

（2）试问在线段[EF]上是否存在点[M]，使得[MG∥]平面[AFD]？若存在，求[FM]的长并证明；若不存在，请说明理由.

18.如图，[AB]是圆柱[ABFG]的母线，点[C]是点[A]关于点[B]对称的点，[O]是圆柱上底面的圆心，[BF]过[O]点，[DE]是圆[O]的动直径，且[AB=2，BF=2AB].

（1）求证：[BE]平面[ACD]；

（2）当[∠BED=30°]时，求[AC]与平面[CDE]所成的角的正弦值.

[ ]