专题六 立体几何(3)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 已知[m，n]为两条不同直线，[α，β]为两个不同平面，那么使[m∥α]成立的一个充分条件是（ ）

A. [m∥β，α∥β]

B. [mβ，αβ]

C. [mn，nα，m?α]

D. [m]上有不同的两个点到[α]的距离相等

2. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中真命题的序号是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④

3. 一个六面体的三视图如图所示，其侧视图[正视图][侧视图][俯视图] [1][2]是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是（ ）

A. [12+25]

B. [14+25]

C. [16+25]

D. [18+25]

[ ]4. 如图，在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=BC=2，AA1=1]，则异面直线[AC1]与[BB1]所成角的正切值为（ ）

A. [223] B. [13] C. [2] D. [22]

5. 如图所示，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为1，[O]是 [ ]面[A1B1C1D1]的中心，则[O]到平面[ABC1D1]的距离为（ ）

A. [24] B. [12]

C. [22] D. [32]

6. 如图，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为2，动点[E，F]在棱[A1B1]上，动点[P，Q]分别在棱[AD，CD]上，若[EF=1，A1E=x，][DQ=y，][DP=z]（[x，y，z]均大于零），则四面体[PEFQ]的体积（ ）

[ ]A. 与[x，y，z]都有关

B. 与[x]有关，与[y，z]无关

C. 与[y]有关，与[x，z]无关

D. 与[z]有关，与[x，y]无关

7. 正三棱锥[P-ABC]的高为2，侧棱与底面[ABC]成45°角，则点[A]到侧面[PBC]的距离为（ ）

A. [655] B. [355] C. [5] D. [5]

[ ]8. 如图，四棱锥[P-ABCD]中，四边形[ABCD]为矩形，[ΔPAD]为等腰三角形，[∠APD=90°]，平面[PAD]平面[ABCD]，且[AB=1，AD=2，E，F]分别为[PC，BD]的中点，则下列结论不正确的是（ ）

A. [EF∥]平面[PAD]

B. 四棱锥[P-ABCD]的表面积为6

C. 平面[PDC]平面[PAD]

D. 四棱锥[P-ABCD]的体积为[23]

9. 已知三棱柱[ABC-A1B1C1]的侧棱与底面边长都相等，[A1]在底面[ABC]内的射影为[ΔABC]的中心[O]，则直线[AB1]与底面[ABC]所成角的正弦值为（ ）

A. [13] B. [23] C. [33] D. [23]

10. 点[A，B，C，D]在同一个球的球面上，[AB=BC=2，AC=2]，若四面体[ABCD]的体积的最大值为[23]，则这个球的表面积为（ ）

A. [125π6] B. [8π] C. [25π4] D. [25π16]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

13. 如图，四边形[ABCD]中，[ABAD，AD∥BC，][AD=6，BC=4，AB=2]，点[E，F]分别在[BC，AD]上，[EF∥AB].现将四边形[ABEF]沿[EF]折起，使平面[ABEF]平面[EFDC]，则三棱锥[A-CDF]的体积的最大值为 .

14. 已知在三棱锥[T-ABC]中，[TA，TB，TC]两两垂直，[T]在底面[ABC]上的投影为[D]，给出下列命题：①[TABC，TBAC，TCAB]；②[ΔABC]是锐角三角形；③[1TD2=1TA2+1TB2+1TC2]；④[S2ΔABC=13S2ΔTAB+S2ΔTBC+S2ΔTAC]（注：[SΔABC]表示[ΔABC]的面积）. 其中正确的是 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，平面[PAD]平面[ABCD]，[AB=AD，∠BAD=60°]，[E，F]分别是[AP，AD]的中点.

（1）求证：直线[EF∥]平面[PCD]；

（2）求证：平面[BEF]平面[PAD].

16. 如图，在棱长均为4的三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[D，D1]分别是[BC，B1C1]的中点.

（1）求证：[A1D1∥]平面[AB1D]；

（2）若平面[ABC]平面[BCC1B1]，[∠B1BC=60°]，求三棱锥[B1-ABC]的体积.

17. 如图1，在矩形[ABCD]中，[AB=2BC]，点[M]在边[DC]上，点[F]在边[AB]上，且[DFAM]，垂足为[E].若将[ΔADM]沿[AM]折起，使点[D]位于[D]位置，连接[DB，DC]得四棱锥[D-ABCM]，如图2.

（1）求证：[AMDF]；

（2）若[∠DEF=π3]，直线[DF]与平面[ABCM]所成角的大小为[π3]，求直线[AD]与平面[ABCM]所成角的正弦值.

18. 如图所示，在四棱锥[P-ABCD]中，侧面[PAD]底面[ABCD]，侧棱[PA=PD=2]，底面[ABCD]为直角梯形，其中[BC∥AD]，[ABAD]，[AD=2AB=2BC=2]，[O]为[AD]的中点.

（1）求证：[PO]平面[ABCD]；

（2）求异面直线[PB]与[CD]所成角的正切值；

（3）在线段[AD]上是否存在点[Q]，使得它到平面[PCD]的距离为[32]？若存在，求出[AQQD]的值；若不存在，请说明理由.