专题六 立体几何(2)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.已知直线[l]，[m]，[n]，平面[α]，[m?α]，[n?α]，则“[lα]”是“[lm]且[ln]”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.在正四面体[P-ABC]中，点[M]是棱[PA]的中点[O]，为点[P]在底面[ABC]上的射影，则[OM]与[AB]所成角的大小为（ ）

A.[30°] B.[45°] C.[60°] D.[90°]

3.已知平面[α]平面[β]，且[α?β=l]，点[A∈α]，[ACl]，[C]为垂足.点[B∈β]，[BDl]，[D]为垂足.若[AB=2]，[AC=BD=1]，则点[D]到平面[ABC]的距离等于（ ）

A.[23] B.[33] C.1 D.[63]

4.在正六棱锥[P-ABCDEF]中，[G]为[PB]的中点，则三棱锥[D-GAC]与三棱锥[P-GAC]的体积之比为（ ）

A.[1∶1] B.[1∶2]

C.[3∶2] D.[2∶1]

5.已知某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（ ）

[①②③④][图1][图2]

A.①③ B.①③④

C.①②③ D.①②③④

[ ]6.如图，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，若平面[A1BCD1]上一动点[P]到[AB1]和[BC]的距离相等，则点[P]的轨迹为（ ）

A.椭圆的一部分 B.圆的一部分

C.一条线段 D.抛物线的一部分

7.如图，平面[α]平面[β]，[A∈α]，[B∈β]，[AB]与两平面[α，β]所成的角分别为[π4]和[π6]，过[A，B]两点分别作两平面交线的垂线，垂足分别为[A′，B′]，若[AB=12]，则[A′B′]的长为（ ）

A.4 B.6 C.8 D.9

8.如图所示，是一几何体的平面展开图，其中[ABCD]为正方形，[E]，[F]分别为[PA]，[PD]的中点.在此几何体中，给出下面四个结论：①直线[BE]与直线[CF]异面；②直线[BE]与直线[AF]异面；③直线[EF∥]平面[PBC]；④平面[BCE]平面[PAD].其中正确结论的序号有（ ）

A.①② B.②③ C.①④ D.②④

①动点[A′]在平面[ABC]上的射影在线段[AF]上 ②[BC∥]平面[A′DE] ③三棱锥[A′-FED]的体积有最大值

A.① B.①② C.①②③ D.②③

10.在三棱锥[S-ABC]中，侧棱[SC]平面[SAB]，[SABC]，侧面[ΔSAB，ΔSBC，ΔSAC]的面积分别为[1，32，3]，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A.[14π] B.[π4] C.[π3] D.[2π3]

二、填空题（每小题4分，共16分）

12.设[α，β]是空间两个不同的平面，[m，n]是平面[α]及[β]外的两条不同直线.从“①[mn]；②[αβ]；③[mα]；④[nβ]”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： .

14.如图，已知边长为1的等边[ΔABC]，在线段[AC]上任取一点[P]（不与端点重合），将[ΔABP]沿[PB]折起，使得平面[ABP]平面[BPC]，则当三棱锥[A-PBC]的体积最大时，点[A]到平面[PBC]的距离是 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15.如图，在[ΔABC]中，[AC=BC=22AB]，四边形[ABED]是边长为[a]的正方形，平面[ABED]平面[ABC]，[G，F]分别是[EC，BD]的中点.

（1）求证：[GF∥]平面[ABC]；

（2）求证：平面[EBC]平面[ACD]；

（3）求几何体[ADEBC]的体积[V].

16.已知四棱锥[P-ABCD]，底面[ABCD]是边长为2的菱形，[∠ABC=60°]，[PC]与平面[PAD]所成角的正弦值为[64]，[E，F]分别是[AB，PC]的中点，[PA]平面[ABCD].

（1）求证：[EF∥]平面[PAD]；

（2）求[PA]的长；

（3）求点[B]到平面[PEC]的距离.

17.如图1所示，在[RtΔABC]中，[AC=6，BC=3]，[∠ABC=90°]，[CD]为[∠ACB]的角平分线，点[E]在线段[AC]上，且[CE=4].如图2所示，将[ΔBCD]沿[CD]折起，使得平面[BCD]平面[ACD]，连接[AB]，设点[F]是[AB]的中点.

（1）求证：[DE]平面[BCD]；

（2）若[EF∥]平面[BDG]，其中点[G]为直线[AC]与平面[BDG]的交点，求三棱锥[B-DEG]的体积.

18.如图所示，平面[PAD]平面[ABCD]，四边形[ABCD]为正方形，[ΔPAD]是以点[A]为直角顶点的直角三角形，且[PA=AD=2]，[E，F，G]分别是线段[PA，PD，CD]的中点.

（1）求证：[PB∥]平面[EFG]；

（2）求异面直线[EG]与[BD]所成的角的余弦值；