“函数的极值与导数”教研课的反思

2012年2月河南省郑州市101中学开展了“两地三校”的同课异构活动，笔者作为一名来自上海的授课教师参加了此次活动。这次活动中通过听课专家和同行们的指点，笔者感觉受益良多。下面将本次授课内容做一个简单的呈现和反思，以期得到同行们的指教。

一、教学目标

知识与技能目标.

1、理解函数极值的定义。

2、掌握利用导数求函数极值的方法。

3、能较熟练地求出已知函数的极值,能解决与函数极值有关的基本综合问题。

过程与方法目标

1、让学生结合实际经验探索出函数的极值与导数值变化之间的关系。

2、通过提出组合问题，让学生充分的理解函数的极值的定义。

3、通过对比原函数的增减性和导函数的正负情况，结合函数的图像，给函数的极值以直观的验证。

情感、态度与价值观目标：

1、通过观察图像特征，培养学生细心提炼有关特征的良好习惯。

2、通过对函数极值的研究,提高学生分析和解决问题的能力和严谨的学习态度。

二、教学重点难点

重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤。

难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件。

三、教学方法

本节课力求在贯彻“以学生为主体”的教学理念下，以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式。教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系。对于学生所学习的效果，采用问题和练习的形式给以检查和纠正。

四、教学过程

情景引入：

教师：问题1：下图为000768西飞国际近15个月的收盘价走势图以及抽象出的对应函数图象

观察图形,函数y=f(x)在a、b、c、d、e、 f等点的函数值分别与这些点附近的函数值有什么关系？

学生：其中a 、c、e、g这些点对应的函数值与其附近的点所对应的函数值相比是最大值；b、d、f、h这些点对应的函数值与其附近的点所对应的函数值相比是最小值。

教师追问：能否称 为函数的最大值， 为函数的最小值？

学生：不能，因为函数的最值是对函数的整个定义域而言的，具有整体性；而上述这些值是局部范围的，所以不能用最值来刻画。

定义给出：

函数的极值：

教师：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

学生：2.极小值：一般地，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点

3.极大值与极小值统称为极值

定义深化:：

教师：问题2：结合图像和定义思考下列三个简单的问题。

（1） 函数的极值是否一定是该函数的最值？

（2） 函数的极大值和极小值是否是唯一的？

（3） 函数的某一个极大值是否一定比该函数的某一个极小值大？

教师引导，学生归纳总结：

（1）极值是一个局部概念函数极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个，在整个定义区间可能有多个极值。

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。

如何求极值：

教师：问题3：回到问题一的图像，你是如何发现这些极值的？

学生：在 这些值附近的左边函数图象是上升的，右边图象是下降的；在 这些值附近的左边函数图象是下降的，右边图象是上升的。

教师追问：函数图象的上升和下降可以用函数的什么性质来刻划？

学生众：单调性。

教师进一步问：现在我们知道，函数的极值可以用函数的单调性来判断；那么函数的单调性可以用什么来判断呢？

学生众：函数的导数。

教师：也即是说，我们现在可以用函数的导数来求函数的极值，那么它们两者之间的关系是什么呢？

学生：函数在极大值点左侧切线的斜率（导数）为正，右侧为负；函数在极小值点左侧切线的斜率（导数）为负，右侧为正。

教师：那么极值点的导数是多少呢？

学生：函数在极值点处切线的斜率（导数）为0。（视学生的情况而定，可用图像描述加以简单说明；也可用反证法加以简单说明）

问题4：讲解书中的例4（略）

教师：通过问题4我们能否归纳求函数极值的步骤

学生：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) 。

(2)求方程f′(x)=0的根。

(3) 检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x)在这个根处取极大值; 如果左负右正,那么f (x)在这个根处取极小值。

巩固练习：

问题5：求函数 的极值

解：

令 ，解得

当 时，此时

当 时，此时

当 的变化情况如下表：

0 (0, 1) 1

- 0 - 0 +

1

发现 不是函数的极值点，所以当 时，函数有极小值

小结： 是函数 处取得极值的必要不充分条件，因此由 求出的 的值后，一定要判断 左右两侧导数是否异号，否则不能确定 一定是极值点。

问题6：已知函数f(x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求实数a,b的值，并判断f(1)=10是极大值还是极小值

分析：f(x)在x=1处有极值的充要条件是f′(1)=0且f′(x)在x=1两侧异号

解：f′(x) =3x2+2ax+b

由题意得：

解得 或

当 时，f′(x) =3x2-6x+3=3(x-1)2≥0

此时x=1不是极值点，故舍去。

当 时，f′(x) =3(3x+11)(x-1)

当 < x0

所以x=1是极小值点，f(1)=10是极小值

再次强调：f′(x0)=0是函数f(x)在x = x 0处取得极值的必要不充分条件，因此由f′(x0)=0求出的x 0的值后，一定要判断x 0左右两侧导数是否异号，否则不能确定x0一定是极值点

学生总结：

1.极值的概念

2. 求极值的方法和注意

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) 。

(2)求方程f′(x)=0的根。

(3)列表检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x)在这个根处取极大值; 如果左负右正,那么f (x)在这个根处取极小值。

注意：f′(x0)=0是函数f(x)在x = x 0处取得极值的必要不充分条件

布置作业

学生完成书上P. 29页上的练习

教学反思：

本节课在教学设计时，主要分四个部分。

第一部分是极值概念的引入。

新课程标准强调：“数学课程应当从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”同时建构主义也认为：学习并非是对教师所传授的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。所以，情境的创设应遵循学生学习数学的心理规律，所选的素材要符合学生的已有经验和生活体验，为发现、探索、理解新知识提供基础。基于以上两点，所以笔者以“西飞国际”这个股票15个月的收盘价走势图作为情境引入，生动而直观，并通过幽默风趣的语言，引发了学生的兴趣和探索的欲望。接着以股评家口中的“低位和高位”为切入点，引发学生的探讨，为最终抽象出极值的概念打下基础。

第二部分是极值概念的生成。

课堂上，学生的思考不应是盲目的、随便的，而应该是有目的的、有序的，这需要教师的引导。而教师的引导最基本和最有效的策略应该是问题设置。有了问题，学生就有了思考与讨论的方向。当然，问题的设置要符合学生的客观认知规律和学生已有的知识水平。所以在概念生成的过程中，笔者采用了问题驱动的教学模式，通过图象和问题1使学生直观形象的得到了“局部最值”的这一初步想法，接着通过追问：“能否用函数最值概念来刻划这一初步想法？”引发认知冲突，使学生认识到“局部最值”不同于最值，是一个全新的概念，必须进行定义，从而生成了极值的概念。笔者在概念给出时，采用了比较传统的方式，先归纳出极大值的概念，再让学生通过类比给出极小值的概念。其实，可以更大胆一些，让学生自行归纳极值的概念，教师只需做适时的补充即可。接着，通过问题2的驱动加深了学生对极值概念的理解。

第三部分是如何利用导数来求极值。

这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但笔者认为依然要符合学生的认知规律。要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的。所以，笔者设计了一座联系导数和极值的桥梁――问题3。通过问题3，学生首先可以从图象上形象而直观的找到极值，进而发现极值和函数单调性的关系，从而摆脱了图象的束缚，并通过子问题：“如何求函数的单调性。”使学生直接把导数和单调性联系了起来。这样，就使得利用导数来求函数的极值自然而然的形成了。并通过“我们现在可以用函数的导数来求函数的极值，那么它们两者之间的关系是什么呢？”这一问题使学生理清这两者的联系。

接着通过让学生完成书上的例4由学生归纳出求函数极值的算法。并通过问题5加以巩固，当然问题5还有一个目的就是使学生意识到f′(x0)=0是函数f(x)在x= x0处取得极值的必要不充分条件，因此由f′(x0)=0求出的x0的值后，一定要判断x0左右两侧导数是否异号，否则不能确定x0一定是极值点。加深学生对导数和极值关系的理解。但由于学生对新生成的极值算法的不熟悉，还处在消化模仿的阶段，使得在完成问题5时花费了较多的时间，问题6并没有开展，留有遗憾。

第四部分是课堂小结

由学生进行了简单的归纳总结。

通过本节课，让学生经历了极值这一新概念的发生、发展过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再发现”和“再创造”过程，符合学生数学学习的认知需求。整节课上，基本做到了以学生为主体，通过问题驱动，努力引导学生自主发现知识间的联络，努力提高学生对概念内涵与外延的理解。正所谓，教无定法，学无止境，作为一名青年教师只有努力，努力，再努力才能真正做到以学生为主体，构建有效的课堂。

参考文献

[1]张夏强,都是定义惹的祸――从一道习题讲起，数学教学通讯

[2]李刚,利用导数研究函数极值要注意检验，数学教学通讯

[3]甘志国,谈谈人教版教材中函数极值的定义，中学数学杂志