如何求动点运动路径长

近年来，以几何图形的运动为载体，求几何图形在运动过程中，图形上某一动点所经过的路径的长度的题目在中考试卷常有出现.

解决这类问题时，首先要弄清点在运动过程中，其路径的形状是什么图形，计算出动点运动的起点和终点，再根据相关计算公式计算出路径的长.

例1 一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A′处并且A′C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为______米.

【切入点】先判断点P的运动路径是什么图形，然后求出路径长.

【思路分析】在木棒下滑过程中，ABC始终是直角三角形，点P也始终是斜边AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CP的长始终保持不变，因此点P应该是绕着点C在做圆周运动，我们只要找到圆弧的起点和终点，就可以计算出P运动的路径长.

【解答过程】木棒没有下滑时，cos∠ABC==，所以∠ABC=60°，可得此时∠PCB=60°.

木棒下滑后，由于A′C=1米，sin∠A′B′C==，所以∠A′B′C=30°，可得此时∠P′CB′=30°.

所以点P运动的路径是一个以点C为圆心，半径为1，圆心角为30°的圆弧，所以木棒AB的中点P运动的路径长为.

【技巧说明】在点的运动中，点的位置在不断变化，由此引发的是许多线段的长度和位置也随之改变，而解决数学问题则需要在这个变化过程中，寻找其变化规律以及不随点的运动而改变的性质.

例2 （2012・福州）如图2，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ. 点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）.

（1） 直接用含t的代数式分别表示：QB=______，PD=______；

（2） 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

【思路点拨】

1. 易得APD∽ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.

2. 设E是AC的中点，当t=0时M与E重合.当t=4时，点Q与点B重合，运动停止，设此时PQ的中点为F.连接EF，证明M的运动路程就是线段EF，即可求得答案.

【方法总结】中考中关于点的运动轨迹形状，通常有两种可能，一是轨迹为线段，此时只要求出两端点的坐标就可求得路径长；二是轨迹为圆弧，此时先确定圆弧所在圆的圆心、半径，再确定圆心角就可求得路径长.

（作者单位：江苏省海安县大公中学）