数学课堂中创造能力的培养

摘要：数学教学的目的之一是培养学生的创造能力。由于数学学科的特点，教师在教学过程中可以灵活地把它分解成实用型、探索型和创新型的创造能力，在数学教学中善于抓住一切可能的契机，巧妙地培养学生的创造能力。

关键词：创造能力；实用型；探索型；创新型

中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）04-0185-03

数学教学的目的并非单纯的教给学生一些在生活中能直接用得上的数学知识，它还应该通过对数学知识的教学，培养学生的独立思考能力、逻辑思维能力和科学创造能力。因此，培养学生的创造能力，是我们数学教师的重要任务。

由于数学学科的特点，决定了数学教学中创造能力目的的特定内涵，它可以分解为以下3种不同类型的创造能力去进行培养。

1.应用型的创造能力

应用型的创造能力是指能根据现实中提出的某个问题，经过深入分析之后，做出一个与实际问题相吻合的数学模型；在模型上进行数学求解之后，给数学解做出现实解释。这种建立数学模型和对数学答案做出现实解释的过程，是一种充满创造性的活动过程。它不仅需要比较熟练的运算技巧、清晰的逻辑思维、充分的空间想象，而更需要的是敏锐的观察分析、灵活的辩证思维、深刻的高度抽象、新颖的思考角度。这种建模与解释的数学能力，就是应用型的数学创造能力。

例1 在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄相距 ，A、B两村距河岸的距离分别为 ， ，现要在河边修一抽水站，需8.25万元（含设备购置费和人工费），管道铺设费为24.5元/m，现由政府拨款30万元。请你设计一方案并说明A、B两村是否还需要自筹资金（参考数据65=8.06，97=9.85，10.77=3.28）。

分析：这是一个实际应用性的问题。分3步走：

（1）读题。分为读懂和深刻理解两个层次。把"问题情景"译为数学语言。

（2）建模。把问题的主要关系近似化、形式化后抽象成数学问题。

（3）求解。这类涉及选点问题通常会考虑建立坐标系。

设计的方案可能如下：

如图1，建立直角坐标系，则A（0，3），由|AB|=5 ，得B点坐标为（4，6），点A关于 轴的对称点A′（0，-3），连A′B交 轴于C，由平面几何知识可知，当抽水站建在点C处时，铺设的输水管道最短。

因为|AC|+|BC|=|A`B|=（4-0）2+（6+3）2=97=9.85（km），

所以，铺设管道所需资金为24.5×9.85×100010000=24.14（万元）

所以总费用为8.25+24.14=32.39（万元），而32.39-30=2.39（万元），所以，需要两村共同自筹资金2.39万元。

以上方案看似完美无缺，但却脱离了实际。日常生活中的水管多数从一个家庭到另一个家庭，由此自然会产生下面的方案：把抽水站建在O处，水管沿OAB途径铺设，共8km，比上述解法中|A`B|=9.85km少1.85km，故沿OAB途径总费用 （万元），所以两村不需要自筹资金，将节约的2.15万元在A村修建一个储水池即可。

教师在课堂的教学中，有意识地把相关的实际生活问题联系起来，把实际问题转化为数学问题，从学生熟悉的生活事例入手，往往能提高学生学习数学的兴趣。通过直观，加深学生对数学知识的理解。其实学生并不缺乏生活经历，缺乏的是把数学知识应用于实际问题的能力，因此通过一些生活实例把数学知识应用到实际中去，这样就能培养学生建模与解释的数学能力，从而达到培养学生的应用型的数学创造能力。

2.探索型的创造能力

探索型的创造能力是一种在学习、研究、应用数学知识的过程中表现出来的提出假设或猜想的能力。这种能力与发散型思维有密切的关联。发散思维是一种不循常规，寻求变异，从同一输入探求多种输出的思考方式。它常常是超越现有知识体系和传统方式的局限，而引出一些新的假设和猜想。培养这种能力对提高人才素质具有重要意义。

例2：如图2，AB=AC，BD=DC，求证BE=CE。

分析：该题属于线段相等问题的证明，可以考虑四种思路的证明。

思路1：先证ABD≌ACD，再证ABE≌ACE，从而BE=EC。

思路2：先证ABD≌ACD，再证BDE≌CDE，从而BE=EC。

思路3：连接BC，先证ABD≌ACD，从而∠1=∠2，由等腰三角形性质知AD为BC的垂直平分线，故BE=EC。

思路4：连接BC，先用垂直平分线定理的逆定理证AD是BC的垂直平分线，再用垂直平分线定理证BE=CE。

设置探索型的的数学问题能激发学生的学习热情，培养学生勤于思考、敢于探索的精神。探索型的创造能力让学生在获取知识、培养能力、发展能力的同时，也学会学习的策略与发现的方法。同时也更能适应社会的发展。

3.创新型的数学创造能力

在数学活动（学习、研究、应用）中，经过相当数量的实践积累，会产生一种由概括、顿悟而促成的，对原有数学思想和方法的延伸及改进，从而构成某种新的数学方法或思想。这就是我们这里所说的"创新型"的数学创造能力。在中学数学教学中，对于这种数学创造能力的培养，也应做相应的设计，不可忽视。

例3 如图3，在铁路 的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两厂到货场C的距离和最小，在图上作出点C。

或许这道题太普通了，往往为我们所忽视，但如果深入研究一下，就会惊喜地发现，这样一个不引人注目的问题，却可以培养学生生动而丰富的数学思想和思维的创造能力。

（1）分析求解思路，渗透关系映射反演方法。

由于映射反演方法是化难为易的一种常用的有效方法，本题虽不难，但也不易，为在本题分析求解思路中渗透这种数学思想，培养学生的创造能力，我这样进行教学设计。

首先复习轴对称图形的有关概念，引导学生讨论如下两个问题：

①关于距离的最短问题，我们以前曾有过怎样的结论？

②怎样把线段CA、CB转移到一条直线上来？

通过分析思考，得到如下思路框图：

有了上面的框图，解题思路不言自明。

（2）引伸推广，渗透变换与转换思想。

如果变换一下问题，改变直线 上点的个数，有：

变题1：A、B为直线a同侧的两个点，试在 上求C、D两点，使CD=b，且使折线ABCD为最短。

如果增加直线的条线，有：

变题2：设直线a为一条河，河的对岸成平行线，A、B分别为河两侧的两个点，问应在何处建桥（桥应垂直于河岸），才能使A至B的路程最短？

也可以把直线换成曲线，有：

上面几个变题，单纯来看较难，但对照例题就会发现，利用变换思想（平移、反射，保长度不变的性质）都比较容易解决。

变题1简答：（如图4）作点A关于直线a的对称点A`，过A`点作直线a的平行线A`E交过B点且垂直于a的直线BE于E点，在直线A`E上取A`F=b，连结BF，则BF与直线a的交点就是所求的D点，过A`点作BF的平行线交直线a于C点，则C点为所求。

变题2简答：（如图5）设直线a与b代表河的两岸，a∥b，过A点作直线a的垂线AE与过B点且平行于b的直线BE相交于E点，在直线AE上取线段AF等于河的宽度，连结FB交直线b于D点，过D点作直线a的垂线交a于C点，连结AC，则CD就是桥所要建的位置（证明略）。

可以借用例题的结论解题。

（3）借石攻玉，渗透模型思想方法。

对于这道例题3，我们还可以充分发挥它的潜在功能，作为一个数学模型，用来解决其他问题。正所谓"他山之石，可以攻玉"。

例4 如图，设∠MON=1200，A为OM上一点，OA=43，D为ON上一点，OD=83，C为AM上任一点，B是 OD上任一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是多少？

分析：由例3启示，欲求折线ABCD的长的最小值，只要它们能够通过变换成为一条直线段即可。作A关于ON的对称点A`，作D关于OM的对称点D`，连A`B，CD`，则A`B=AB，CD`=CD，故AB+BC+CD=A`B+BC+CD`，显然A`B+BC+CD`≥A`D`，又可算得∠D`OA`=600，OA`=43，OD`=83，所以ΔOA`D`为直角三角形，求得A`D`=12，从而折线ABCD的长的最小值为12。

从上例可以看出：创新型的数学创造能力是在原有的基础上对数学思想方法的延伸及改进，从而构成新的数学方法或思想，进而达到培养学生的创造能力，是一种求新求异的思想方法。

因此我们数学老师要创造性地运用教材，积极激发并保持学生学习兴趣，巧妙地把这一目标分解成实用型、探索型和创新型，从而达到培养中学生创造能力的目的 。

参考文献：

[1] 皮连生 《学与教的心理学》华东师范大学出版社

[2] 陈旭远 《新课程 新理念》 东北师范大学出版社

[3] 新课程实施过程中培训问题研究课题组编，《新课程理念与创新》，北京师范大出版社，2001.

[4] 严士健，《面向21世纪的中国数学教育》，南京：江苏教育出版社，1994年。