高考数列试题分析与复习策略

高考数列解答题处在初等数学与高等数学的交汇处，它是以数列知识为载体，融函数、方程、不等式问题于一体，注重考查应用意识、创新意识和综合解题能力为特征的中档题或压轴题．不少考生特别是文科考生面对数列综合问题时深感茫然和困惑，因此有必要对近年高考数列文科、理科解答题的考查特点、命题趋向、难易程度进行分析，希望能帮助师生们及早做好复习计划和备考工作，以期取得好的成绩．

1 数列文科解答题试题分析

高考数列文科解答题主要以等差、等比数列或简单的递推数列为载体；以分步设问、层层递进、由浅入深的组合题形式出现；以考查等差、等比数列概念性质，通项公式与求和公式应用和简单等式、不等式证明的推证能力为目标的基础题和中档题．请看下面两例．

例1（2008・全国Ⅰ文）在数列{an}中，

a1=1，an+1=2an+2n．

（Ⅰ） 设bn=an2n－1．证明：数列{bn}是等差数列；

（Ⅱ） 求数列{an}的前n项和Sn．

考查目标：此题考查等差数列的论证和等比数列求和公式的应用．

略解：（Ⅰ）由an+1=2an+2n得

an+12n=an2n－1+1，即 bn+1=bn+1．

又b1=1，故{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=n，an=n・2n－1．

Sn=1+2・21+3・22+…+(n－1)・2n－2+n・2n－1，

2Sn=1・21+2・22+3・23+…+

(n－1)・2n－1+n・2n，

两式相减得Sn=n・2n－(1+21+22+…+2n－1)=(n－1)・2n+1．

试题分析：此题以简单的递推数列为载体，考查等差数列定义、数列求和公式的应用和代数推理论证能力．欲证明某个数列为等差数列，可运用等差数列的定义去证明，即证明该数列从第二项起 ，每一项与它的前一项的差等于同一个常数即可；由一个等差数列与一个等比数列对应项的积作成的新数列，可运用乘公比错位相减的方法，将其转化为等比数列的求和问题去解决（课本知识）．应该说此题是中档题，对于有一定数列基础知识，又经过复习训练的文科考生来说，按照分步设问的路标求解是不会有太大困难的．

例2（2008・福建文）已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（an,an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．

（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ） 若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn・bn+2＜b2n+1．

考查目标：此题考查等差数列的通项公式求法和不等式的推理证明能力．

略解：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1，

即an+1－an=1．

又a1=1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，故 an=1+(n－1)・1=n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=n，从而bn+1－bn=2n．

bn=(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)+b1=2n－1+2n－2+…+2+1=1－2n1－2=

2n－1． 求差得

bn・bn+2－b2n+1=(2n－1)(2n+2－1)－(2n+1－1)2=(22n+2－2n－2n+2+1)－(22n+2－2・2n+1+1)=－2n＜0．所以 bn・bn+2＜b2n+1．

试题分析：此题考查等差数列的基础知识和代数推理能力．可以说它是课本的改编题，属于基础题或中档题．对于不等式的论证，只要掌握差值比较法和多项式乘法法则，就能进行代数推理论证．

2 数列理科解答题试题分析

高考数列理科解答题是以较为复杂的递推数列为载体，融函数、导数、不等式、数学归纳法、探索性问题于一体，以考查数列求和、不等式推证能力以及归纳猜想的创新意识和解决问题的综合能力为目标的中档题或压轴题．

例3（2008・全国I理）设函数f(x)=x－xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f(an)．

（Ⅰ） 证明：函数f(x)在区间（0，1）上是增函数；

（Ⅱ） 证明：an＜an+1＜1；

（Ⅲ） 设b∈(a1，1)，整数k≥a1－ba1lnb．证明：ak+1＞b．

考查目标：此题以函数与导数知识为载体，重在考查递推数列与不等式证明的推证能力．

略证：（Ⅰ）由f(x)=x－xlnx

得 f′(x)=－lnx．

当x∈(0,1)时，f′(x)=－lnx＞0．故函数f(x)在区间（0，1）上是增函数．

（Ⅱ）用数学归纳法证明：

① 当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2=f(a1)=a1－a1lna1＞a1．

由f(x)在区间（0，1）上是增函数，且函数f(x)在x=1处连续，则

f(x)在区间(0，1］上是增函数，故a2=f(a1)=a1－a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立；

②假设当n=k(k∈N*)时，ak＜ak+1＜1成立，即 0＜a1≤ak＜ak+1＜1．

那么当n=k+1时，由f(x)在区间(0，1］上是增函数，

0＜a1≤ak＜ak+1＜1 得

f(ak)＜f(ak+1)＜f(1)．

而ak+1=f(ak)，ak+2=f(ak+1)，

故 ak+1＜ak+2＜1．

也就是说当n=k+1时，an＜an+1＜1也成立．根据①、②可得对任意的正整数n，an＜an+1＜1恒成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列{an}逐渐递增，故若存在正整数m≤k，使得am≥b，则ak+1＞am≥b．

否则，若am＜b(m≤k)，则由0＜a1≤am＜b＜1(m≤k)得

amlnam≤a1lnam＜a1lnb＜0．（*）

ak+1=ak－aklnak=

ak－1－ak－1lnak－1－aklnk=…=

a1－∑km=1amlnam．

由（*）知∑km=1amlnam＜k(a1lnb)．故ak+1＞a1+ka1lnb≥a1+(b－a1)=b．

综合得ak+1＞b．

试题分析：在解决递推数列与不等式的证明问题时，一是考虑用数学归纳法去证明，求证时应明确n=k+1时目标式的结构特征，以便选择恰当的方法，如综合法、分析法、函数单调性法等去变形获证；二是考虑将不等式的一边放大或缩小，然后施用下标变换、裂项相消等变形方法，并借助数列求和公式和不等式的性质去解决证明问题．

例4（2008・福建理）已知函数f(x)=ln(1+x)－x．

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

（Ⅰ） 求f(x)的单调区间；

（Ⅱ） 记f(x)在区间0,n（n∈N*）上的最小值为bn，令an=ln(1+n)－bn．

①如果对一切n，不等式an＜an+2－can+2恒成立，求实数c的取值范围；

②求证：a1 a2 + a1 a3 a2 a4 + … + a1 a3 …a2n-1 a2 a4 …a2n ＜ 2an + 1-1．

考查目标：此题考查数列与不等式恒成立问题和不等式的推证能力．

略解:（略）．

试题分析：此题难度较大，首先应根据函数f(x)在区间［0,n］上的最小值为bn求出an=n，然后由恒成立问题的条件（f(x)≤a恒成立f(x)max≤a；f(x)≥a恒成立f(x)min≥a）去求实数c的取值范围；对于数列型不等式的证明，亦可用数学归纳法或放缩法去证明．

3 数列复习策略

例1、例2代表了近年高考数列文科解答题的难易程度和命题趋向．为此，我们应按照《考试大纲》的要求，理解数列的概念，重点理解和掌握等差数列、等比数列的概念性质、通项公式、前n项和公式及其应用，了解数列递推公式的意义，并能借助方程工具，通过化归转化，将其他数列问题转化为等差、等比数列的问题去解决．就能适应高考的要求．例3、例4代表了近年高考数列理科解答题的难易程度和命题趋向，理科解答题多为中档题或压轴题，它常以递推数列为载体，主要考查数列与函数、数列与导数、数列与恒成立、数列与不等式证明、数列与探索性等交汇问题，试题难度大，要求高，这说明理科解答题比文科解答题在难度系数上至少提升了一个档次．预测这仍是今后高考数列理科综合试题的考查特点和命题趋向．

综上可知，高考数列文科解答题与理科解答题的区分度很明显．因此，在复习数列时，应根据高考对文科、理科考生要求不同的特点，有的放矢地进行复习．文科考生不能拔高要求，向理科数列解答题的标准看齐，否则，消磨精力，加重负担，偏离考试目标，势必造成考试失误．理科考生应立足教材和考纲，重点掌握数列、数列递推公式概念、性质、求和公式以及解决数列问题的思想方法，并且在递推数列与不等式的交汇处练就扎实过硬的基本功，仔细研究近年高考数列解答题的考查特点和命题趋向，才能适应高考对理科的要求．

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文