人民币兑美元汇率预测的单一和混合模型比较分析

内容摘要：汇率作为具有线性和非线性复合特征的时间序列数据，单一模型和混合模型都常被用于刻画其波动特征。为验证两类模型的适用性，本文选择线性预测的ARMA模型和非线性预测的BP神经网络模型作为单一模型进行汇率预测，并选择小波-ARMA-BP神经网络模型作为混合模型进行预测，并得到相关结论。

关键词：汇率预测 小波 ARMA模型 BP神经网络

前言

汇率作为国家间货币折算的比率，是影响一国引进外商直接投资、银行国际金融业务、对外贸易及其风险管理的重要因素。自我国加入WTO后，随着金融开放程度的放大，外汇风险也在不断加大，因此，正确分析和预测外汇波动对我国政府金融政策的制定、外汇风险的规避均有至关重要的作用。但是由于汇率波动具有时变性、随机性、模糊性和混沌性等特点，使得汇率波动的趋势难以准确预测，但是看似无规律的汇率波动，却又具有显著的非线性时间依赖关系、长效记忆性和自相关性，这使得利用技术分析方法预测汇率成为可能。

常用的汇率技术预测方法为单一模型法与组合模型法：

单一模型预测法是基于时间序列分析的预测，包括参数和非参数模型（陈诗一，2007），以及线性和非线性模型（陈志民等，2007），如随机游走模型（RW）（Messe，s.t.，1983）、自相关移动平均模型（ARMA）（杨绍创等，2009）、广义自回归异方差模型（GARCH）（赵树然，2012），以及引入贝叶斯向量自回归模型（BVAR）（Sarantis，2006）、马尔科夫转换模型（Charles Engel，1994）和神经网络模型（Sfetsos s.t.，2005）等。由于单一模型各有其偏重和特长，模型的预测效果差别不大，难以较全面的反映汇率的波动规律（Sfetsos s.t.，2005），为加强预测效果，不同预测方法的组合模型应运而生。

组合预测模型可以分为线性组合模型和非线性组合模型。Bates和Granger是最初提出的线性组合预测理论的学者，随后这一思想被应用于汇率预测中。如：惠晓峰等（1999）利用购买力平价模型和货币模型的线性组合预测汇率，结果表明组合模型的预测结果较单一模型更稳定。但是，由于汇率的非线性特征，运用线性组合方法预测汇率仍有较大的局限性，因此，非线性组合模型成为学者近来研究的重点。神经网络和小波分析等方法被较多地引用到非线性组合模型中。如Tao H.（2006）利用小波-NN（Wavelet Neural Network）模型结合遗传算法对人民币兑欧元汇率日数据进行预测，结果显示这一混合模型的精度高于ARMA等单一模型，而且随着预测时间的延伸，预测精度并未降低。Pai，et al.（2006）采用线性和非线性SVM（Support Vector Machines）混合模型，通过遗传算法计算模型参数后，分别对英镑、法郎、德国马克和意大利里拉兑美元汇率的月度数据进行预测，发现这一混合模型的结果优于单一模型。

可见，汇率作为具有线性和非线性复合特征的时间序列数据（Zhang，2003），其预测方法已由简单的计量方法转化为复杂的组合预测方法。为探究两类模型在汇率预测中的准确度，我们选择常用于线性预测的ARMA模型和常用于非线性预测的BP神经网络模型作为单一模型进行预测，选择小波-ARMA-BP神经网络模型作为混合模型进行预测。这是因为：用于线性预测的ARMA模型能够较好地抓住时间序列的波动集群现象并能部分解释序列的尖峰厚尾特征。神经网络模型作为理论依据坚实，推导过程严谨，公式对称优美，具有强非线性拟合能力的模型，在选择适当的隐层数和相应的神经元数下，前馈神经网络能以任意精度逼近任意非线性函数。二者的特点决定了两个模型能够更好的预测汇率问题。而小波-ARMA-BP神经网络模型利用了小波变换的多分辨分析特点，将原始信号分解到不同频率通道上，并针对分解后不同信号分别采用线性预测模型和非线性模型进行预测，并将所得预测结果进行叠加，得到整个汇率的最终预测结果，这一方法为进一步提高波动性较大的汇率预测精度提供了一个新方法。

单一和混合汇率预测模型

（一）线性和非线性单一预测模型

1.ARMA预测模型。ARMA模型是自回归（AR）与移动平均（MA）模型的混合，其表达式为：

Yt=α1Yt-1+α2 Yt-2+…+αp Yp-1+εt-β1 εt-1-…-βqεt-q

其中，αi（i=1，2，…，p）和βj（ j=1，2，…，q）作为待估参数，分别是AR模型和MA模型的系数，p和q是模型的阶数，{εt}为白噪声序列。

利用ARMA（p，q）模型预测的关键是阶数p和q的确定，以及参数αi和βj的估计。模型阶数是先依据自相关系数和偏自相关系数确定其取值范围，再通过对阶数p和q的不同取值确定模型，然后运用最小二乘法估计模型参数，并通过参数的显著性检验和残差的随机性检验判断模型的可行性，最后依据赤迟信息准则（AIC）选取最小AIC值的模型为最终的ARMA模型。若时间序列Yt为非平稳时间序列，需进行d次差分将非平稳序列转化为平稳序列，再遵循上述建模过程建立模型，此时Yt是一个ARIMA（p，d，q）过程。

2.BP神经网络预测模型。BP神经网络作为典型的单项多层次前馈网络，包含了输入层、输出层和隐藏层，层与层之间采用全互连方式，同层节点间无关联，其信息处理分为前向传播和后向学习两步进行，网络的学习是一种误差从输出层到输入层后向传播并修正数值的过程，学习的目的是使网络的实际输出逼近某个给定的期望输出。

BP算法可以描述为：首先，给定输入Xi和目标输出Zk0，对于具有m个节点的输入层，x个节点的隐层和n个节点输出层的三层网络而言隐层节点和输出节点分别是：

（i=1，2，…，m，j=1，2，…，x）

（j=1，2，…，x，k=1，2，…，n）

其中，rij和rjk分别是输入层与隐含层和隐含层与输出层之间的连接权值，γj和γk为阀值，存在r0j1=γj和r0k1=γk。λ为激活函数，取为Sigmoid型：λ（τ）=1/（1+ exp（-τ））。

随后，从输出层开始，进行误差信号的反向传播，并根据梯度法，实现误差的精度要求，达到修正权值的目的。即：

其中，η1，η2为学习步长，μ1pj，μ2pk为误差项，μ2pk=Zk（1-Zk）（Zk0-Zk），。E为总误差，满足DE

最后，将验证样本输入至网络中，进行仿真预测，检验预测效果，并通过调整样本数、节点数、误差精度等方式重建网络进行再训练，以达到最优测试结果。

（二）小波-ARMA -神经网络混合预测模型

第一步，对原始数据进行小波分解和重构。利用小波基函数对样本数据Rt进行N层小波分解，得到第1至N层共N个高频信号和1个第N层低频信号：RHj={rhj，i}，Rt={rN，i} j=1，2，…，N；i=1，2，…，I。其中，RHj为第j层高频信号，RN为第N层低频信号，ri为第i个样本数据，I为时间序列的长度。由于每进行一层分解所得的信号减少一倍，这不利于预测，为使各层信号个数保持不变，需要对各层进行小波重构，重构到原尺度后可得N+1个与原始信号长度相同的信号和RH1，RH2，…，RHN 和RN，则有：

R=RH1+RH2+…，RHN+RN，

其中，RHj={rhj，i，1≤i≤I}为重构后的第j层高频信号，RN={rN，i，1≤i≤N}为重构后的第N层低频信号。则有，rj=rh1， j+rh2， j +…+rhN， j+rN，j。

第二步，低频信号预测。对于较平滑的低频信号采用ARMA模型进行预测。

第三步，高频信号预测。对N个高频信号分别建立BP神经网络预测模型进行预测。

最后，预测值组合。预测值的合成方法有很多，这里采用最简单的方式，将各高频信号和低频信号经预测得到的预测值直接对应相加，得到最终预测结果。

（三）预测值精度判断

将ARMA预测方法与BP神经网络算法所得结果与小波-ARMA -神经网络混合预测模型的最终预测值进行比较，评价指标选择均方误差（MSE）以及方向变化统计量（Dstat），二者分别定义为：

其中，εt为汇率的预测误差，即εt=Rt -Rt，T为预测样本长度；若（Rt+1-Rt）（Rt+1-Rt）≥0，θt=1，否则θt=0。

人民币兑美元汇率预测

本文选择2005年7月21日-2013年2月17日的人民币兑美元汇率中间价Pt为样本数据，因为要使用ARMA模型，而该模型的适用对象是平稳的时间序列，因而，将汇率序列转换为收益率序列Rt（Rt=log（Pt /Pt-1））进行研究。排除节假日共有1832个数据（见图1）。选取前1802个数据作为训练数据，将后30个数据分为三个预测期限进行样本外预测。因所选的单一模型是混合模型的一部分，因而，下面仅详细描述混合模型的预测过程。

（一）汇率序列的小波分解与重构

综合考虑Hear、Daubechies（dbN）、Biorthogonal、Coiflets、Mexican、Meyer六类小波函数的基本特性，针对汇率数据的特征，选择了dbN函数作为小波基函数。通过对比dbN系列小波中各小波的正则性，对汇率序列采用db5小波进行分解，分解层数为三层。分解结果见图2至图5，其中，ca3是低频信号，cd1、cd2和cd3是第1-3层高频信号。

（二）汇率预测

对得到的第3层低频信号和第1至3层共3个高频信号分别采用ARMA模型和BP神经网络进行预测。

第一步，利用ARMA模型对第3层低频信号进行预测。

对序列进行单位根（ADF）检验显示序列为平稳的时间序列，可以直接建立ARMA（p，q）模型。随后，通过观察序列的自相关系数和偏自相关系数图，发现序列为自相关系数拖尾，偏自相关系数2阶截尾，因而模型阶数p和q初步确定为2和0～6，依次对各模型进行估计，得到各模型的AIC值，再综合考虑参数的显著性水平和模型整体拟合情况等因素，选择了ARMA（2，6）模型。模型的估计结果为：

可以看出，模型绝大部分参数的t检验均显著。再观察模型残差项的自相关和偏自相关图，发现其自相关和偏自相关系数均在95%的置信区间内，残差的ADF检验结果也显示残差序列是平稳序列，说明模型的选择是合适的。

第二步，对三个高频信号运用BP神经网络采用单步滚动方式进行预测，并通过试错法确定三层BP模型的输入层及隐含层的节点数（见表1）。将BP神经网络输入及隐含层转换函数设为tansig，输出层的转换函数设为purelin，训练函数设为trainlm，训练次数设为2000，训练动量系数为0.9，学习速率为0.05，训练目标误差为0.001。利用BP神经网络依次对各高频信号进行训练后，误差分别达到5.724969×10-4、3.746547×10-4和2.049851×10-4。

（三）预测精度计算

将上述小波分解的预测结果进行加总后，与其他方法（ARMA模型和BP模型）比较其均方误差（MSE）与方向统计量（Dstat），所得结果见表2。可以看出：在人民币兑美元汇率序列的日度数据预测上，混合模型（小波-ARMA-BP）与ARMA模型和BP模型存在显著差异。混合模型在三个不同预测时期内的均方误差MSE依次为1.632696×10-4、1.367240×10-4和

1.054467×10-4，远优于单一模型。ARMA的模型预测效果虽远逊于混合模型，但却优于BP模型。同时，混合模型和BP模型的长期预测效果要好于短期和中长期的预测效果，而ARMA模型的长期和短期预测效果要好于中长期的预测效果；在人民币兑美元汇率序列的方向预测上，混合模型的方向预测统计量优于单一模型，且中长期与ARMA模型基本一致，且优于BP模型，同时方向统计量存在下降的趋势。

随后，选择2005年7月-2013年2月人民币兑美元汇率中间价为样本数据，并将汇率序列转换为收益率序列进行研究。共计90个数据。选取前81个数据作为训练数据，将后9个数据分为三个预测期限进行样本外预测，依照单一模型与混合模型的预测方法，选择ARMA（3，3）以及BP（8，12）模型作为单一模型对人民币兑美元月汇率进行了预测。同时，采用db5小波基函数有效分解并重构出汇率波动的三层高频信号和低频信号后，再运用 ARMA（2，6）模型的预测得到了汇率波动中的线性部分。并运用BP（8，15）、BP（8，12）和BP（8，12）的神经网络模型分别对一至三层高频部分进行预测得到了汇率波动中的非线性部分，加总预测结果得到了月度汇率波动的短期、中期和长期预测值的均方误差与方向统计量见表3。可以看出：在人民币兑美元汇率序列的月度数据预测上，混合模型在三个不同时期内的均方误差MSE和方向统计量均远逊于ARMA和BP所代表的单一模型。同时，ARMA模型的短期和长期统计结果均优于BP模型。而ARMA模型的中长期均方误差略大于BP模型，但二者的方向统计量相同。

结论

综上所述，本文认为汇率具有复杂的波动特性，单一模型和混合模型都曾被用于汇率预测，为验证这两类模型预测的有效性，我们选择ARMA和BP模型作为单一模型，并选择小波-ARMA-BP混合模型分别对人民币兑美元日汇率和月汇率进行预测。预测结果显示：对于人民币兑美元汇率的日度数据，小波-ARMA-BP混合模型较单一模型的预测效果较好。其中，混合模型的均方误差远低于单一模型，且ARMA模型较BP模型的预测效果稍好。混合模型的方向预测结果也优于单一模型，且中长期的方向预测结果与ARMA模型结果一致。而且，相较于单一模型，这一混合模型的中长期预测结果更显著；对于人民币兑美元汇率的月度数据，单一模型的预测效果要优于混合模型，且单一模型中的ARMA模型的预测效果要好于BP模型。同时，ARMA模型的短期和长期的预测效果要优于BP模型。中期内，ARMA模型的均方误差略大于BP模型，但二者的方向统计量一致。

因而，可以说，对于波动性较大的日度汇率数据，小波-ARMA-BP混合模型利用小波变换的多分辨分析特点，将原始信号分解到不同频率通道上，并针对分解后的低频信号（线性部分）和高频信号（非线性部分）分别采用ARMA模型和BP神经网络模型进行预测，并将所得预测结果进行叠加，得到整个汇率的最终预测结果，这一方法能够有效弥补单一模型仅能进行线性预测或是非线性预测的缺陷，降低了模型误差，达到较准确预测汇率趋势的目的，从而为制定合适的货币政策和宏观经济政策提供有利的依据。而对于相对平稳的月度汇率数据，混合模型在进行加权计算时，各单一模型在处理数据过程中所产生的误差也被加总，而且这一误差无法被混合模型的优势所弥补，因而此时单一模型相对更有效。可见，无论是单一模型还是混合模型都有其优势，要根据汇率波动的幅度选择最优预测模型。

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