中考数学新定义“线”型试题探究

在近两年来全国部分省市中考试题中不断出现一类“新定义”型的试题，由于这类试题新颖别致，解法灵活，富有创意，因而颇受命题老师的青睐。本文仅就新定义“线”型试题进行探究，供参考。

一、面积等分线

例1(连云港)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线。如，平行四边形的一条对角线所在直线就是平行四边形的一条面积等分线。

(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有；

(2)如图1(1)，在梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到点E，使CE=AB，连结AE，那么有S梯形ABCD=SAED，试给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线(不写作法，保留作图痕迹)；

(3)如图1(2)，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，SADC>SABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，试作出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由。

解(1)中线所在的直线。

(2)如图2(1)，连结BE。

因为AB∥CE，CE=AB，

所以四边形ABEC是平行四边形。

所以BE∥AC.

所以ABC和AEC的公共边AC上的高也相等。

所以SABC=SAEC，

所以S梯形ABCD=SACD+SABC

=SACD+SAEC=SAED.

作线段DE的重直平分线，交DE于点G，连结AG，AG所在的直线就是所求的面积等分线。(作图略)

(3)能，如图2(2)，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连结AE。

因为BE∥AC，所以ABC和AEC的公共边AC上的高也相等，所以SABC=SAEC.

所以S四边形ABCD=SACD+SABC

=SACD+SAEC=SAED.

因为SADC>SABC=SAEC，

所以面积等分线必与CD相交。

取DE的中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。

点评本题要求学生对“面积等分线”定义进行理解，并能运用新定义对是否是“面积等分线”进行判定和识别，题型有填空、作图和证明，知识点有平行四边形的判定，两条平行线间的距离相等及垂直平分线的性质。本题较好地考查了学生作图的水平和逻辑推理的能力。

二、美丽抛物线

例2(广东省茂名)已知：如图3，直线l：y=13x+b经过点M(0,1[]4)，一组抛物线的顶点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3)，…，Bn(n,yn)(n为正整数)依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…，An+1(xn+1,0)(n为正整数)，设x1=d(0

解(1)易得b=14。

(2)由(1)得l：y=13x+14。

因为B1(1,y1)在l上，

所以当x=1时，

y1=13×1+14=712，

得B1(1,712)。

设抛物线表达式为

y=a(x-1)2+712(a≠0)，

又x1=d，知A1(d,0)，

所以0=a(d-1)2+712，

得a=-712(d-1)2。

所以经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式为y=-712(d-1)2(x-1)2+712。

(3)存在美丽抛物线。

由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，所以此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半。

又因为0

当x=1时，

y1=13×1+14=712

当x=2时，

y2=13×2+14=1112

当x=3时，

y3=13×3+14=114>1。

所以美丽抛物线的顶点只有B1、B2。

若B1为顶点，由B1(1,712),

则d=1-712=512;

若B2为顶点，由B2(2,1112)，

则d=1-［(2-1112)-1］=1112。

综上所述，d的值为512或1112时，存在美丽抛物线。

点评这是一条特殊的“线”。是一次函数和二次函数相结合的综合题，其名称新颖，解题的关键主要根据新定义的要求，利用抛物线的对称性，结合直角三角形斜边上的中线和等腰三角形“三线合一”的性质。此题还充分考查了学生的函数思想，数形结合思想和分类讨论思想等重要数学思想，因而试题具有较强的综合性和创新精神。

笔者认为，加强这类中考课题的研究是很有必要的。

【作者单位：(225300)江苏省泰州中学附属初级中学】