如何进行数学命题的教学

中学数学是由概念、公理、定理、公式等组成的严密逻辑体系，命题（公理、定理、公式）是概念与概念的联合。显然，如果不能切实掌握中学数学的命题，就不能学好中学数学。因此，加强中学数学命题的教学，历来是中学数学教学中十分重要的任务。中学数学命题教学的基本要求是：使学生深刻理解数学命题的意义，明确其推导过程与适用范围，并且具备灵活运用数学命题解决问题的能力。

一、数学公理的教学

由于数学借助形式逻辑来建立知识体系，每一个真实命题都是由已知的真命题推导出来的。这样以此向上追溯，总有一些真命题不能依靠其他数学真命题来推导，这些命题就称为公理或公设。所谓公理，是指那些普遍性的，任何数学学科都需要的原理；而公设专指几何中使用的那些原理。公理与公设有时也统称为公理。

数学这种公理化研究方法，最早起源于古希腊，公元前3世纪欧几里得的《几何原本》是其标志。到了公元19世纪，由于非欧几里得几何的出现，促进了公理化方法的日趋完善。对于所选的公理系统，要求具备了“三性”。一是无矛盾性：要求从公理系统出发，无论推证到多远，决不能出现互相矛盾的结论。二是独立性：要求公理系统中的任何一条公理，都不能借助其他公理用逻辑方法推证出来。三是完备性：要求在公理系统的使用中，不需要再增加任何的新的公理。

在以上“三性”中，以无矛盾性最为基本。然而对中学数学教学而言，考虑到学生的接受能力，教学内容与时间的限制，并不要求如此严格，扩大公理的范围，同时对独立性与完备性也不作过高要求。例如，平面几何中线段的中点和角平分线的唯一性，三角形全等的判定定理等都作公提处理，这是根据教学实际情况而安排的。

在教学公理时，应注意从学生的生活经验出发，引导他们自己抽象出有关公理的内容。同时公理受客观的检验，应引导他们用具体实例加以验证，并且在证明数学命题或解决实际问题时逐步学会运用公理。

二、数学定理的教学

首先，应明确证明的思想。数学具有逻辑严密性的特点，数学中的结论常以逻辑推理作保证，要求言必有据。然而中学生认识不到证明的重要性，更不会进行具体的证明。在教学中，应重视证明思想的培养，进一步掌握证明的书写格式。只有通过严格的训练，养成证明的习惯，才能为学好数学定理打好基础。在做好以上工作的同时，在具体的方法上，还应该注意以下几点：

1.分清定理的条件与结论，掌握定理的内容和表达形式

命题引出后，要引导学生切实分清命题的条件和结论，能将文字叙述改写成用数学符号表示的式子，依照题意作出图形。同时要全面准确掌握定理的内容和表达形式，能用文字语言和数学语言分别进行叙述，但不要随便简化。例如，将“勾股定理”简述为“勾三股四弦五”、a2+b2=c2、AB2+AC2=BC2、勾2+股2=弦2都是不妥的。

2.分析定理证明的思路，掌握定理证明的方法

定理的证明方法往往具有示范性、典型性，学会定理的证明方法对提高证明能力关系很大，而作为证明方法，关键在于思路。

在初学证明定理时，对推理的每一步都要写出依据，随着熟练程度的提高而逐步简略。通常对初学的一些命题采用综合法书写过程，以后随着命题内容的加深逐步采用分析法，也可以同时采用分析、综合相结合的方法寻求证明途径。此外，还要注意引导学生学习并掌握证明定理的常用方法，如反证法、同一法、变更问题法、拼补法、几何变换法等等。

3.了解定理与其他知识之间的内在联系，使知识系统化

在教学中，要教会学生将已学习的定理、公式系统化，可按其逻辑关系进行纵向整理，也可以按其应用作横向整理，以及了解该定理有无逆定理。只有将有关命题组成一个网络，使知识系统化、条理化，才能进一步掌握定理。

4.加强定理的应用，提高运用定理解决问题的能力

学习定理，归根结底是为了应用。教学中，要及时介绍定理的应用和应用范围，精心安排系统，让学生进一步有目的、有计划地进行定理应用的练习。在应用中学会分析、综合，学会将定理进行转化后应用的能力，解几何题还要掌握添加辅助线的方法。只有通过适当的反复练习，才能加深对定理的理解，并发展运用了解决实际问题的能力。此外，在学习定理的过程中，还应该了解该定理是性质定理还是判定定理、该定理在理论与实际上的作用，以及当该定理的条件增强或减弱时结论可能发生的变化等等。只有这样，才能使学生逐步达到深入理解公理、定理、公式，并达到灵活应用的目的。

（作者单位：江苏省常州技师学院）