极端性原理在解数学问题中的应用

在解决某些数学问题时，有时常规方法不能奏效时，不妨去考查数学问题的特殊情形，即去研究它的“极端”情形或“临界”状态等.在极端情形之下数学问题呈现的特点或规律常常能使问题明朗化、简捷化.我们试从考查问题的极端情形入手实现解决问题的思维方法叫极端性原理.笔者试从几个角度来例谈它的一些应用.

一、考查图形边界点，极端思想来体现

例1 当x，y满足条件|x-1|+|y+1|

A.（-12，12） B.（-13，13）

C.（-12，13） D.（-13，12）

图1

解析：不等式|x-1|+|y+1|

观察图形可知临界点为A（0，-1）、C（2，-1）.

kPA=3，kPC=-3.

1kPC

二、寻找问题突破点，巧用极端成关键

例2 过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点.若线段PF与FQ的长分别为p、q，则1p+1q等于（ ）.

A.2a B.12a C.4a D.4a

解析：此题若直接求解，颇费周折.作为选择题，用常规方法处理，无疑是事倍功半.题目的关键句应是“过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点”.这里实际上间接提供这样一个信息：过抛物线的焦点F作一直线交抛物线与P、Q两点的直线显然是任意的！清楚了这一点，我们不妨取极端情形，即当过抛物线的焦点F且与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线与P、Q两点，此时显然有1p+1q=4a.

三、无限问题归有限，一分为二极端线

例3 平面内有n个点（n∈N，n≥3），若其中任意两点的距离不超过1，且任意三点组成的三角形为钝角三角形.求证：这n个点被一个半径为12的圆所覆盖.

证明：不妨设A，B两点的距离为最大.

若以AB为直径作圆C，显然AB≤1，其半径r≤12，则其余的（n-2）个点中任意一点M与A、B都构成钝角三角形MAB.

AB≥AM，AB≥BM，∠AMB是钝角，

点M在圆C内.

四、正难则反对立面，常用极端把桥联

例4 已知函数f（x）=x2+px+q.求证：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于12.

解析：假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于12.

|1+p+q|

|4+2p+q|

|9+3p+q|

-92

-192

-112

故假设不成立，所以原命题成立.

总之，穷则思变.当使用常规方法解答数学问题思维受阻或显得烦琐、复杂时，我们应去考查问题的极端情形.在解数学问题过程中，突破思维定式，利用考查数学问题的极端性，排除干扰，出奇制胜，往往能收到“短、平、快”这样意想不到的效果.利用极端性原理解决问题，看似偶然，其实全在必然之中；看似简单，却往往能透过现象抓住了事物的本质特征.