浅谈小学数学教学中的抽象

提到数学思想，我们就会想到转化、数形结合、对应、函数、分类等。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》），明确了数学的“基本思想”主要有数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想，因为这些思想既是数学产生与发展所依赖的根本，也是学生学习数学以后应该具备的思维能力。本文笔者将结合教学实践谈谈对数学抽象的理解、分类及实践。

一、多角度地理解数学抽象

数学是一门抽象的学科，无论概念、运算律还是公式等都是高度概括的结果。数学抽象就是把与数学有关的知识引入数学内部。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，从而建立了数学学科。如1，2，3，4等数是从具体实物抽象的结果，a-1，a，a+1这三个连续的自然数（a∈N且a≥1）也是从大量确定的实例中抽象出来的结果，点、线、面、体也是抽象出来的。

那么对于数学抽象可以从哪几个维度去理解呢？笔者认为，数学抽象从教学内容上分可以分为概念抽象、关系抽象、规律抽象和方法抽象等。

（一）概念抽象

这里的概念抽象是从广义上而言的，教学内容分别包括：数的抽象、图形的抽象、概念、法则以及定律的抽象等。

经历数的抽象过程：“2”是由“2个苹果、2支笔、2粒扣子、2张桌子”等具体实物抽象出来的；分数是测量或者分东西得不到整数的情况下产生的；负数表示意义相反的量，是从生活中的温度计中的零下5℃、电梯的地下2层、吐鲁番盆地的海拔高度、工资卡支出的钱数等实例中抽象出来的。

经历图形的抽象过程：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，从这句话中可以看出几何图形也是抽象出来的。如什么是圆？圆在生活中普遍存在，它是轴对称图形和中心对称图形。圆的认识过程可以通过摸一摸、折一折、描一描、量一量等方法，让学生建立对圆的直观认识，是脱离了生活中的光盘、井盖、车轮子等具体实物的物理属性而对形状进行抽象的结果。

经历概念的抽象过程：封闭图形一周的长度叫作周长；物体表面或平面图形的大小叫作面积；含有未知数的等式叫作方程。这些概念本身只是描述性的定义，学生会背诵就代表他们已经理解了吗？显然不是的，概念同样需要让学生经历抽象的过程。

以“平均分”这个概念的学习为例，教师可举多个例证，来引导学生进行概念的抽象。

把8朵花放在2个花瓶里，每个花瓶里放4朵，每瓶插的同样多就是平均分；

把9个苹果分给3个人，每个人分3个，每人得到同样多就是平均分；

把50本数学书分给50个人，每人得到1本，每人得到同样多就是平均分。

教师在给学生举了多个例子之后，学生就能逐步感悟：分什么都可以，分多少份都行，只要每一份同样多就是平均分。

经历计算算理的抽象过程：对于计算教学，“理解算理，掌握算法”是重中之重，要让学生体会算理直观和算法抽象的过程。以数的加减法为例，整数加减法、小数加减法和分数加减法，教师可给学生提供直观模型：小棒、方格纸、人民币等，让学生体会计数单位相同才能相加减。

经历计算算法的抽象过程：在计算算法的抽象中，以“万以内数的加法”一课为例，教师可以给学生出几个算式，让学生知道第一步要相同数位对齐，逐步体会“个位满十向十位进1，十位满十向百位进1，百位满十向千位进1”，当然也包括连续进位的例子。学生有了这些实例的体验和感悟，就能抽象出“哪一位满十就向前一位进1”的结论。这个抽象过程运用了数学推理中的合情推理。

（二）规律抽象

“探索规律”在第一学段和第二学段都有涉及，《课程标准》对于第一学段的要求是“探索简单情境下的变化规律”；对于第二学段要求是“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”。“探索规律”既是一个发现关系、发展思维的过程，也是经历规律获得的抽象过程。“探索规律”包括数的规律、形的规律、式的规律等，都是用已知推想未知。

（三）关系抽象

小学数学是一门关系学科，包括数量关系、图形关系等。数与数之间的关系有大小关系、相差关系、比率关系等。如王阿姨买了2千克梨、4千克苹果。那么梨比苹果少2千克，苹果比梨多2千克；买的苹果是梨的2倍，梨是苹果的；苹果和梨的比是2：1。这里倍数、份、分数和比有着密切的联系，它们的本质是比率关系。

在“数与代数”这个领域，除了数之间的关系，还有数量关系。加、减、乘、除四种运算体现着不同的数量关系。以乘法为例，随着知识的丰富、年级的升高，学生认识了单价、数量、总价之间的关系，理解了速度、时间、路程之间的关系，也掌握了工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，就会发现其实它们都是求每份数、份数和总数之间的关系，也就是乘法模型。这是一个循序渐进、逐步抽象的过程。

在“图形与几何”领域，图形之间可以有全等关系或相似关系等；从图形之间的内在联系角度可以分为包含关系、交叉关系等。如在平面图形中，长方形、正方形和平行四边形都是四边形，它们之间具有怎样的关系呢？正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。可以用下图表示它们之间的关系：

（四）思想方法的抽象

由“数学抽象的思想”派生出来的下一层次的思想包括：分类、集合、数形结合、“变中有不变”、符号表示、对称、对应、有限与无限的思想等。教师在教学中，不仅要让学生习得方法，更要重视学生学习的过程，并在教学中有意识地渗透思想方法。

如“分类”是一种重要的数学思想方法。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。

“分与合”也是一种重要的思想方法。数的认识中就有“分与合”的思想，如1234是由1个千、2个百、3个十和4个一组成的，10.34是由1个10、3个0.1和4个0.01组成的……数的计算也是如此，计算123×4，就是把100个4、20个4和3个4合起来；除数是一位数的除法，先分整捆的，再分单根，最后把分的结果合起来。计算中也运用到了“分与合”的思想，如以下算式：

平面图形面积的学习则离不开“转化”。长（正）方形面积的计算方法是利用小的面积单位密铺得到的，每行的个数乘行数就是面积；接下来学习的平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、圆的面积等都是通过“转化”成已学过的图形，在保证等积变形的基础上获得新图形面积的计算方法的。

二、有层次地进行数学抽象的分类

数学抽象从认知层面可以分为三个层次：抓住事物特征、语言表达；抓住事物本质、符号表达；抓住事物关联、模型表达。层层深入，共同作用，完成学生对概念的深入理解和掌握。

如对周长、面积、体积本质的理解可以用语言来表达：周长是长度单位个数的累加；面积是面积单位个数的累加；体积是体积单位个数的累加。让学生体会度量的思想。

乘法分配律的抽象既可以用语言表达、用符号表达，也可以用模型表达。

两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。这就是语言表达； （a+b）×c= a×c+b×c，这是符号表达。

又如“正比例的意义”的学习，通过学生能理解的多个素材获得对概念的抽象过程，也可以用三种抽象来表达。

语言表达：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，也就是商一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。

教师在教学中应根据学生的认知特点和接受程度，让学生的抽象概括能力分阶段、有层次地发展，在循序渐进中获得对概念的丰富理解。

三、有意识地进行数学抽象的实践

小学生受自身思维和认识水平的制约，在学习中必须借助感性认识才能实现对数学概念、公式、数量关系、图形关系等的掌握，因此需要教师精心设计活动，有必要让学生经历知识的形成过程，了解知识的来龙去脉，感受概念的抽象概括历程。

对于抽象的数学知识，可以借助教具的演示、多样化学具的操作，让抽象知识形象化。

对于抽象的数学定律，需要找准学生的认知起点，能够在已知和未知之间架起一道桥梁，让数学的抽象水到渠成。

对于抽象的关系，要从生活中寻找原型，多举实例，从概念的动作表征、表象表征和符号表征等多个表征理解概念，能够透过现象看本质。

对于抽象的数学概念，要像泡压缩饼干一样慢慢泡开，体现举三反一的过程，并在生活中应用概念，诠释举一反三的含义。与此同时，要和数学的推理、数学的模型结合在一起，贯穿于数学学习的始终，共同承担对学生数学抽象概括能力的培养。

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