谈高中数学中导数的应用

【摘 要】导数部分作为新教材中的新增内容，导数是一个很好的工具，应用十分广泛，因此近几年的高考逐年加大对导数问题的考查力度，导数的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和途径，拓宽了函数应用的领域，成为中学数学的一个新的亮点.因此，在探讨函数的单调性、极值（最值）、不等式、根的分布以及解析几何问题等有关问题时，要充分发挥导数的工具性作用，优化解题策略、简化运算.本文在对高考试题分析的基础上归纳总结涉及导数问题的几类问题及其求解策略。

【关键词】高中数学 导数 应用

1.利用导数定义求极根

2.用导数研究函数图像

例2 （2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点().

解析 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。

3.利用导数研究函数的单调性

例3 函数y=x sinx+ cos x在下面哪个区间内是增函数?

解析 y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx，

当x∈3π2，5π2时，恒有x cosx＞0.故选C.

4.利用导数研究函数极值与最值

例4 （2006年全国文20）设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.（1）求a，b的值；（2）若对于任意的x∈［1，3］，都有f(x)

解 （1）f′(x)=6x2+6ax+3b，函数f(x)在x=1及x=2取得极值，则有f′(1)=0，f′(2)=0.

即6+6a+3b=0，24+12a+3b=0，解得a=-3，b=4.

（2）由（1）可知，f(x)=2x3-9x2+12x+8c，

f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).

当x∈(0，1)时，f′(x)>0；

当x∈(1，2)时，f′(x)

当x∈(2，3)时，f′(x)>0.

当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=5+8c.

又 f(0)=8c，f(3)=9+8c，

则当x∈［0，3］时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c.

对于任意的x∈［0，3］，有f(x)

9+8c

因此c的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞).

点评 利用导数求函数极（最）值是近几年高考必考的一个重要知识点.

5.利用导数的几何意义处理曲线的切线问题

例5 (2005年福建卷)已知函数f(x)=ax-6x2+b的图像在点M(-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0，求函数y=f(x)的解析式。

解 f′(x)=a＆#8226;(x2+b)-(ax-6)＆#8226；2x(x2+b)2=ab+12x-ax2(x2+b)2，

f′(-1)=ab-12-a(1+b)2=-12.①

又 f(-1)=-a-61+b=-2，②

联立①②，解得a=2，b=3.

于是函数y=f(x)的解析式为f(x)=2x-6x2+3.

点评 ①以上两题主要考查导数的几何意义、切线方程、公切线方程的表示法以及方程的相关知识.这是导数的一种最基本的应用.②f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率，其切线方程可以表示为y=f(x0)=f′(x0)(x-x0).

6.用导数解决交点的问题

用导数来探讨函数的图像与交点的问题就是根的分布问题.主要的步骤是：（1）首先构造函数f(x)；（2）研究函数的单调性和极值；（3）画出函数的图像，观察与x轴的交点情况.

例6 已知平面向量a=(3，-1)，b=12，32.

（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2-3)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式k=f(t)；

2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.

解 (1)xy，x＆#8226;y=0，

即［a+(t2-3)b］＆#8226;(-ka+tb)=0.

整理后，得-ka2+［t-k(t2-3)］a＆#8226;b+(t2-3)＆#8226;b2=0.

a＆#8226;b=0，a2=4，b2=1，

上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=14t(t2-3).

(2)讨论方程14t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=14t(t2-3)与直线y=k的交点个数.

于是f′(t)=34(t2-1)=34(t+1)(t-1).

令f′(t)=0，解得t1=-1，t2=1.当t变化时，f′(t)，f(t)的变化情况如下表：

f(t)极大值极小值

当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=12；

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-12.

函数f(t)=14t(t2-3)的图像如图所示，可观察出：

(1)当k＞12或k＜-12时，方程f(t)-k=0有且只有一解；

(2)当k=12或k=-12时，方程f(t)-k=0有两解；

(3)当-12＜k＜12时，方程f(t)-k=0有三解.

点评：运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程、函数的极值、图像的交点问题在高考题出现比较频繁，应引起重视.

7.利用导数处理含参数的恒成立不等式问题

例7 （2007年福建）设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R，t>0).

（1）求f(x)的最小值h(t)；

（2）若h(t)

本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.

解 （1）f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R，t>0)，

当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1，即h(t)=-t3+t-1.

（2）令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m，

由g′(t)=-3t2+3=0，得t=1，t=-1（不合题意，舍去）.

当t变化时g′(t)，g(t)的变化情况如下表：

g(t)递增极大值1-m递减

g(t)在(0，2)内有最大值g(1)=1-m.

h(t)

点评：构造函数g(t)，求出g(t)在(0，2)内最大值g(1)=1-m，即1-m

导数知识与不等式知识的结合求解一类参数的取值范围，是在知识交汇点上设计的题目，能考查学生对各知识点进行渗透及综合分析问题的能力。

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。