数学思想在教学中的运用

数学思想方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁。数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。现在就方程思想、分类讨论思想、整体思想在实数教学中的运用。

一、方程思想

实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

例1：若实数a、b满足 +（b+ ）2=0，则ab的值是（ ）

A.1 B.-1 C. D.-

解析： 、（b+ ）2=0都是非负数，根据非负数的性质可得到关于a、b的方程： =0、（b+ ）2=0，解这两个方程，得a=3，b=- .因此ab=-1，故选答案B。

点评：当题目中出现两个未知数时，一般需要两个方程才能求解，而本题在一个等式中出现了两个未知数，不能直接求解，故联想到非负数的性质：若几个非负数的和是0，则每个非负数都等于0，利用这一性质构造两个方程是解决此类问题的关键所在。依次类推，当题目中出现两个以上未知数时，一般需要两个以上的方程才能求解，而题目中只有一个方程出现，不能直接求解，也可用此方法。

二、分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中考试题中占有重要的位置。

例2：已知|x|=3， =5，且xy>0，则x+y=（ ）

A.8 B.-2 C.8或-8 D.2或-2

解析：由|x|=3， =5，可得x=±3，y=±5.xy>0，x、y同号，当x=3，y=5时，x+y=8，当x=-3，y=-5时，x+y=-8，所以x+y=8或-8，故选C答案。

点评：本题中的x与y可能是正数，也可能是负数，由题意分析出来的四种情况，由于知道x、y同号，至于都是正数还是都是负数题目却没有明确给出，因此应分两种情况加以讨论否则就会出现漏解现象。

三、整体思想

整体的思想方法就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上、整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

例3：已知2（x-7）2=32，求x的值，

解析：首先把x-7看作一个整体，化简，得（x-7）2=16，开方，得x-7=±4，当x-7=4时，x=11；当x-7=-4时，所以x=11 或x=3。

点评：在解方程时，同学们常想到先化简方程，再求解，但对于本题来说就非常繁琐，并且在现有的知识范围内是行不通的，若用整体思想进行求解则显得非常简单、快捷。

参考文献：

1.张金良；数学思想方法在数学认知结构中的作用[D]；福建师范大学；2001年

2.胡典顺；论数学思想方法在中学数学教学中的渗透[D]；华中师范大学；2001年

3.顾泠沅，朱成杰。数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004

4.唐少雄。 渗透数学思想方法要注意“三性”[J].福建教育，2007，（10）

5.王薏。在《植树问题》中渗透数学建模思想[J].中小学数学・小学版，2008，（9）