函数y=(ac≠0)的图象与性质

【摘要】函数y= （ac≠0）的图象与性质。

【关键词】函数 ； 图象 ； 性质

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）27-0284-01

函数y= （ac≠0）是经常遇到的一类函数，它的图象有什么特点，有哪些重要性质？下面就这个问题做一简单的探讨。

为了探讨方便起见，将函数y= （ac≠0）分离常数，即

y= + 。为了叙述方便起见，记y= （ac≠0）为函数（1）。

1.ad=bc时的图象和性质

1.1当ad=bc且b=d=0时的图象和性质

当ad=bc且b=d=0时，函数（1）可化简为y= （x≠0），它的图象是一条过点（0， ），与x轴平行且不包含点（0， ）的直线（图1）。

它有如下性质：

（1）定义域：{x∈R|x≠0}。

（2）值域：{ }。

（3）奇偶性：因为函数（1）的定义域是{x∈R|x≠0}，关于原点对称，且对于定义域内的任一自变量x都有f（-x）= =f（x），所以函数（1）是偶函数。

（4）周期性：因为对任意非零实数T，当x=-T时，函数（1）都有f（x+T）≠f（0）

而f（0）不存在，即存在x=-T，使f=（x+T）≠f（x）

所以，函数（1）不是周期函数。

（5）单调性：因为对于函数（1）定义域内的任意两个自变量x1，x2，当x1

1.2当ad-bc=0且bd≠0时的图像和性质

当ad-bc=0且bd≠0时，函数（1）可化简为y= （x≠- ），它的图象是一条过点（0， ），与x轴平行且不包含点（- ， ）的直线（图2）。

它有如下性质：

（1）定义域：{x∈R|x≠- }。

（2）值域：{ }。

（3）奇偶性：因为函数（1）的定义域是{x∈R|x≠- }，不关于原点对称， 所以函数（1）是非奇非偶函数。

（4）周期性：因为对任意非零实数T，当x=-T- 时，函数（1）都有f（x+T）=f（- ）

而f（- ）不存在，即存在x=-T- ，使f（x+T）≠f（x）

所以，函数（1）不是周期函数。

（5）单调性：因为对于函数（1）定义域内的任意两个自变量x1，x2，当x1

2.ad≠bc时的图象和性质

当ad≠bc时，把反比例函数y= 的图象向左或向右平移| |个单位，再向上或向下平移| |个单位，就得到函数（1）的图象，它是以点（- ， ）为对称中心，以直线y=±（x+ ）+ 为对称轴的双曲线（图3）。

它有如下性质：

（1）定义域：{x∈R|x≠- }。

（2）值域：当ab≠bc时，因为 ≠0，所以y= + ≠ ，因此函数（1）的值域是{x∈R|x≠ }。

（3）奇偶性：因为函数（1）的定义域是{x∈R|x≠- }，不关于原点对称， 所以函数（1）是非奇非偶函数。

（4）周期性：假设函数（1）是周期函数，T（T≠0）是它的周期，则对于函数（1）定义域内的任意自变量都有f=（x+T）=f（x）

即 + = +

化简，得 =

即x+T+ = x+

所以，T=0

这个结论与T≠0矛盾，说明假设错误，即函数（1）不是周期函数。

（5）单调性：利用函数单调性的定义，容易证明：

当时ad-bc≠0时，函数（1）有两个单调区间（-∞，- ）和

（- ，-∞），当ad-bc>0时，在这两个单调区间上都是减函数；当ad-bc