如何将操作经验内化为数学经验

小学生数学知识的习得，抽象数学概念的建构，是按照“动作认知（操作水平）――图形认知（表象水平）――符号认知（分析水平）”的秩序渐进发展的。在实际教学中，有的教师只注重引导学生通过操作活动获取感性的经验，忽略了让学生亲身经历把操作经验内化为数学经验的过程，导致数学抽象思维活动因缺少数学表象经验的跟进而缺乏应有的宽度和深度，降低了操作的实效。如何将具体的操作经验内化为抽象的数学经验呢？

一、活动组织：变“一”为“几”，夯实感性经验基础

学生的数学思维活动是以数学表象为基础的，而数学表象又源于直接的感性经验。感性经验的获取往往离不开操作活动的支撑。教学实践表明，形式多样的操作活动能够充分调动学生的多种感官参与感知，使其获得丰富的感性经验。为此，教师要跳出“一例一动”的束缚，变“一”为“几”，组织多样化的操作活动，帮助学生积累具体、鲜活的感性经验。

例如，教学“长方形和正方形”时，教师可以设计如下操作活动：（1）找一找：找出教室里哪些物体的面是正方形（或长方形）。（2）摆一摆：用小棒摆出长方形（或正方形），感受方位、大小不同的长方形和正方形。（3）折一折、量一量、比一比：利用长方形和正方形纸片折、量、比，观察长方形和正方形的边和角各有什么特点，并把自己的发现记录下来。（4）说一说：长方形和正方形有哪些相同之处和不同的地方？（5）围一围：先想一想长方形和正方形的样子，再把想到的长方形和正方形在钉子板上围出来，（6）拼一拼：用两副同样的三角尺分别拼成一个长方形和正方形。（7）剪一剪：用一张长方形的纸折出一个最大的正方形，再剪下来。（8）画一画：在方格纸（每个小方格边长1厘米）上各画一个长方形和正方形，并说出长方形和正方形每条边的长度。

这样，学生在数学活动中，通过多层次、多形式的操作活动以及在活动中的观察、思考、交流，不仅获得了丰富的有关长方形和正方形特征的感性经验，而且培养了主动探索和动手实践的能力。

二、教学节奏：变“快”为“慢”，强化表象经验积累

数学表象在学生的数学思维活动中具有中介、桥梁的作用。操作经验的内化离不开清晰的数学表象。操作活动的节奏影响着学生数学表象形成的清晰度。为此，教师要把握好操作活动的节奏，变“快”为“慢”，特别要关注学生对介于具体思维和抽象思维之间的数学表象的充分感知，强化表象经验积累。

例如，教学“8和9的加减法”时，首先，教师可以要求学生借助“珠子”进行操作：第一堆摆2颗珠子，第二堆摆6颗珠子，再把两堆合并在一起，然后从8颗中移走2颗……如此不断变换形式，调控好操作速度，实现人人参与摆珠子，并在操作、观察和交流中初步体会到不同的摆法表示不同的含义。摆珠子时，可以采用不同的方法：合并在一起，珠子多了，用加法；移走一部分，珠子少了，用减法。并通过多媒体借用“”来把摆珠子的“合并”或“移走”的过程动态演示出来：

要求学生边看图示边思考，说出摆的过程及其涵义，让学生再次体验到加法、减法意义的联系与区别。图（1）用加法计算，因为“？”表示“总数”；图（2）用减法计算，因为“？”表示“部分数”。然后呈示图（3），这时学生立即产生疑问，为什么“？”的位置不同仍用减法计算。此时，教师再次放慢探索的步伐，引导学生对图（2）、图（3）进行对比分析，让学生在比较中深刻领悟到：两者都是求“部分数”，所以都用减法。但因为所表示的是不同的部分，所以“？”号的位置也就不同，因而所列的算式也就不同。最后，让学生根据图示列出算式进行解答。

在学生发生疑问时，教师放慢探索的步子，通过多种形式的强化活动，借助珠子、图形等中介，实现了“操作――图示――算式”的有机结合，沟通了具体的实物与抽象的符号之间的内在联系，丰富了表象经验积累。

三、数学思考：变“明”为“隐”，突出数学表象链接

操作不仅在于积累数学表象，更注重抽象、提升。数学表象只有具有一定的抽象性、概括性，才能沟通直观经验与抽象经验的联系。为此，教师在强化表象时，不能只停留于具体直观思维，就事论事，而要适度抽象，适时反思，帮助学生建立起具有一般性、概括性的数学表象，进而促进学生自主内化数学活动经验，提升数学思维能力。

例如，教学“有余数除法”：“有23盆花，每组摆5盆，可以摆几组？还多几盆？”教师可以这样设计：（1）摆一摆：先让学生用小圆片代替花盆动手摆一摆，并将摆的结果以图出示，然后引导学生观察、分析、交流，使学生初步感知：可以将23盆花平均分成4份，还多3盆。从图示中可以清楚地看出，剩下的3盆是平均分后余下的数，称为余数。这是图示与余数意义的第一次结合，很好地呈现了余数概念的形成过程，而旁边出现的“余数”一词概括了“3盆”的实质――余下的数。（2）画一画：让学生用“”表示花盆，把刚才摆的过程在练习本上画出来，边画边说出摆的过程。教师相机出示算式表示摆的过程并作相应的板书：

再让学生结合摆圆片或画的情况说出板书中“23、5、4、3”所表示的意思，特别是“3”表示的意思，使学生深刻理解余数的含义――平均分后还剩下的数。由摆圆片到抽象出算式，学生在头脑中建立起数与形的一一对应关系，经历了符号化的过程，进一步将概念的表征与实质联系起来。（3）想一想：如果再增加1盆花，可以怎么摆？增加2盆呢？先让学生凭借刚才的操作经验进行想象，如果想象有困难，再动手摆一摆或画一画。然后组织学生进行观察、比较、交流，让学生在思辨中统一认知：当“余数”和除数相等时，商可以再增加1，而余数没有了则用0表示。这样就帮助学生深刻理解了余数的本质特征，认识了有余数除法的意义。

上述案例中，操作活动从圆片过渡到图形再到抽象出算式，思维由动作化到表象化再到抽象化。渐进抽象的操作载体，使数学思维不再局限于某个特定实物，而是变“明”为“隐”，并引发学生结合具体事例进行个性化诠释，多角度寻求与数学意义相一致的数学模型，进而突出了数学表象与思维过程的链接。在将操作经验内化为数学经验的过程中，要充分发挥介于具体的操作经验与抽象的数学经验之间的“图形认知”的桥梁作用，有效沟通形象体思维和抽象思维之间的联系，使学生的数学思维按“动作思维――形象思维――抽象思维”的顺序由浅入深，循序渐进，不断提升，有效地将具体的操作经验内化为抽象的数学经验。

作者单位

福建省上杭县临江城东小学

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