数学巨人的“幂”事

斐波那契解“棋盘问题”

古印度有一个国王，很喜欢下棋.国王从来没有遇到过敌手，只赢不输.一天，国王下令：谁能赢了他，就可以满足这个人提出的一个愿望.

一位从未跟国王下过棋的大臣要求与国王对弈.结果聪明的大臣赢了.

国王大度地说：“提出你的要求吧，我会信守诺言的.”

大臣轻轻地说：“我只想要一些麦粒，能把棋盘放满.这个棋盘共有64个方格，陛下，请在第一个格子里放一粒麦粒，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒……依此类推，直至第64个格子.”

国王一听，不假思索地说：“这个小小的要求，我立刻就满足你.”于是，命令管粮食的大臣按计算方式算好麦粒的数目.管粮食的大臣计算后，走到国王面前悄声说：“陛下，按照他的要求，全国的粮食加起来也不够啊！”说完大臣把计算结果给国王看，得数是18 446 744 073 709 551 615（粒），1立方米的麦粒大约是1 500万粒，一共要给他12 000立方米的麦粒.国王一听傻了眼，这可怎么办？

中世纪，意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）再解这个问题时，遇到了难以表达的大数问题，斐波那契被迫给出了一种记法：先算出棋盘前两行之和，再加1得65 536，将65 536枚金币装入一保险箱，将65 536个保险箱放入一座房子，再将65 536座这样的房子放进一座城市，65 536座这样的城市所含的金币减去1，就是棋盘上所有麦粒数字的和.

在没有幂的表示方法的时代，要表达一个大数是多么不容易啊！

海边的奇思

叙拉古是古希腊的一个独立城邦.叙拉古国王希罗（Hiero）之子盖罗（Gelo）是大数学家阿基米德（Archimedes，前287～前212）的好朋友.

一天，阿基米德同盖罗在海边一起散步，阿基米德三句话不离本行，谈起了大数问题.

“我们脚下的这片沙滩共有多少粒沙呢？”阿基米德问朋友.

“有无穷多粒吧.”盖罗回答.

“那么整个西西里岛上的沙粒数呢？”阿基米德接着问.

“当然也是无穷多.”盖罗不假思索地答道.

“可是，亲爱的朋友，不仅西西里岛，世界上任何地方的沙粒数都是有限的.我可以证明，我能找到一个大数，使得整个地球，甚至整个宇宙的沙粒数不超过这个数！”阿基米德自信地说.（那时候的天文学家认为，宇宙就是以地球为中心、地日距离为半径的球.）

“是真的吗？太不可思议了！”盖罗睁大眼睛看着眼前的这位数学家.

“对于一个没有学过数学的人来说，那的确令人难以置信.”阿基米德回答.

接下来，阿基米德开始向朋友介绍自己的大数计数法：从1数到1万，再从1万数到1万万，将1到1万万称之为一阶数；从1万万数到1万万个1万万，称之为二阶数；从1万万个1万万数到1万万个1万万个1万万，称之为三阶数……最后数到一万万阶数.

虽然盖罗平日里常常向阿基米德学数学，但他还是有点头晕.阿基米德告诉朋友，根据他的证明，若将沙粒看成罂粟壳那么大，装满整个宇宙不超过1000个七阶数（1后面有51个零）.而装满整个阿里斯塔克斯恒星球的沙粒数不超过10 000 000个八阶数（1后面有63个零）.

盖罗强烈要求阿基米德将其大数计数法和计算沙粒的计算方法写成书，让更多的希腊人学习.

计算沙粒数时，要面对1051这个大数，但在17世纪以前，人们并没有简便的大数记法.阿基米德采用“万万进”的记数方法表达了这个大数，并提出了一个定理――用今天的记号，就是10m×10n=10m+n.

在阿基米德之后，古希腊数学家丢番图（Diophantus，3世纪）、阿拉伯数学家阿尔・卡拉吉（al-Karaji，953～1029）、意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）等都采用“加法法则”来记四次及更高次幂，如用“平方――平方”表示四次幂，用“平方――立方”表示五次幂等等.

15～16世纪的欧洲数学家则通过等差和等比数列之间的对应关系来呈现同底数幂的运算法则.德国数学家斯蒂菲尔（M.Sifel，1487～1567）在《整数算术》中讨论了四种对应关系：幂的运算中的乘、除、乘方、开方分别对应于四则运算中的加、减、乘、除.以第二种为例，同底数幂的除法对应的是指数相减（如2m÷2n=2m-n）.

1637年法国数学家、哲学家笛卡尔（R.Descar，1596～1650）在《方法论》附录（《几何W》）中创用了幂的新记号：如用a3表示a・a・a，用a4表示a・a・a・a等等.有了笛卡尔的新记号，同底数幂运算等幂的运算法则的导出就变得自然而然了.

数学之精妙在于人们在生活中的不断探索、思考、发现和应用，站在巨人的肩上我们可以看得更高、更远.同学们，让我们拥抱数学，明天你也许就是一位“数学巨人”.

（作者单位：江苏省盐城市中兴实验学校）