时间：2023-10-31 03:02:48
基础定理：动量定理；机械能守恒定律；能量守恒定律；动能定理；动量守恒定律。
经典题型：在光滑水平面上，一质量为m1的小球以速度v1撞击质量为m2的静止小球（如下图）。
该题型又可以分为三种情况：弹性碰撞、非弹性碰撞与完全非弹性碰撞。
一、弹性碰撞
满足动量守恒：m1v1=m1v2+m2v3
机械能守恒：m1v12=m1v22+m2v32
两者联立，解得：v2=v1，V3=v1（二级结论公式一）
二、非弹性碰撞
碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）必须满足三个约束：
（1）动量约束，即碰撞前后动量守恒：m1v1=m1v2+m2v3
（2）能量约束，即碰撞前后系统能量不增加：m1v12≥m1v22+m2v32
（3）\动约束，即碰撞前若A物体向右碰撞B物体，那么碰撞后A物体向右的速度不可超越B物体。（v3≥v2）
三、完全非弹性碰撞
碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）
满足动量守恒：m1v1=（m1+m2）v2
满足能量守恒：m1v12=（m1+m2）v22+E损失
联立解得E损失=・m1v12（二级结论公式二）
此处注意：E损失=・m1v12中的“m1v12”即物体m1的初动能。所以，只需识记公式前的系数“”即可。
下面由一道例题进行分析讲解：
一个质量为m1=1kg，长为L=65m的木板在光滑的地面上以速度v1=2m/s向右滑行，一个质量为m2=2kg的小木块（可视为质点）向左以速度从木板的右端滑上，木块和木板的摩擦系数是u=0.1，滑行一段时间后木块和木板达到共同速度，然后木板碰撞光滑半圆弧，碰后木板停止运动，木块最终无能量损失地滑上圆弧。求：
（1）木板从开始到向右运动到最远点过程中系统产热量。
（2）木板从开始到和木块达到共同速度的过程中系统产热量。
[v1][v2][r]
讲解：
（1）木板从开始到向右运动到最远点过程中，此时木板的速度为零，根据系统的动量守恒求出此时小木块的速度。再根据系统的能量守恒列式求解此过程中产生的热量。
（2）根据系统的动量守恒求出共同速度，再运用能量守恒列式求解此过程中产生的热量。
（3）木块滑上圆弧的过程中不脱离圆弧，有两种可能：一种是木块恰能上升到圆弧最高点，由重力提供向心力；另一种是木块恰能上升到圆弧最左点。根据牛顿第二定律和机械能守恒列式求解。
解：（1）木板向右运动到最远点时速度为0，系统动量守恒（向左为正）：
m2v2-m1v1=m2v3
计算得出：v3=13m/s
m1v12+m2v22=m2v32+Q1
系统能量守恒：m1v12+m2v22=m2v32+Q1
Q1=29J
（2）从开始到木块和木板达到共同速度过程中，
动量守恒：m2v2-m1v1=（m1+m2）v共
计算得出：v共=m/s
系统能量守恒：m1v12=（m1+m2）v共2+Q2
计算得出：Q2=/ f（256，3）J
结语：牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律，这些都是我们在处理运动学问题中经常使用的工具，而题目千变万化，运用单一的解题手法是万万不够的。运用多种方法联和解题、多角度解题，是做题的正确思路，也是出题人对学生的考查所在。物理有很多的看似独立、实则密切相关的知识点构成体系与网络。留待同学们一一做出梳理，归纳其中实用的二级结论，为自己在物理的学习上添砖加瓦！
一、巧用守恒量――合动量
系统初状态的合动量是动量变化的核心，充分利用合动量的大小和方向可以简化对复杂过程的分析和理解。
例1、 如图1所示，小车放在光滑地面上，A、B两人站在车的两头，这两人同时开始相向行走，发现小车向左运动，分析小车运动的原因，可能是。
A、A、B质量相等，但A比B的速率大
B、A、B质量相等，但A比B的速率小
C、A、B速率相等，但A比B的质量大
D、A、B速率相等，但A比B的质量小
分析与解
由于系统的合动量为零，可知小车的动量与A、B两人的动量大小相等，方向相反。由于小车向左运动，A、B两人的动量方向向右，且A向右运动，B向左运动，应有A的动量大于B，即PA>PB
正确答案选A
点评：系统的守恒量为“0”。
例2、质量为M的小船以速度V0行驶，船上有两个质量皆为m的小孩a和b，分别静止在船头和船尾，现小孩a沿水平方向以速率V（相对于静止水面）向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率V（相对于静止水面）向后越入水中。求小孩b跃出后小船的速度。
分析于解
人和船系统的合动量P合=（M+2m）V0，a、b两人跳船后的合动量为零，设小孩b跃出后小船的速度为V，由动量守恒定律可得
（M+2m）V0=MV 所以V=（1+2m/M）V0
点评：人和船系统的守恒量为（M+2m）V0，方向与V0相同。
二、 巧用碰撞模型
对于动量守恒的物体系统，若系统的末状态具有相同的速度，则可把系统的运动过程等效为完全弹性碰撞模型。
例3、甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M=30kg，乙和他的冰车总质量也为M=30kg，游戏时，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为V0=2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子滑出，才能避免与乙相撞。
分析与解
甲推出木箱，乙抓住木箱的过程可视为弹性碰撞过程，当三者共速时，系统具有的动能最小，则甲推木箱的速度最小。设甲推木箱的速度为V甲，乙抓住箱子后和箱子的速度为V乙。当V甲≤V乙时，可避免相撞。若要使甲推木箱的速度最小，乙抓住木箱后系统应具有相同的速度V。
对甲、乙、木箱系统，其动量守恒量P=mv0，由动量守恒可得
mv0=（2M+m）V①
设甲推出箱子的最小速度为V'，对甲和木箱系统，其动量守恒P'=（M+m）V0，由动量守恒定律可得
（M+m）V0=MV+mV' ②
联立①②解得
V'=（2M2+2Mm+m2）V0/2Mm+m2
即：V'=5.2m/s
点评：用弹性碰撞模型，求解相互作用最小速度，简化了对复杂过程的分析，降低了求解的难度。
例4、质量为100千克的甲车连同质量为50千克的人一起以2米/秒的速度在光滑的水平面上向前运动，质量为150千克的乙车以7米/秒的速度由后面追来，为了避免相撞，当两车靠近时甲车上的人至少应以多大水平速度跳上乙车？
A6米/秒 B4米/秒
C3米/秒 D2.4米/秒
分析与解
由弹性碰撞规律可知，末状态系统共速时，人跳车的速度最小。选甲车、人和乙车为研究对象，相互作用过程动量守恒，其守恒量P=（m甲+m人）V1+m乙V2，由动量守恒定律可得
（m甲+m人）V1+m乙V2=（m甲+m人+m乙）V ①
对甲车和人组成的系统，由动量守恒定律可得
（m甲+m人）V1=m甲V+m人V ②
联立①②解得： V'=3米/秒
正确答案选C
点评：与例3的求解对比，可得出这一类试题的解析规律。
三、巧用相对位移
对于合动量P=0的系统，系统内两物体的动量总是大小相等，方向相反。由位移的几何关系可知，两物体的对地位移之和等于相对位移
例5、一个质量为M，底面边长为b的三角形劈2静止于光滑水平面上（如图2），有一质量为m的小球由斜面顶部无初速度滑到底部的过程中，劈块移动的距离是多少？
分析与解
小球m在小滑过程中，受力情况和速度变化的规律都不易分析，但小球和劈组成的系统水平方向动量守恒，且原来又都静止，设小球滑到底端时，劈块后退的位移为s，则小球的水平位移应为（b-s）。由动量守恒定律可得：
Ms=m（b-s）
解得：s=mb/（M+m）
点评：sm+sM=b，是对地位移与相对位移之关系
例7、如图3所示，质量为m、长为a的汽车，由静止开始从质量为M，长为b的平板车一端行至另一端的过程中，汽车对地行进的位移为多少，平板车发生的位移为多少？（水平地面是光滑的）
分析与解
设汽车的对地为移为s，平板车的位移为（b-a-s），对汽车、平板车组成的系统，由动量守恒定律可得
ms=M（b-a-s）
解得：s=M（b-s）/M+m（b-a-s）=m（b-a）/M+m
当质点组受到合外力为零时，系统的总动量守恒，系统质心的速度保持不变。若系统在某一方向上受到的合外力为零，则系统在该方向上的动量守恒，系统质心在这一方向上的速度保持不变。这是动量守恒定律的一个重要结论。用这一结论去解决某些问题，会变得十分简便。
例1 如图1所示静止于静水中的小船，质量为M=100kg，长L=6m，船尾站有一人，质量为m=50kg,不计水的阻力。当人从船尾向左走到船头时，小船后退的距离为多少？
解析 设船的质心在A线上，人的质心在B线上，人船系统的质心在C线上，A、C间的距离为a，则有，Ma=m(L2-a)
所以a=m2(M+m)L
因为系统原来静止，受到的合外力零，则系统质心的速度为零，质心的位置没有移动，人走到船的左端时，根据对称性，船的质心将向右移动到A′处，移动距离为
s=2a=mM+mL=50100+50×6m=2m
若例1中小船在初始时刻已有向左匀速移动的速度v=2m/s，则人用10s的时间由船尾向左走到船头的过程中船相对地移动的距离为多少？
解析 不管人是否走动，人与船的总动量始终不会改变，系统合质心移动的速度始终为v。由于人相对船的位置前移，此因素会使船的位置后移。船真实移动距离为二距离合成的结果。
s′=vt-s=vt-mM+mL=2×10-50100+50×6m=18m
例2 如图2所示，光滑的木板AB水平放置，左端用一光滑铰链固定在墙上，右端用一轻绳挂在天花板上，板上放着木块M和m，M和 m之间用轻弹簧相连接。开始，弹簧被压缩，M和m之间用细绳拉住，并处于静止状态。线剪断后，M和m在板上来回振动。问细线OB的拉力将如何变化？
解析 M和m组成的系统满足动量守恒条件，因为系统原来处于静止状态，质心速度为零，虽然后来M和m都来回振动，但系统的质心速度仍然为零，质心位置不变，故M和m对木板的作用力所产生的对A点的总力矩不变，所以细线OB的拉力也不会变化。
例3 如图3所示，一艘小船静止在平静的水面上，船前舱有一抽水机。抽水机把前舱的水均匀抽往后舱。不计水的阻力，在船前后舱隔开与不隔开两种情况下，船的运动情况分别是（ ）
A.不动，向前匀速。
B.向前匀速，不动。
C.不动，向后匀速。
D.向后匀速，不动。
解析 以船、水和抽水机为系统，系统的动量守恒。抽水机把前舱的水匀速抽往后舱时，系统的动量始终守恒，系统合质心的速度始终为零，即系统合质心的位置保持不变。船前后舱隔开时，水的质心往后匀速移动，为保持系统合质心的位置不变，船、抽水机的质心必向前移动，即抽水机随船向前匀速运动。前后舱不隔开时，抽水机匀速往后抽水时，水的质心位置不变。因此，船保持静止状态不变，即船不动。答案应选B项。
由上面的讨论可知：在不受外力作用的条件下，质点体系内质点的运动总是围绕质心平衡。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
论文关键词：电动势,能量转换,电路闭合
电动势是一个抽象的概念。在电工学里引入这个物理量，是为了描述电路中通电流时有多少电能和其它形式的能相互转换。因此，我们只有认真地分析电路中的能量转换，才能深刻理解电动势的物理意义。下面我从四个方面来分析：
一、焦耳定律
任何一段有电阻的电路通电流时都要生热。所生的热量Q总是正比于电流强度I的平方，电阻R和通电时间t用公式表示为Q=IRt
这就是焦耳定律。定律中所讲的‘总是’二字，是指不论产生电流的原因是什么，不论这段电路中是否同时有电能和其他形式的能发生互相转换，所生热量都等于IRt.我们《电工技术》教材中把电场力做的功
W=IUt和部分电路欧姆定律U=IR
结合起来、推导焦耳定律为Q=W=IUt=IRt
这样的推导法，只有在产生电流的原因是电场力作用，而且电路是纯电阻的情况下才有意义。对于非静电力作用产生电流的电路和同时有电能转换成热能之外的其它形式能的电路，上面的推导都不适用，但所生的热量仍等于IRt。所以，这样推导出的结果虽然是焦耳定律的表达式，但并没有全面地揭示定律的内容。
二、闭合电路中能量的转换
一个闭合电路中通电流的条件是它里面含有电源。电源里有一种作用力，这种力做功的结果，是把其它形式的能转换成电能。这种力不是电场力。设闭合电路的总电阻为ΣR,通电流为I,通电时间为t.在这段时间内，通电量q=It在电源里非电场力做功W时在电阻上消耗电能W产生热Q=W=IΣRt同时、在一部分电路中还可能消耗一些电能，而产生除热能之外的其它形式的能。设电场力做的这一部分工功为W2、根据能量转换和守恒定律W=W+W或W=IΣRt+W,上式表示电路中通过电量时，转换的能量。可以证明，对于任意一个电路W、W、W都正比于电量q。为计算单位电量通过时转换的能量，将上式除以q得W/q=IΣRt/q+W/q
因为q=It所以W/q=IΣR+W/q我们定义W/q即电源内非电场力所做的功和通过的电量之比为电源的电动势，用E表示；定义W/q即电场力所做的功和通过的电量之比为这部分外电路的反电动势，用E表示，这样上面的公式可写成E=IΣR+E每一个电源都有电动势。它的大小由电源本身的条件决定，与外电路无关。它反映电源的一种性质，表示电源把其他形式的能转换成电能本领的大小。例如：电热器（电炉、白炽灯等）之外的电器（如电解池、电动机等）有反电动势。它的大小也由本身的条件决定它反映出这个电器把电能转换其他形式能（热能除外）本领的大小，从上面公式可以解出电路中的电流I=E—E/ΣR这就是外电路的欧姆定律。如果外电路是纯电阻，也就是电路中消耗的电能全部生热，这时E=0，则I=E/ΣR设电源内导体的电阻为r（内电阻），电源外的电阻为R则ΣR=R+r，I=E/R+r教材里把公式变为E=IR+Ir用外电压和内电压之和来度量电动势，这就是《电工技术》中介绍的全电路欧姆定律。
三、闭合电路中各段电路两端的电压
下面就电池给蓄电池充电的例子讨论闭合电路中各段电路两端的电压。
例如下图中有三个不同的电池，E=2V、E=V、r=2、r=2、r=3、
比较A、B、C三点的电位，并求出U、U、U
E+E+E=I(r+r+r)
I=
E +E +E
[关键词]量子体系 对称性 守恒定律
一、引言
对称性是自然界最普遍、最重要的特性。近代科学表明，自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某种特殊的对称性——所谓“规范对称性”。实际上，对称性的研究日趋深入，已越来越广泛的应用到物理学的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子分子物理、晶体物理、原子核物理，以及化学（分子轨道理论、配位场理论等）、生物（dna的构型对称性等）和工程技术。
何谓对称性？按照英国《韦氏国际辞典》中的定义：“对称性乃是分界线或中央平面两侧各部分在大小、形状和相对位置的对应性”。这里讲的是人们观察客观事物形体上的最直观特征而形成的认识，也就是所谓的几何对称性。
关于对称性和守恒定律的研究一直是物理学中的一个重要领域，对称性与守恒定律的本质和它们之间的关系一直是人们研究的重要内容。在经典力学中，从牛顿方程出发，在一定条件下可以导出力学量的守恒定律，粗看起来，守恒定律似乎是运动方程的结果．但从本质上来看，守恒定律比运动方程更为基本，因为它表述了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程，制约着不同领域的运动方程．物理学关于对称性探索的一个重要进展是诺特定理的建立，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律．简言之，物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律．经典物理范围内的对称性和守恒定律相联系的诺特定理后来经过推广，在量子力学范围内也成立．在量子力学和粒子物理学中，又引入了一些新的内部自由度,认识了一些新的抽象空间的对称性以及与之相应的守恒定律，这就给解决复杂的微观问题带来好处，尤其现在根据量子体系对称性用群论的方法处理问题，更显优越。
在物理学中，尤其是在理论物理学中，我们所说的对称性指的是体系的拉格朗日量或者哈密顿量在某种变换下的不变性。这些变换一般可分为连续变换、分立变换和对于内禀参量的变换。每一种变换下的不变性，都对应一种守恒律，意味着存在某种不可观测量。例如，时间平移不变性，对应能量守恒，意味着时间的原点不可观测；空间平移评议不变性，对应动量守恒，意味着空间的绝对位置不可观测；空间旋转不变性，对应角动量守恒，意味着空间的绝对方向不可观测，等等。在物理学中对称性与守恒定律占着重要地位,特别是三个普遍的守恒定律——动量、能量、角动量守恒，其重要性是众所周知，并且在工程技术上也得到广泛的应用。因此，为了对守恒定律的物理实质有较深刻的理解，必须研究体系的时空对称性与守恒定律之间的关系。
本文将着重讨论非相对论情形下讨论量子体系的时空对称性与三个守恒定律的关系，并在最后给出一些我们常见的对称变换与守恒定律的简单介绍。
二、对称变换及其性质
一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性，在经典力学里，运动规律由拉格朗日函数决定，因而时空对称性表现为拉格朗日函数在时空变换下的不变性．在量子力学里，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿算符，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符的不变性。
对称变换就是保持体系的哈密顿算符不变的变换．在变换s（例如空间平移、空间转动等）下，体系的任何状态ψ变为ψ（s）。
三、对称变换与守恒量的关系
经典力学中守恒量就是在运动过程中不随时间变化的量，从此考虑过渡到量子力学，当是厄米算符，则表示某个力学量，而
然而,当不是厄米算符,则就不表示力学量.但是，若为连续变换时，我们就很方便的找到了力学量守恒。
设是连续变换，于是可写成为=1+iλf,λ为一无穷小参量，当λ0时，为恒等变换。考虑到除时间反演外，时空对称变换都是幺正变换，所以
（8）式中忽略λ的高阶小量，由上式看到
即f是厄米算符，f称为变换算符的生成元。由此可见，当不是厄米算符时，与某个力学量f相对应。再根据可得
（10）
可见f是体系的一个守恒量。
从上面的讨论说明，量子体系的对称性，对应着力学量的守恒，下面具体讨论时空对称性与动量、能量、角动量守恒。
1.空间平移不变性（空间均匀性）与动量守恒。
空间平移不变性就是指体系整体移动δr时，体系的哈密顿算符保持不变．当没有外场时，体系就是具有空间平移不变性。
设体系的坐标自r平移到，那么波函数ψ(r)变换到ψ(s)(r)
2.空间旋转不变性（空间各向同性）与角动量守恒
空间旋转不变性就是指体系整体绕任意轴n旋δφ时，体系的哈密顿算符不变。当体系处于中心对称场或无外场时，体系具有空间旋转不变性。
3.时间平移不变性与能量守恒
时间平移不变性就是指体系作时间平移时，其哈密顿算符不变。当体系处于不变外场或没有外场时，体系的哈密顿算符与时间无关（），体系具有时间平移不变性。
和空间平移讨论类似，时间平移算符δt对波函数的作用就是使体系从态变为时间平移态：
同样，将（27）式的右端在t的领域展开为泰勒级数
四、结语
从上面的讨论我们可以看到，三个守恒定律都是由于体系的时空对称性引起的，这说明物质运动与时间空间的对称性有着密切的联系，并且这三个守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示，曾加了我们对对称性和守恒定律的认识．对称性和守恒定律之间的联系，使我们认识到，任何一种对称性，或者说一种拉格朗日或哈密顿的变换不变性，都对应着一种守恒定律和一种不可观测量，这一结论在我们的物理研究中具有极其重要的意义，尤其是在粒子物理学和物理学中，重子数守恒、轻子数守恒和同位旋守恒等内禀参量的守恒在我们的研究中起着重要的作用．下表中我们简要给出一些对称性和守恒律之间的关系。
参考文献
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关键词：康普顿效应；波长；动量守恒定律
在人教版高中物理选修3-5第十七章《波粒二象性》第二节《光的粒子性》中，为说明光子具有粒子性和动量，引入了康普顿效应，内容如下：
如图1所示，一个频率为γ（波长为λ）的光子与一静止的电子发生斜碰，碰后光子的频率为γ′（波长对应λ′），电子质量为m？摇，电子碰后速度为V。
（注：在以下的讨论中因中学教材，电子都没有考虑其相对论效应。）
其中的一段叙述为“光子的动量为p=h/λ，在康普顿效应中，当入射的光子与晶体中的电子发生碰撞时，要把一部分动量转移给电子，因而光子的动量变小。根据p=h/λ看，动量p减小意味波长变大，λ′？摇>λ，因此有些光子散射后波长变大”。
实际上，上段引用文字中的“当入射的光子与晶体中的电子发生碰撞时，要把一部分动量转移给电子，因而光子的动量变小”是动量守恒定律在此具体的表述。可见教材中只用一个动量守恒定律就得出了光子散射后波长变大的结论。而大学教材中用了动量守恒和能量守恒两个定律结合才得出结论。对比不同可发现，中学教材中的论述及推导是存在问题的。
一、只用动量守恒定律在二维碰撞中是得不出光子波长变大的结论
上述论述中的问题：认为电子的动量变大了，光子的动量就一定减小。实际上二个物体组成的系统，若一个物体动量增加，另一个物体动量不一定减小。在此举一个简单的例子来说明，一个静止的物体爆炸分成两部分，一部分向右运动的动量增加了，另一部分向左运动的动量也增加了。所以可以判断“电子发生碰撞时，光子要把一部分动量转移给电子，因而光子的动量变小”是错误的。
在此，也可以做出光子与电子碰撞前后动量守恒的二维矢量图来说明。
■
如图2所示，其中φ为碰后光子动量与碰前光子总动量之间的夹角，θ为碰后电子与碰前光子总动量之间的夹角，只要θ>（180°-φ-θ），碰后光子动量h/λ’>h/λ，因此光子散射后波长变小。当然这种情况是不会发生的，因为还受到能量守恒定律的制约。但从上述分析可以看出只用一个动量守恒定律是得不出碰后光子动量变小的，也就得不出碰后光子波长变大的结论。
因为“二个物体组成的系统，若一个物体动量增加，另一个物体动量一定减小”只适合于一维碰撞后各物体动量仍与原总动量方向相同的情况，从而想到能否在一维碰撞的情况下，只用一个动量守恒定律推导出碰后光子波长变大的结论。
二、在一维碰撞的情况下，只用动量守恒定律也推导不出碰后光子波长变大的结论
■
如图3，光子碰前动量向右，电子静止，碰后光子与电子的动量都向右，电子碰后速度为v，根据动量守恒定律有：
h/λ=h/λ′+mv
可知：h/λ>h/λ′
即：λ′>λ
这种情况是会发生吗？
我们可认为光子与电子的碰撞发生在真空中，光子的速度只与介质有关，碰后速度仍为c，而电子碰后速度只能小于c，这样光子碰后还会再碰电子。这种现象是不可能发生的。只能假设光子碰后速度反向向左。取向右为正，根据动量守恒定律有：
h/λ=-h/λ′+mv
可知：h/λ+h/λ′=mv
这样得不出λ′与λ的大小关系。
综上所述，在一维碰撞的情况下，只用动量守恒定律也推导不出碰后光子波长变大的结论。
实际严格的计算表明：λ′-λ=2λcsin2■
其中：φλc=■为碰后光子动量与碰前光子总动量之间的夹角，当φ=0°时，碰后光子动量与原总动量方向相同时，λ′=λ，即光子与电子没有发生相互作用。
当φ=180°时，碰后光子动量与原总动量方向相反时，λ′>λ。即一维的情况下的康普顿效应，光子只存在反射现象。
在实际严格的计算过程中，用了动量守恒和能量守恒两个定律并考虑了电子的相对论效应才导出的，这超出了中学范围。有没有不超出中学范围的简单判断方法呢？
三、只用能量守恒定律能够推导出碰后光子波长变大的结论
无论一维还是二维均可由能量守恒定律得：
hc/λ=hc/λ′+mv2/2
可知：hc/λ>hc/λ′
得：λ′>λ
由此可见：只用能量守恒定律能推导出碰后光子波长变大的结论。也就是说，在推导该结论是一定要用到能量守恒定律。至此，会产生一个疑惑：为什么教材中要用动量守恒定律而不用能量守恒定律推导，从而犯下科学性的错误呢？我们猜想：可能是为了说明光子具有动量而不是为了说明其具有能量，故强行用动量来推导，从而犯下错误的。在此建议教材能做出修改，也希望编者能想出更好的方法兼顾二者。
【关键词】机械守恒定律;相对性原理;条件
0引言
机械能守恒定律作为物理学中最重要的定律之一，其重要性不言而喻，学生如果能真正理解机械能守恒定律的使用条件并能熟练应用，则很容易解决一些相对复杂的高中物理问题。
1机械能守恒定律概述
机械能守恒定律指的是如果一个运动系统中仅有重力或弹力做功，那么这里的动力势能和重力势能能够相互转化，而系统总体机械能维持不变。值得注意的是，机械能守恒定律不仅适用于单个物体，对整个系统而言同样适用。一般来说，机械能守恒定律有三种表达方式，即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2、Ep=Ek、EA=EB，其分别表示：物体或系统初始状态的动能和势能之和等于结束状态时的动能和势能之和;物体或系统的总体势能变化量等于总体动能变化量;在仅包括物体A、B的系统内，物体A机械能的变化量等于物体B机械能的变化量，并且变化方向相反。万变不离其宗，其实机械能守恒定律的这三种表达方式的核心要义趋于相同。
2机械能守恒定律的条件
机械能守恒定律框定了一个由物体与地球所组成的系统，在这个系统中，除了重力和弹力之外再没有其他力在做功。我们不妨从两个方面理解机械能守恒定律：①在此系统中物体受且仅受重力因素影响;②物体虽受其他力影响，可是仅有重力和弹力做功，其他力不做功或是其他力做功的代数和为0，比如小滑块沿光滑斜面下滑，虽然受到了斜面支持力，可是支持力不做功，因此满足机械能守恒定律的条件。
通常通过以下两种方式判断系统机械能是否守恒：①若系统中仅有重力和弹力做功，或有其他力但是其他力不做功或做功代数和为0，为机械能守恒;②若系统中只存在动能和势能之间的转化，则为机械能守恒。
3相对性原理
相对性原理是物理学理论中的另一个基本原理，对很多物理现象的研究和分析通常都是建立在此理论基础之上进行的。我们对某个物体运动的研究通常都是根据一定的参照物进行描述的，物体的运动只有在相对物的比较之下进行研究才能使人信服。如果对运动的描述不遵循相对性原理，也就无法客观地对物体的位置和速度进行参数化的表示。
给定一个物体，其相对于一些物体运动，标志出这些物体，然后用数列与这些距离相对应，于是这些物体就成为参照物，而给定物体到这些物体的距离就成为参照空间，对应于距离的数值组成一种有序系统。这样，同参照物联系在一起的坐标系也就被引进来了。所谓处所的相对性原理就是指坐标系的平等性;从一个坐标系转换到另一个坐标系的可能性;以及给出坐标变换时，物体内部的特性和物体内部的各质点距离及其结构的不变性。
相对性原理中描述的参考系平等是指，不管对静止系还是运动系来说，空间的各向都是相同的。举例来说，以参考系的实验物体为原点，静止系和运动系中的1m都是相同长度的，并且实际上静止系和运动系空间可以通过一定的关系进行转换，这也是说明静止系和运动系是空间的两种不同表现形式，都是空间的组成部分。
空间上的点不是永恒静止不动的，不同的相对物决定了物体不同的运动状态。比如，在某静止系中物体运动经过了100m的地方，但是若在另一个运动参考系中这个距离可能被描述成10m。这里的“100m的地方”指的是终点，那么起点在哪里呢？没有提到，也就可以任意指定，并且都说得过去。
4机械能守恒定律遵循力学相对性原理的例证分析
例1：一节车厢以速度u沿水平方向匀速运动，车厢内的光滑桌面上放置有一个劲度系数为k的弹簧，质量分别是M、m的两个小球被连接在该弹簧的两端，具体情况如下图1所示。刚开始时将弹簧人为压缩Δx，然后静止释放，当弹簧恢复到原长时M、m两个小球相对于车厢的速度分别为v1和v2。问题：将两小球和弹簧组成的系统当做研究对象时，这个系统的机械能守恒定律遵循力学的相对性原理吗？
图1
解题思路：在这个系统中，非保守力亦即光滑桌面对小球的支持力与物体的运动方向垂直，所以该系统的机械能守恒定律遵循力学的相对性原理。
在车厢参考系S中，机械能守恒定律表达式为：
……（1）
以地面作为参考系（S’）时，系统机械能仍然守恒，此时机械能：
初始：E1’=……（2）
最终：
E2’=……（3）
由动量守恒定理可得：……（4）
联立（3）（4）得：
E2’=……（5）
联立（2）（5）得出此系统在以地面为参考系时的机械能守恒定理表达式如下：
……（6）
观察式（6）和式（1），不难发现它们完全相同，这就说明此系统完全遵从力学的相对性原理，也就是说，机械能守恒定律遵循力学相对性原理。
例2：车厢以速度v0向右进行匀速运动，车厢内有倾角为θ的光滑斜面，现将质量为M的滑块从光滑斜面的顶部使其自由滑落，如图2，将滑块和斜面看做一个系y，请问此时系统的机械能守恒定律又是否遵循力学相对性原理呢？
图2
在此系统（S）中非保守力亦即斜面对滑块的支持力对滑块没有做功，所以该系统的机械能守恒。在地面参考系（S’）中，非保守力在物体的运动方向上有位移，对物体做了功，因此机械能不守恒。在这里之所以表现出机械能守恒定律不遵循相对性原理，是因为非保守力在参考系S’中对物体做了功。
5结语
机械能守恒定律在实际应用中，只需考虑运动物体的始末两种状态，根据以上两个实例，我们不难看出机械能守恒定律遵循力学相对性原理是有一定条件的，即当非保守力对运动物体不做功时才能满足，因此在日后解题过程中需要注意。
参考文献：
[1]鲁增贤，孟秀兰.机械能守恒定律服从力学相对性原理[J].大学物理，2000，02：23-26.
中图分类号：O4 文献标识码：A
Symmetry and Conservation Laws in Physics
GAO Peiyuan, YANG Gang, SHI Lin, AN Peng, MA Hao
(Department of Physics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong, Shaanxi 723000)
AbstractThis article introduces the concept of symmetry, discusses the relationship of the mechanical energy, momentum, angular momentum and symmetry.
Key wordssymmetry; mechanical energy; momentum; angular momentum; conservation law
自19世纪，迈耶、焦耳、亥姆霍兹发现了能量守恒定律以来，人们不仅为微分方程的降价而欢欣鼓舞，物理学家们更是由此有了许多新发现。1894年皮埃尔居里又因果律首先提出了对称性原理，1981年德国女数学家尼约特（A,E,Noether;1882-1935）发表了著名的将对称性和守恒律联系在一起的定理。即从每一个自然界的对称性可得到一种守恒律；反之，每一个守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性，这就大大地激发人们去寻找与之相应的守恒律了。牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、庞加莱、爱因斯坦、薛定谔等堪称对称性与力学理论的奠基大师，从他们那个时代起，对称性和力学就是一对亲密的伙伴。随着历史的发展，对称性一直发挥着它强有力的作用。①
1 对称性的有关概念
我们周围的世界时丰富多彩、千变万化。动物、植物、街道、房屋等咋一看好像没有什么共同点，然而，如果我们仔细观察的话，仍然可以找出一些普遍存在的现象，那就是对称性。无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象，但是，对称性的概念最初还是源于生活，在艺术、建筑等领域，所说的对称一般是指左右对称。首先用严谨的概念描述对称性的还是德国数学家魏尔，他对左右对称的一幅图做了如下表述：若某种图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面式反射对称或双向对称。他有谈到，若某一图形围绕L轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对L轴的转动的对称性。②
将对称性运用到物理上，研究的对象不仅是图形，还有物理学中的物理量或物理定律等，那么我们首先得搞懂以下几个概念。第一个概念就是“系统”，系统就是我们要研究的对象；第二就是“状态”，同一个系统可以处在不同的状态，不同的状态可以通过某种变换使他们“处在”相同的状态；最后就是“变换”了，时空坐标系的改变、尺度的放大缩小等都可以认为是“变换”，也可以称之为“操作”。一个操作可以对一个物理量或以一种守恒律产生“相同”或“等价”的效果，就是其不变性，比如，牛顿第二定律对于伽利略变换这一“操作”就具有对称性，因为，经过这一操作，牛顿第二定律是不变的。动量作为物理量经过伽利略变换后发生改变，因从不同的参考系下测出来的动量是不同的，所以，动量对于伽利略变换使不具有对称性的，但是“在外力矢量和为零的质点系系统动量守恒”这条规则对于惯性系是成立的，因而动量守恒定律对于伽利略变换具有对称性。动量、能量、动量矩和一系列其他守恒定律，因其特有的普遍性和重要性而与其他物理规律迥然不同：他们既能适用于宏观客体，又适用于微观世界，起初这些定律都是作为大量实验事实的推广通过实验途径确立起来的，后来人们才对他们与时间、空间对称性原理的相互联系有所进一步的理解，不仅理解了他们的普遍性，而且还能预言某种守恒定律在什么条件下将遭到破坏，或者改变原有的形式。
2 对称性与守恒量
2.1能量守恒与时间的均匀性（能量守恒与时间对称性）
拉格朗日函数定义为。③拉格朗日函数中不显含时间t，即，因此有：（1）
利用保守力系下拉格朗日方程有：，根据莱布尼兹法则等， 整理得：（2）
我们令，我们定义H为广义能量，即广义能量H为一个守恒量。设动能的表示为T， 则
假如系统是定常的或是稳定的，则上式中函数不含t，所以，所以a = a = 0，即动能T成为的二次齐次函数，由齐次函数的欧拉定理可得在广义坐标下，势能是广义坐标的函数，则有：
（下转第113页）（上接第109页）
整理得： = 2T - L = T + V = 常量，所以，H表示系统的机械能，由上式我们可以看出，机械能是一个守恒量。从另一个方面可以看到时间的对称性。
2.2 动量守恒与空间的均匀性（动量守恒与空间均匀移动）
在一个封闭的体系内，各质点间具有相互作用，由于空间的均匀性，当体系内各质点进行同样的位移时，不应当改变体系的力学性质，从而使拉氏函数保持不变，那么，在速度不变的情况下，当很小的时候，（3）求和对体系所有的质点进行，因为空间的均匀性要求使，而又是任意的，所以就相当于，用拉氏方程即④，由得：若用pn表示体系中所有质点的动量，则：，因此得： = 恒矢量。所以我们得到了体系中的动量守恒定律，从这里我们看到了空间对称性的一个侧面。
2.3 角动量守恒与空间的各向同性（角动量守恒与空间均匀转动）
空间各向同性就意味着在封闭系统整体在空间任意转动时，体系力学性质不变，与此相应，其拉氏函数也不应改变，即。引入一个无穷转动矢量，我们可以得出：（4）当体系转动时，不仅矢径的方向改变，而且所有质点的速度矢量也都按相同规律改变，这时，相对于静止坐标系中速度的增量由下式给出：（5） 则：，而且因为是封闭系统，，所以，空间的无穷小转动所引起的拉氏函数的改变为：，把（4）（5）式代入上式可得：，由矢量代数可知，对三个矢量间的混合积运算法则知：因为根据保守力系下拉格朗日方程：， 所以：
因为是任意的， 所以就相当于：，即： = 横矢量。 按拉氏函数的定义：，而就是体系中各质点的动量，所以，体系的角动量守恒，从这里我们看到了空间对称性的另一个侧面。
3 结论
通过上面的讨论可以看到：物理规律在一定的时间、空间变换下的不变性，即时间与空间的对称性。从时间的均匀性、空间的均匀性及空间的各向同性这些对称性原理出发，经过严密的推理，又合乎逻辑地导出能量守恒定律、动量守恒定律、动量矩守恒定律，因此我们可以说这些守恒律缘起于时空的对称性。
注释
①Jerrold E.Marsden，Tudor S.Ratiu.力学和对称性导论[M].王丽瑾,刘学深,等译.北京:清华大学出版社.
②漆安慎,杜婵英.力学[M].北京:高等教育出版社,2005:173-174.
③王剑华,李康等.理论力学[M].陕西:陕西科学技术出版社,2009:186-187.
④卓崇培,刘文杰.时空对称性与守恒定律[M].北京:高等教育出版社,1982.