二元一次方程范文

二元一次方程篇1

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．难点是了解二元一次方程组的解的含义．这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作二元一次方程组的解．用大括号来表示二元一次方程组的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答．这是克服这一难点的关键所在．

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、二元一次方程组（用描述的语言）以及二元一次方程组的解等概念．

三、教法建议

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．

3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．

4．为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0（因为这种数学中的特例较少实际意义）当然，作为特例，出现类似

之类的二元一次方程组是可以的，这时可以告诉学生，方程（1）中未知数的系数为0，方程（1）也看作一个二元一次方程．

教学设计示例

一、素质教育目标

（－）知识教学点

1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念．

2．会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．

3．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力．

（三）德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度．

（四）美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．

2．学生学法：理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（－）重点

使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．

（二）难点

了解二元一次方程组的解的含义．

（三）疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个二元一次方程组的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点．在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．

3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解．

（二）整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验二元一次方程组解的问题．

（三）教学过程

1．创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例．

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学元一次方程做铺垫．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答．

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—二元一次方程组．

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．

2．探索新知，讲授新课

（1）关于二元一次方程的教学．

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．

①②③

④⑤⑥

练

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程．

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．

练习三

课本第6页练习1．

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应．

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程．

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为．

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础．

（2）关于二元一次方程组的教学．

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起．

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识．

对于前面的问题，列二元一次方程组要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是二元一次方程组

的解．

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．

教师纠正、指导后板书：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例题判断是不是二元一次方程组的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P84．

【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．

（2）P8B组1．

【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P73．

（二）选做题：P8B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

参考答案

二元一次方程篇2

例1 若一个二元一次方程的一个解为x=2，y=-1， 则这个方程可以是________．（只要写出一个）

解析：本题是一道开放型问题，考查方程的概念，满足题意的答案不唯一，解此类题目时，可以先设出系数再代入算出另一边的值.

可以先设左边为3x＋2y，然后将x=2，y=-1 代入：3x＋2y 求得其值为4，则可以得到符合题意的一个方程：3x＋2y ＝4；也可以先设左边为x+y，然后将x=2y=-1代入：x+y 求得其值为1，则可以得到符合题意的一个方程：x+y=1.

点拨：利用概念解题是初中数学的基本要求，注意概念的内涵和外延是解题的关键，本题实质是考查方程组的解与方程的关系，从而转化为代数求值的问题.

二、从系数构造二元一次方程组

例2 当m为什么值时，方程(m2-4）x2+(m+2）x+(m+1）y=m+5是一元一次方程？二元一次方程？

解析：当方程是一次方程时，x2项应是零，即有m2-4=0.

m=±2．

当m=2时，方程为4x+3y=7，这是二元一次方程．

当m=－2时，方程为y=－3，这是一元一次方程．

答案：当m=－2时，方程为一元一次方程；当m=2时，方程为二元一次方程．

点拨：这是一道含有字母系数m的关于x、y的方程，是一道典型题目． 由二次项系数是0求出字母m，从而确定方程是不是一次方程．本题蕴含有分类讨论的思想方法．

三、构造二元一次方程组解决问题

例3 已知代数式xa-1y3与-3x-by2a+b是同类项，那么a、b的值分别是（?摇 ?摇）.

A.a=2b=-1?摇?摇 B.a=2b=1?摇?摇 C.a=-2b=-1?摇?摇 D.a=-2b=1

解析：根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数也相同，这样的几个单项式叫做同类项)可知，若xa-1y3与-3x-by2a+b是同类项，则必有a-1=-b，3=2a+b；将这两个二元一次方程合在一起组成方程组a-1=-b，2a+b=3， 即可求出a，b的值.

依题意，得a-1=-b，2a+b=3. 整理，得a+b=1,2a+b=3. 解得a=2,b=-1. 所以选A.

点拨：本题看起来是同类项的讨论问题，解题过程中还是要构建二元一次方程组确定系数.

四、图片信息与二元一次方程组的构造

例4《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2． 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3x+2y=19,x+4y=23. 类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ?摇?摇）.

A．2x+y=11,4x+3y=27. B．2x+y=11,4x+3y=22. C．3x+2y=19,x+4y=23. D．2x+y=6,4x+3y=27.

解析: 图1和方程组3x+2y=19，x+4y=23 相对照，我们不难发现系数及常数项与算筹数的关系，第一列竖线表示x的系数，第二列竖线表示y的系数，第三列的横线表示常数项的十位数字，第四列算筹表示常数项的个位数字，它是上面的横线5与下面的竖线个数和. 根据以上规律我们可以得到图2表示的方程组为2x+y=114x+3y=27，故选A．

二元一次方程篇3

1、解二元一次方程可将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解。

2、“消元”是解二元一次方程组的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。

（来源：文章屋网 ）

二元一次方程篇4

传统的课程安排，是把“二元一次方程组”排在“一次函数”的前面。这样安排的优点不言而喻是当学生遇到求解“一次函数”的函数表达式时，学生会自主的联想到前面的解二元一次方程组；或是教师略微点醒一下，也会想利用消元的思路求解出“一次函数”中的k与b，从而达到确定函数关系式的目的。在这里，似乎一切安排的都很合理，很有顺理成章的感想。教师与学生双方都有一种水到渠成的顺畅，都会有“新问题”原来就是“老问题”的感触，从而使教与学的双方都没有丝毫的障碍感。教与学两者得到皆大欢喜的结果。可这种安排却使教与学都失去了挑战性，失去了培养学习能力的价值。

在新的教材中，编辑有意地把“一次函数”与“二元一次方程组”给弄错位，有意地把“一次函数”放在了“二元一次方程组”的前面。这样教与学的双方都无法避免出现有关k，b的二元一次方程，一时之间双方都会有束手无策之感，仿佛出现了智力上的障碍。但我认为这恰恰是新教材的一种新的理念的体现，它提供了高于挑战的学习内容，也给了教师一个亲身与学生一同经历探索的过程，增加了双向活动的机会，更为学生之间的合作交流提供了良好的基础。

教材中，首先给出了确定一次函数需要的是两个条件，尔后给出了相关的问题中出现了y=kx+b的形式（其中k≠0，k为常数）向学生提问：“这是一个什么内容？我们以前见过吗？要求的是什么？确定它需要几个条件？”由教师一一提问后，学生一一的回答。紧跟着教师提问：

15=k+b……①

16=3k+b ……②

如何确定k、b呢？并要求不翻书。结果学生展开了激烈的讨论。有的因为预习过，做出了用“b”相等的回答，有的用相关的“k”相等来回答。有的同学注意到了“相等”的意义提出了加减的可能性（用①与②中的b相等）。

还有的想得更多，注意到了由“二元”到“一元”的变化，提出了“代入”的思维以及“消元”的共性。当然不是这样规范的语言，而是他们的语言。没想这样一个小小的安排，却激发了学生这么多的想法，这是传统的教材内容无法办到的。

二元一次方程篇5

例1 用直接开方法解下面的一元二次方程.

（1）（3x + 1）2 = 9；（2）（3x - 2）2 = （x + 4）2.

分析 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法. 用直接开平方法解形如（x - m）2 = n（n ≥ 0）的方程，就可以把方程变为x - m = ±■. 通过观察可以发现（1）、（2）两个小题可以用直接开方法来求解. 第（3）题方程左边是个完全平方的展开式，可以把左边变为平方的形式再使用直接开方法. 第（4）小题的方程左边是平方差的展开式，可以把常数项移到方程右边再求解.

解 （1）（3x + 1）2 = 9.

直接两边开方，得：3x + 1 = ±3.（注意，不能漏了-3）.

由3x + 1 = 3得x1 =■，由3x + 1 = -3得x2 = -■，

原方程的解为：x1 = ■，x2 = -■.

（2）（3x - 2）2 = （x + 4）2.

3x - 2 = x + 4或3x - 2 = -（x + 4）.由3x - 2 = x + 4得x1 = 3，由3x - 2 = -（x + 4）得x2 = -■，

原方程的解为：x1 = 3，x2 = -■.

说明 用直接开方法解一元二次方程，一般不用把方程转化为一般形式，再两边同时开方的时候应注意方程只需在一边取正负号，还应注意不要丢解.

例2 用配方法解下列一元二次方程.

（1）2x2 - 4x - 2 = 0；（2）3x2 - 4x - 2 = 0.

分析 用配方法解方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），应先将二次项系数化为1，常数a移到方程右边，再将方程左边配成完全平方的形式. 第（1）题可变为x2 - 2x = 1，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方. 配方之后，就可以按照直接开方法来解方程了.

解 （1）2x2 - 4x - 2 = 0.

二次项系数化为1，移常数项，得：x2 - 2x = 1.

配方，得：x2 - 2x + 12 = 1 + 12，即（x - 1）2 = 2.

说明 在使用配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 最后变为一边是完全平方的形式就可以用直接开方法进行解题.

例3 用公式法解3x2 + 4 = 7x.

分析 用公式法就是指利用求根公式x = ■，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，确定a，b，c的值，然后代入到公式中进行计算. 或者也可以先计算b2 - 4ac的值，当b2 - 4ac≥ 0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式即可得到方程的根.

先判断解的情况之后，如果Δ < 0，那么可以直接省去更多的运算，方程无解.

解 化为一般式：3x2 - 7x + 4 = 0，求出判别式的值：Δ = b2 - 4ac = 1 > 0，代入求根公式：x = ■， x1 = ■， x2 = 1.

说明 公式法是解一元二次方程的通用的方法，如果对其他方法不熟悉的情况下，都可以使用公式法来解一元二次方程，因此，这个公式一定要熟记. 用公式法一定要先把方程转化为一般形式，明确公式中字母在题中所表示的量，再代入公式进行计算. 注意最后的根如果有根号要化成最简形式. 例4 用分解因式法解6x2 + x - 15 = 0.

分析 分解因式法就是把方程的一边变为因式相乘的形式，另外一边的值为0，解题的方法就是让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根. 第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题要先整理成一般形式再进行分解因式.

解 左边分解成两个因式的积得：（2x- 3）（3x + 5） = 0.

2x - 3 = 0，3x + 5 = 0， x1 = ■， x2 = -■.

说明 在使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能把方程拆为两个一元一次方程达到降次的目的.

从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是用各种方法把二次降为一次，向一元一次方程转化，转化的方法主要为直接开方法，配方后再直接开方，因式分解并使另一边的值为0，或者直接利用公式法求解.

二元一次方程篇6

一、学生对这块知识的理解很好，在讲解时，我通过引例总结了配方法的具体步骤，即：（1）化二次项系数为1；（2）移常数项到方程右边；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）化方程左边为完全平方式；（5）（若方程右边为非负数）利用直接开平方法解得方程的根。如上让学生来掌握配方法，理解起来也很容易，然后再加以练习巩固。

二、在讲解过程中，我提示学生，配方法是不是可以解决“任何一个”一元二次方程呢？若不能，如何来确定它的适用范围？多数学生迅速开动脑筋并发现“配方法”能简便解决一部分“特殊方程”，而例如：x2+2x=0，4x2+4x+1=0，2y2-3y+1=0这些方程用“配方法”的话就相当麻烦，不如用“求根公式”或“因式分解”来解简单。由此，我抓住这个契机向学生引申：解决一个问题可能有多种思路，但为了提高学习效率，我们尽量选择一个简便易行的方案，这也是解决数学问题的一种必备思想。这种说法也提示学生注意解一元二次方程每种方法的特点和适用环境。

三、当然在这一块知识的教学过程中，学生也出现了个别错误，表现在：（1）二次项系数没有化为1就盲目配方；（2）不能给方程“两边”同时配方；（3）配方之后，右边是0，结果方程根书写成“x=”的形式；（4）所给方程的未知字母有时不是x，而是y、z、a、m等，但个别粗心的同学在结果写方程根时字母都变成了x。对于以上错误，我在最后的知识小结中，又重点强调了配方法的一般步骤，并说明其中关键的一步是第③步，必须依据等式的基本性质给方程两边同时加常数。

四、对于基础较差的少数学生，我只要求他们认真理解并巩固“配方法”。对于基础较好的同学根据他们的课堂反应，我还在知识拓宽方面加以提示。因为完全平方式的值定是非负数，故若在说明某一多项式是否为非负数时，可采用配方法来证，这样对有些善于钻研思考的同学来说，在有关配方法的应用和探究方面，为之起到“抛砖引玉”的作用，也为后期部分知识的教学作了一定的铺垫。

五、在我本节课的教学当中，也有如下不妥之处：（1）对不同层次的学生要求程度不适当；（2）在提示和启发上有些过量；（3）为学生提供的思考问题时间较少，导致部分学生对本节知识“囫囵吞枣”，而最终“消化不良”，在以后的课堂教学中，我会力争克服以上不足。

二元一次方程篇7

【关键词】一元二次方程；归纳；教学创新

一、深刻剖析理解“一元二次方程”

“一元二次方程”在中学数学课程中占有重要的地位，学习好“一元二次方程”对中学生后面的学习起着重要的作用。但是“一元二次方程”在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近。目前，学生在学习中普遍存在的问题是：对于这样的综合性问题缺乏解决问题的经验，感觉无从下手。学生一般能意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是“一元二次方程”学习中的难点所在。

教师应帮助中学生明确“一元二次方程”的内涵，制定合理科学的教学方法，从根本上提高学生学习和应对“一元二次方程”的方法，解决这个数学学习中的“拦路虎”。

“一元二次方程”是在学生学习了“一元一次方程”、“二元一次方程”的基础上，为进一步学习数学知识和解决某些实际问题，是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的继续。一元二次方程的涵义及表示，特别是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

对于一元二次方程的的学习，尽管学生通过数学课堂学习能基本掌握其概念和特点，但在实际运用上，仍然缺乏将数学问题转化为方程概念的能力，类比推理能力弱，会遇到困难，对运算符号和性质符号理解不清，在求二次项系数、一次项系数、常数项时可能会出现错误。

呈现若干实际问题用方程思想建立数学模型概括得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，有利于发展学生符号化能力和概括能力，且合适的情景有利于激发学生的学习情趣。

如下例：某工程队在该市旧城区改造中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1200m2，因为准备不足，第一天少拆迁了50%。从第二天开始，该工程队加快拆迁速度，第三天拆迁了1500m2。

求：1.该工程队第一天拆迁的面积是多少？

2.该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数。

这个问题由于涉及到实际的数学运用，实用性较强，学生学习解决比解决数学符号要形象的多。学生经历用一元二次方程解决实际问题的全过程，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，且有能力发展点、个性和创新精神培养点。学生在引导下，大部分能列出方程式并解决。

二、教学创新点关键在于选择合适的教学方法

从现实问题到数学模型，需要经历“数学化”的过程，部分学生“数学化”能力弱，需要教师在理解数学和了解学生的基础上，根据“最近发展区”理论提供合适的感性材料，并用“暗示”的方法激活学生已有的知识与经验及激发学生的学习情趣。从数学模型到一元二次方程的特点，需要经历反省、内化和概括的过程，部分学生理性思维能力弱，需要教师用合适的“问题清单”驱动学生的思维，帮助学生渡过“抽象”难关。从一元二次方程的特点到一元二次方程特点的形式化表达，需要经历用简练的文字形式和符号表示的过程，需要教师用“点拨”的艺术激活学生数学表示的经验，帮助学生仿效。

一元二次方程概念的建构，需要经历概念的应用、辨析与建构的过程，需要教师提供概念的应用、辨析与建构的合适的“问题清单”，并运用“独立学习”、讨论、积极的认知干预等指导艺术，帮助学生实现概念建构和发展认知。

如下例：某图书商场打折促销一种中学图书，如果每册书盈利10元，每天可售出500本，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每册在折扣价上涨价1元，日销售量将减少20册。

1.图书商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每册应在折扣价基础上涨价多少元？

解：（1）设每册图书应涨价x元，则（10+x）（500-20x）=6000

解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5

答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每册在折扣价基础上涨价5元.

三、教学创新需要丰富方程思想

方程思想、类比思想、数学化方法、抽象表示方法等对发展学生的数学能力会产生积极的影响；内容蕴涵的理性思维过程对发展学生的概括能力和类比能力、丰富学生转化、类比、反思等数学活动经验、形成多边思维碰撞的学习状态等有积极作用；内容能结合现实中的问题，对增强学生的方程意识和懂得数学的价值也有重要作用。

一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程既有联系又有区别，一元二次方程是现实问题的数学模型。学生需要理解方程概念并具备演绎推理能力，并要将各种数学问题转化为数学模型以观察、比较、概括并解决。

还是上面那道例题：2.若该图书商场单纯从经济角度看，每册图书涨价多少元，能使商场获利最多？

（2）设涨价x元时总利润为y，则y=（10+x）（500-20x）=-20x2+300x+5000=-20（x-7.5）2+6125

当x=7.5时，取得最大值，最大值为6125

答：若该商场单纯从经济角度看，每册图书涨价7.5元，能使商场获利最多。

方程思想是准确定位、解决问题的需要，是确定有效教学策略的需要。学生掌握方程思想可以使学习“一元二次方程”更加具有针对性，并有可能在此基础上不断发展自己的思维能力和解决问题能力。

二元一次方程篇8

【关键词】一元二次方程；二次项系数；一般形式；根的判别式

一元二次方程是九年级数学上册部分的内容，它在整个初中教材中的地位是非常重要的。本章内容既是一元一次方程的延伸与拓展，又为后面学次函数打下了基础。有些学生在学习过程中对基本知识和概念没有理解掌握，从而在解题过程中经常会出现一些错误。现在就一元二次方程有关常见解题的典型错误作一分析。

一、对一元二次方程的概念不清而导致的错误

例1：下列方程是一元二次方程的是 （填序号）

（1）（1）x+=1

（2）(x+1)(2x-1)=2x2

（3）ax2+bx+c=0

（4）x3=x2(x+1)

错解：选（1）、（2）、（3）

分析：由于一元二次方程是只含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的整式方程。故（1）显然不对，因为（1）是分式方程，不具备整式方程的条件；（2）表面上是一元二次方程，但是合并同类项后二次项消去了，故实际上是一元一次方程；（3）没有强调a≠0且a、b、c是常数；（4）表面上是三次方程，但是化简后为一元二次方程。故正解为（4）。

二、忽视了二次项系数a≠0这个限制条件

例2：已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2-4=0的一个根是0,求m的值。

错解：0是方程的一个根，即有（m＋2）×0＋0＋m2－4＝0， m＝±2

分析：此解法是学生没有对一元二次方程的定义真正理解，事实上，当m＝-2时，方程就不是一元二次方程，而是一元一次方程，不符合题意，要舍去，故m=2.

例3：已知方程（a－3）x|a-1|＋2ax－1＝0是关于x的一元二次方程，求a的值.

错解：方程是一元二次方程，

|a-1|＝2,故a＝3或－1

分析：此解法只顾及了未知数是最高次数是2这一必要条件，而忽视了二次项系数不等于0这个限制条件。

正解:由题意知|a-1|＝2，且a－3≠0

a≠3 a＝－1。

三、过于重视二次项系数a≠0这个限制条件

例4：若关于x1的方程kx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是 。

错解：k?燮1且k≠0

分析：由于学生没有认真审题，错误地将原方程默认为一元二次方程，故在考虑根的判别式≥0时又考虑到二次项系数k≠0，导致出现考虑问题不全面的错误。正确的解题思路应分两种情况，即k=0和k≠0，当k=0时，方程为一元一次方程，有一个实数根；当k≠0时，方程为一元二次方程，此时需满足根的判别式4-4k?叟0，也就是k?燮1且k≠0；综上所述当k?燮1时，此方程有实数根。

四、解方程时约去了方程两边含未知数的代数式

例5：解方程5x（x-2）＝3(x-2)

错解：方程两边同时除以（x-2），

得5x＝3, x＝0.6.

分析：方程两边同时除以（x-2），导致原方程在降次过程中失去了一个根，丢掉了x＝2这个根。正解：移项得5x（x-2）－3(x-2) ＝0，即（5x-3）（x－2）＝0，

x1＝0.6， x2＝2。

五、都是没有把方程化为一般形式惹的祸

例6：若关于x的方程(m2-2m)x2-2x+1=-x2是一元二次方程，则m的取值范围是 。

错解：由题意得：m2-2m≠0，得m≠2且m≠0

分析：由于一元二次方程是形如ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)，故没有将方程化为一般式是不能判断其是否为一元二次方程的，正确的解法应先移项，化为一般式(m2-2m+1)x2-2x+1=0，由题意得：m2-2m+1≠0，故m≠1。

例7：用公式法解方程3x2－4x＝2

错解：a＝3,b＝－4,c＝2,

b2－4ac＝(－4)2－4×3×2＝－8＜0,

原方程无解。

分析：运用公式法解一元二次方程时，没有把方程转化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式。正确解法应化为一般式3 x2－4x－2＝0，b2－4ac＝(－4)2－4×3×（－2）＝40＞0,

原方程解为：x1=，x2=

六、忽略了根的判别式

例8：若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0的两根互为倒数，求m的值。

错解：设两根为x1、x2，由题意得：x1x2=1，即==1，m=±

分析：由于求解过程中没有考虑根的判别式，故导致求出的有不符合要求的m没有舍去。正确的解法是在求得m的值后，再计算一下根的判别式，得：b2-4ac=-12m2-8m+4，当m=时，b2-4ac=-30，原方程有两个不相等的实数根，m=。

例9：已知x为实数，满足方程(x2+3x)2-5(x2+3x)-24=0，则x2+3x= 。

错解：因式分解得：(x2+3x+3)(x2+3x-8)=0，x2+3x+3=0或x2+3x-8=0于是x2+3x=-3或8。

分析：由于x为实数，所以在求得x2+3x+3=0或x2+3x-8=0后，没有进一步检验这两个方程有无实数根，导致结果出现错误。对于方程x2+3x+3=0，其b2-4ac=-30，故x2+3x=8。

七、解应用题时没有认真审题导致忘记舍根

例10：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

错解：设每件衬衫应降价x元。

(40-x)(20+2x)=1200

800+80x-20x-2x2-1200=0

x2-30x+200=0

(x-10)(x-20)=0

x1=10，x2=20

答：每件衬衫应降价10元或20元时，商场平均每天要赢利1200元。

分析：由于没有认真审题，题中要求尽快减少库存，而降价20元比降价10元每天的销量多，库存减少快，故本题应舍去x1=10，所以每件衬衫应降价20元时商场每天的盈利为1200元。

【参考文献】

[1]何乃忠主编《新课程有效教学疑难问题操作性解读》 教育科学出版社

[2]王安文 《一元二次方程中的典型错误分析》 成都教育学院学报 2003年第6期