时间：2023-10-04 10:19:06
关键词：零指数幂；负整指数幂；设计；反思
一、教材分析
1.本节分析
课本首先安排了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，使学生了解正整指数幂的运算性质，为进一步学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式和因式分解等做了准备。此后，学习同底数幂的除法，通过扩大同底数幂除法法则的使用范围，自然地引入零指数幂和负整指数幂的概念，以及绝对值小于1的非零小数的科学记数法。本节分4课时，第1课时学习零指数幂的意义，第2课时学习负整指数幂的意义，第3课时是将正整指数幂的运算性质推广到全体整数指数幂，第4课时学习绝对值小于1的非零小数的科学记数法。
2.教学设计
因为负整指数幂的意义的导出过程完全可以类比零指数幂的意义导出过程，所以我将前两课时合并为1课时进行，并制订本节课的教学目标为：一是经历零指数幂与负整指数幂的产生过程，体验零指数幂与负整指数幂引入的合理性；二是了解零指数幂与负整指数幂的意义。本节课的重点难点为零指数幂与负整指数幂的意义。
二、学情分析
在前面的学习中，学生已经具备了有理数的四则运算、正整指数幂、整式的加减法等知识，掌握了相应的法则。通过类比整式与有理数，学生会产生“整式是否也可以进行乘法和除法运算”等问题。为此，“整式的乘除”这章的学习势在必行。
在本章学习中，学生首先通过学习同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，了解了正整指数幂的运算性质，为进一步学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式和因式分解等做了准备。此后，学习同底数幂的除法，本节课将通过扩大同底数幂除法法则的使用范围，自然地引入零指数幂和负整指数幂的概念，并为下节课将正整指数幂的运算性质推广到全体整数指数幂以及学习绝对值小于1的非零小数的科学计数法做好铺垫。
本节课我在课前导入练习中设置了两个问题，目的有两个：一是通过回顾正整指数幂的运算性质，为引导学生将正整指数幂的运算性质扩充到整数指数幂做准备；二是在同底数幂的除法的运算性质中，强化这个条件，为零的零次幂无意义和零的负整指数幂无意义作铺垫。三是通过简单的题目测试一下学生对同底数幂的除法的掌握程度，为下一步探索新知识做铺垫。
三、教学反思
1.我对学生的预期
通过三组同底数幂的除法（m>n、m=n、m
通过扩大同底数幂除法法则的使用范围，自然地引入零指数幂和负整指数幂的概念，根据同一个计算使用不同的方法产生的结果应该是一致的，引导学生对比发现，并由特殊到一般，合理规定零指数幂与负整指数幂的意义，从而解决问题。使学生亲身经历零指数幂与负整指数幂的产生过程，体验零指数幂与负整指数幂引入的合理性，培养学生观察、归纳、类比、概括的能力，发展有条理的思维和语言表达能力，最终达成本节课的知识目标：了解零指数幂与负整指数幂的意义。
数学活动是师生共同参与、交往互动的过程。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者。所以在教学过程中，我特别注重学生的参与度。因为对概念意义所做规定的合理性一般不容易讲清楚，所以在第一个环节零指数幂探究中，把所要讲述的道理分解成一个个的小问题，引导学生观察、发现、归纳零指数幂的意义。因为负整指数幂的探究可以类比零指数幂探究进行，所以完全放手学生，让学生通过独立思考、小组交流、合作展示，亲身体验负整指数幂的产生过程。整节课注重师生互动、生生互动，让学生成为数学学习的主体。
2.我的不足和遗憾
第一，通过扩大同底数幂除法法则的使用范围，自然地引入零指数幂和负整指数幂的概念，总感觉自己在引导学生时做得还不够自然。第二，在零指数幂的意义的探究过程中，通过对三个除式的观察引导学生发现了：O00=1，（）0= 1，（-3）0=1O，在归纳总结零指数幂的意义时，应该合理地引入数学思想，如用符号表示数，发展学生的符号意识；由特殊到一般，培养学生的转化能力。第三，应该放手，让学生有更大的发展空间。第四，对表现好的学生，应该及时表扬；对不敢展示自己的学生应该适时地鼓励，充分调动每个学生的积极性，让每个学生都成为学习的主人。
3.我的收获和体会
一是课堂设计要注重学生数学思想和方法的养成，类比思想、迁移思想、逆向思维训练在本节课都可以很好地体现。二是探究性学习很重要。让学生亲身经历概念引入的过程，可以让学生更好地感受数学的发展以及知识的连续性。三是高效课堂不是高速课堂，由于不同的学生本身差异很大，怎么权衡做到面向全体，值得我们不断地学习和思考。
参考文献：
同底数幂的乘法(二)
一、教学目标（
1．熟练掌握同底数幂的乘法的运算性质并能运用它进行快速计算．
2．培养学生运用公式熟练进行计算的能力．
3．培养学生善于分析问题和解决问题的能力，激发学生勇往直前的斗志．
4．渗透数学公式的结构美、和谐美．
二、学法引导
1．教学方法：讲授法、练习法．
2．学生学法：勤于练习，在练习中理解同底数幂的适用条件及运算方法．
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
同底数幂的运算性质．
（二）难点
同底数幂运算性质的灵活运用．
（三）解决办法
在运算中应强化对公式及性质的形式、意义的理解，同时应加强对符号的判别．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪、胶片．
六、师生互动活动设计
1．复习同底数幂的乘法法则并能正确的判断是否合理使用了该法则，让学生能进一步准确掌握该法则．
2．通过两组举例（师生可共同完成），教师应侧重帮助学生分析解题的方法，并及时提醒学生注意易出错的环节．
3．再通过三组不同形式的题型从不同的角度训练学生的思维能力，以提高学生的辨别能力和运算能力．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课重点是熟练运用同底数暴的乘法运算公式．
（二）整体感知
要准确掌握同底数幂的乘法法则，并会运用它熟练灵活地进行同底数幂的乘法运算，对于运算法则，我们除了应掌握它们的正用：外，还要善于根据题目的结构特征，学会它们的逆向应用：，当然这个难度较大．在应用同底数幂乘法法则计算时，要注意防止把幂的乘法运算性质与整式加法相混淆．乘法只要求同底就可以用性质计算，而加法则不仅要求底数相同，而且指数也必须相同．
（三）教学过程
1．创设情境、复习导入
（1）叙述同底数幂乘法法则并用字母表示．
（2）指出下列运算的错误，并说出正确结果．
①
②
③
强调：①中的指数不为0，指数相加时不要漏加的指数．②不是同类项不能合并．③同底数幂相乘，指数相加不是相乘．
（3）填空：
①，
②，，
2．探索新知，讲授新课
例1计算：
（1）（2）（3）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
例2计算：
（1）（2）
（3）（4）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）
或原式
提问：和相等吗？
3．巩固熟练
（1）P93练习（下）1，2．
（2）计算：
①②
③④
（3）错误辨析：
计算：①（是正整数）
解：
说明：化简错了，是正整数，是偶数，据乘方的符号法则本题结果应为0．
②
解：原式
说明：与不是同底数幂，它们相乘不能用同底数幂的乘法法则，正确结果应为
（四）总结、扩展
底数是相反数的幂相乘时，应先化为同底数幂的形式，再用同底数幂的乘法法则，转化时要注意符号问题．
八、布置作业
P94A组3～5；P95B组1～2．
参考答案
略．
九、板书设计
投影幂
例1例2练习
小结：
同底数幂的乘法(一)
一、素质教育目标
1．理解同底数幂乘法的性质，掌握同底数幂乘法的运算性质．
2．能够熟练运用性质进行计算．
3．通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力．
4．通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．
5．通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度．
二、学法引导
1．教学方法：尝试指导法、探究法．
2．学生学法：运用归纳法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中增进时知识的理解．
三、重点·难点及解决办法
（－）重点
幂的运算性质．
（二）难点
有关字母的广泛含义及“性质”的正确使用．
（三）解决办法
注意对前提条件的判别，合理应用性质解题．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．复习幂的意义，并由此引入同底数幂的乘法．
2．通过一组同底数幂的乘法的练习，努力探究其规律，在探究过程中理解公式的意义．
3．教师示范板书，学生进行巩固性练习，以强化学生对公式的掌握．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课主要学习同底数幂的乘法的性质．
（二）整体感知
让学生在复习幂的意义的基础之上探究同底数幂的乘法的意义，只有在同底数幂相乘的前提条件之下，才能进行这样的运算方式即底数不变、指数相加．
（三）教学过程
1．创设情境，复习导入
表示的意义是什么？其中、、分别叫做什么？
师生活动：学生回答（叫底数，叫指数，叫做幂），同时，教师板书．
个
．
．
提问：表示什么？可以写成什么形式？______________
答案：；
【教法说明】此问题的提出，目的是通过回忆旧知识，为完成下面的尝试题和学习本节知识提供必要的知识准备．
2．尝试解题，探索规律
（1）式子的意义是什么？（2）这个积中的两个因式有何特点？
学生回答：（1）与的积（2）底数相同
引出本课内容：这节课我们就在复习“乘方的意义”的基础上，学习像这样的同底数幂的乘法运算．
请同学们先根据自己的理解，解答下面3个小题．
；
；．
学生活动：学生自己思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．
【教法说明】
（1）让学生在已有知识的基础上感知规律的存在性、一般性，从而建立对同底数幂乘法法则的感性认识．
（2）培养学生运用已有知识探索新知识的热情．
（3）体现学生的主体作用．
3．导向深入，揭示规律
计算的过程就是
也就是
那么，当都是正整数时，如何计算呢？
（都是正整数）
（板书）
学生活动：同桌研究讨论，并试着推导得出结论．
师生共同总结：（都是正整数）
教师把结论写在黑板上．
请同学们试着用文字概括这个性质：
同底数幂相乘底数不变、指数相加
运算形式运算方法
提出问题：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？
学生活动：观察（都是正整数）
【教法说明】注意对学生从特殊到一般的认识方法的培养，揭示新规律时，强调学生的积极参与．
4．尝试反馈，理解新知
例1计算：
（1）（2）
例2计算：
（1）（2）
学生活动：学生在练习本上完成例1、例2，由2个学生板演完成之生，由学生判断板演是否正确．
教师活动：统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．
注意问题：例2（2）中第一个的指数是1，这是学生做题时易出问题之处．
【教法说明】学生在认识的基础上，尝试运用性质，加深对性质的理解．学生做题正确与否，教师均应以鼓励为主，增强学生学习的信心．
5．反馈练习，巩固知识
练习一
（1）计算：（口答）
①②③
④⑤⑥
（2）计算：
①②③
④⑤⑥
学生活动：第（1）题由学生口答；第（2）题在练习本上完成，然后同桌互阅，教师抽查．
练
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
学生活动：此练习以学生抢答方式完成．注意训练学生的表述能力，以提高兴趣．
【教法说明】练习一主要是对性质运用的强化，形成定势．练中主要是通过学生对题目的观察、比较、判断，提高学生的是非辨别力．（1）（2）小题强调同底数幂乘法与整式加减的区别．（3）（4）小题强调性质中的“不变”、“相加”．（5）小题强调“”表示“”的一次幂．
6．变式训练，培养能力
练习三
填空：
（1）（2）
（3）（4）
学生活动：学生思考后回答．
【教法说明】这组题的目的是训练学生的逆向思维能力．
练习四
填空：
（1），则．
（2），则．
（3），则．
学生活动：学生同桌或前后左右结组研究、讨论，然后在练习本上完成．
【教法说明】此组题旨在增强学生应变能力和解题灵活性．
（四）总结、扩展
学生活动：1．同底数幂相乘，底数_____________，指数____________．
2．由学生说出本节体会最深的是哪些？
【教学说明】在1中强调“不变”、“相加”．学生谈体会，不仅是对本节知识的再现，同时也培养了学生的口头表达能力和概括总结能力．
八、布置作业
P941，2．
参考答案
【关键词】高中数学幂函数；TI图形计算器
数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程.布鲁纳也认为，只有学生亲自发现的知识才是真正属于他自己的东西.然而，数学一直以其严密的逻辑推理、灵活的技巧处理而著称，针对学生形象思维多于抽象思维的特点，在教学中应用具有数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能和数理实验功能的TI图形计算器，无疑是解剖抽象复杂性数学知识的有力手段.TI图形计算器不仅仅是“教”的辅助手段，更是“学”的有效工具.课堂中引入TI图形计算器，有助于发掘学生联系实际主动发现问题、提出问题、解决问题的能力，有效促进思维品质的发展，真正促进学生的学习，实现学习方式的转变.下面以人教版高中数学必修1幂函数教学为例，阐述这一新型教学工具在数学教学中的应用及价值.
一、教材分析
在人教版高中数学必修1第77页中，教材仅讨论了幂函数y=xa，a为1，2，3，-1，0.5时的情形，由于a∈R，显然由上述五种情形而得出幂函数的性质这种做法具有一定的局限性，学生难以掌握幂函数所蕴含的丰富性质，并且传统的幂函数教学基本上是采用一支笔一张嘴的教学模式，教学方式方法抽象枯燥，学生难以理解.而TI图形计算器作为教和学研究的有力辅助工具，具有图形、函数、数据处理、简单编程和数理实验等多种功能.因此，在幂函数教学中应用TI图形计算器可以让学生更加深刻地体会归纳转化、数形结合等思想方法，更加积极主动地探索数学知识.
二、教学目标分析
本节课程的主要目标是尝试应用TI图形计算器，利用归纳转化、数形结合的思想自主探索幂函数图像的性质，构建和完善幂函数的知识体系.同时，促进学生养成科学探究问题的学习品质和思维方法，不断拓宽学生的数学视野.
知识与技能方面：理解幂函数的概念，熟练掌握幂函数的性质和图像.
过程与方法方面：应用TI图形计算器研究幂函数的性质和图像，深刻体会归纳转化等基本数学思想.
情感态度与价值观方面：让学生在画图为主的数学实验中深刻感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极探索、独立思考的精神和态度.
三、教学过程设计
（一）提出问题，引入新课
组织学生回忆已经学习过的函数，例如，一次函数y=kx+b（k≠0）；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）；指数函数y=ax（a>0且a≠1）；对数函数y=logax（a>0）；等等.如果将指数函数变化一下形式，则由y=ax变为y=xa，则我们得到的又是什么函数？要求学生掌握幂函数的形式，熟悉指数函数和幂函数之间的区别.
设计意图：复习旧知识，引出新问题，建立幂函数、指数函数之间的联系，熟练掌握幂函数的形式，即指数不变底数变化则为幂函数，指数变化底数不变是指数函数，通过类比的形式将两个易混淆的概念区别开来.
（二）利用工具，尝试探究
在学生准确掌握幂函数概念的基础上，要求学生举例说明.然后提出疑问，我们为什么要学习幂函数，幂函数的图像是什么形状的，它具有哪些性质？带着这些疑问激发学生探究学习的兴趣，借助TI图形计算器绘制出幂函数图像（如图1、图2），并要求学生观察图形回答以下问题.
① 幂函数的图像分布在哪几个象限中？
② 幂函数的图像一定经过第一象限吗？
③ 幂函数的图像一定经过第二象限吗？
④ 幂函数的图像一定经过第三象限吗？
设计意图：根据学生所列举的幂函数，借助TI图形计算器绘制出相应的幂函数图像，并通过问答的方式引导学生自己观察图像，为深入探究幂函数图像的本质奠定基础.
（三）数学实验，合作学习
根据自己的观察结果，请学生选择如下研究方向组成学习小组进行合作探究，并汇报小组的探究成果.
一是研究幂函数第一象限内的公共点；二是研究幂函数第一象限内的单调性；三是研究a>0时图像在第一象限内的上凸与下凸.
在具体探究过程中，教师应以普通成员的形式主动参与探究，对于探究过程中出现的问题及时帮助小组进行解决，并帮助学生得出以下结论：
所有的幂函数图像都经过（1，1）这个点，并且当a>0时图像经过原点.
当a0时，幂函数在第一象限内是增函数.
01时，幂函数在第一象限内是下凸的.
设计意图：通过这种小组开放探究的形式，让学生身临其境主动思考、自由表达，不断培养学生科学的思维品质和自主学习的能力.
（四）展示成果，加深认知
上述探究过程中，仅是针对某几个幂函数进行探究而得出结论，能否通过TI图形计算器的动态图模块作出的动态图直观、形象地展示图像在第一象限内的变化？通过TI图形计算器的动态图模块功能分别展示出a为2，1，0.5，0，-0.5，-2时的图像.
设计意图：在刚刚得到幂函数在第一象限内某个性质的基础上，通过TI图形计算器动态图模块，使抽象、复杂、静态的数学知识变为生动、形象、直观的数学规律，有利于学生从整体上对幂函数在第一象限内性质的掌握.
（五）借助探巧，拓展知识
在该学习过程中，很多学生都产生这样的疑问，幂函数的图像除了在第一象限内，还有可能出现在第二、三象限内，那么幂函数图像在第几象限与幂函数的指数有联系吗？两者之间存在着什么关系.要求学生带着新的问题在课下继续去探究，并将探究结果第一时间反馈给教师.
设计意图：在学生掌握应用TI图形计算器的基本技能后，让学生带着新的问题去探究，有利于学生独立思考、自主学习习惯的培养.
（六）强化思想，小结归纳
在学习中，TI图形计算器在幂函数的学习中给了我们什么样的启示？幂函数的定义是怎么表述的？它和指数函数的最大区别是什么？……
设计意图：通过一系列的问题让学生回顾幂函数研究的基本思路和方法，总结概括出幂函数在第一象限内的图像性质.同时，引导学生体会TI图形计算器在学习探究中的作用.
（七）设计题目，检验成果（题目略）
设计意图：练习反馈是检验学习效果的重要手段，是课堂教学不可缺少的一个环节，通过题目的设置有效组织学生回顾幂函数的概念和性质，并运用TI图形计算器进行求证，有利于增强学生的成就感.
一、要真正理解“三式”的意义
“三式”是指单项式、多项式和整式，真正理解它们的意义及它们之间的区别和联系，对学好“整式的加减”具有重要的意义.单项式是由数字与字母的积组成的代数式，它反映的是数与字母之间的一种运算――乘法运算.多项式反映的是单项式与单项式之间的一种运算――加法运算（减法可统一为加法）.如就是一个多项式，因为它是单项式与的和（想一想：是多项式吗？为什么？呢？呢？）.单项式和多项式统称整式，这就是说，一个整式，不是单项式便是多项式，不是多项式便是单项式，两者必居其一.
二、要彻底弄清“四数”的含义
“四数”是指单项式的系数和次数及多项式的项数和次数.只有弄清了它们的含义，才能准确而迅速地确定“四数”.单项式的系数是指单项式中的数字因数，如的系数是3.系数包括其前面的符号，如2的系数是2；单独一个字母和只含字母的单项式，如、的系数分别是1、1；系数与字母及其指数无关，如、 的系数都是5.单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.如是三次单项式，这里的指数是1而不是0.次数和系数无关，例如、 的次数都是4；特别指明对某字母而言时，次数只与此字母的指数有关，其它字母均看作常数.如对而言是一次单项式，对而言是二次单项式.单独一个非零数字是零次单项式.多项式的项数是指多项式中所含单项式的个数.一个多项式含几个单项式就叫几项式.对多项式的每一项来说有次数和系数的概念，如从左到右分别是三次项、二次项、一次项，其系数分别是1、3、1；对整个多项式而言没有系数的概念，但有次数的概念.多项式的次数指的是多项式中最高次项的次数.如的次数是2，又含有三项，故它是二次三项式.多项式的项包括前面的符号，不含字母的项叫做常数项，如的项分别是其中“6”是常数项.
三、要注意学会“两种排列”
“两种排列”是指升幂排列和降幂排列.这两种排列的理论依据是加法运算律.升（降）幂排列是对某一字母来说的，因此在具体排列时要注意弄清两个问题：（1）按哪个字母的指数来排列（只含一个字母的除外）；（2）是升幂排列还是降幂排列.如多项式按的降幂排列是（此时不含的项被视为常数项排在最后面）；按的升幂排列是（此时不含的项被视为常数项排在最前面）.重新排列多项式时，将“+”、“”号都看成是性质符号，各项都必须带着性质符号移动位置.首项的性质符号“+”可省略，但首项要移动位置时，一定要写上性质符号“+”.
四、要熟练掌握“一条法则”
“一条法则”是指同类项的合并法则，它是整式加减的基础，务必熟练掌握，并能灵活运用.合并同类项的基础是正确辨别同类项，辨别的标准是“两个相同”；（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数分别相同.二者缺一不可，否则不是同类项.合并同类项的法则是将其系数相加，字母及其指数不变.应注意，只有同类项才能合并，且合并要完全、彻底，不是同类项不能合并.
五、要切实明确“一条实质”
“一条实质”是指整式加减的实质，也就是去括号、合并同类项.明确了这一实质，就能正确而熟练地进行整式的加减运算了.
例 计算：
分析：这是整式加减的运算问题，实质上就是去括号、合并同类项的问题.
解：原式
这是一道人教数学必修1（A版）第83页中的习题[1]（略有变动）这道12分的题目，学生平均得分约为2分存在问题是：
（1）弄不懂题意，审题不清；
（2）指数和对数运算能力不强；
（3）函数意识差，应用图像描述表达客观世界变化规律的能力薄弱.
考试后的数学成绩分析会上，这个问题引起了老师们的热烈争论主要有两种观点：一是问题解答中运算量比较大，题目类型生僻，教学中几乎不涉及使用计算器的题目，由于高考中以考查概率为背景的应用题为主，这样以函数为背景的应用题就不是教学中的重点，因此这类问题在考试中出现不是十分恰当另一种观点是教材中的习题学生不会解答实属不该教材中的一些习题特别是实际问题，具有丰富的实际背景，是专家学者甚至是数学家们精心研究的结晶，它能够很好地考查学生的函数意识和应用能力，这种考查方式，对于引导重视教材，脱离题海教学，具有良好的导向作用.
针对老师们的讨论，成绩分析会议后，我们进行了深刻的反思.
应用题是教学中的难点，弄清楚题意是教学的一个必要环节在这个问题中，当过滤时间越来越长时，污染物数量P就会越来越小，且趋近零，反映在函数上就是P=P（t）在[0，+∞）上是减函数，且当t+∞时，P（t）0+，这样画图像就容易了.
运算能力是数学的基本能力之一在2011年修订后的《全日制义务教育数学课程标准（修订）》中指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律，正确地进行运算的能力培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题[3]指数和对数运算是高中数学的基本运算，是教学的重点和难点《普通高中数学课程标准（实验）》中指出：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及简化运算的作用[4]一般说来，学生对正整数指数幂、零指数幂及负整数指数幂的理解认识并不困难可是对于分数指数幂（和无理指数幂）是难以理解的，它源于对无理数认识的困难，如2172013=2013217，许多同学甚至还不认为它是一个数，或总想知道它到底是多少事实上，它的近似计算依赖于更陌生的对数，然而对数定义又依赖于指数，这样对于许多即使十分简单的指数式、对数式，学生缺少了直观上的认知，因此学生对于指数和对数的概念的理解和运算的熟练程度是需要比较长的时间的，相对地需要花费不少的时间[4]就目前教材内容而言，指数及其运算约需3课时，对数及其运算约需4课时，就笔者知道的情况而言，我们的教学时间在这里大大的压缩了，指数及其运算用1课时，对数及其运算2课时，就很快进入了指数函数和对数函数的教学，而压缩出的时间进行题型教学，这对今后的学习埋下了隐患，以致于许多高三学生遇到指数和对数运算就犯糊涂因此，在数学教学过程中，我们要在概念和运算上舍得多花费一些时间，进度慢一些，让学生多一些直观认识和感悟，少一些急功近利的做法.
《普通高中数学课程标准（实验）》中指出：通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型课标中对此还给出了如下案例：
家用电器（如冰箱、空调等）使用的氟化物的释放破坏了大气上空的臭氧层臭氧含量Q是指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e-0002t，其中Q0是臭氧的初始量.
（1）随时间的增加，臭氧的含量增加还是减少？
（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？
这样的例子，教材中还有很多如人教数学必修1（A版）中，第7页或第103页中的人口增长模型，第48页或第74页中的GDP增长模型，第83页或第110页中的牛顿建立的物质冷却模型，第78页中的计算机病毒感染传播模型，第107页中的大气压强与海拔高度变化的模型，以及第112页中的放射性元素的原子数随时间的变化规律模型等由此可见，指数函数的应用多么广泛.
参考文献
[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M]人民教育出版社，2007年1月第2版.[Z）]
[2]中华人民共和国教育部制订义务教育数学课程标准（修订）[M]北京：北京师范大学，2011年.[Z）]
[3]中华人民共和国教育部制订普通高中数学课程标准（实验）[M]人民教育出版社，2003年4月.[Z）]
[4]赵思林“对数”定义难学的心理分析[J]数学教育学报，2021，（12）.[Z）]
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每题只有一个正确答案）．1．如图，∠2和∠3是（） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．互为补角【考点】同位角、内错角、同旁内角；余角和补角．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答．【解答】解：∠2和∠3是AD和AB被BD所截得到的同旁内角，故选C． 2．下列运算正确的是（）A．a2+a4=a6 B．（﹣a）2•a3=a5 C．（a3）2=a5 D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；完全平方公式对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、a2与a4不能相加，故本选项错误；B、（﹣a）2•a3=a2•a3=a2+3=a5，故本选项正确；C、（a3）2=a3×2=a6，故本选项错误；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误．故选B． 3．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．（x﹣4）（x+4）=x2﹣16 B．x2﹣y2+2=（x+y）（x﹣y）+2C．x2+1=x（x+ ） D．a2b+ab2=ab（a+b）【考点】因式分解的意义．【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定【解答】解：A、B结果不是积的形式，因而不是因式分解，C中 不是整式，因而不是因式分解，满足定义的只有D．故选：D 4．下列给出的各组线段的长度中，能组成三角形的是（）A．4，5，6 B．6，8，15 C．5，7，12 D．3，7，13【考点】三角形三边关系．【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得A、4+5＞6，能组成三角形，符合题意；B、6+8＜15，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+7=12，不能够组成三角形，不符合题意；D、3+7＜13，不能够组成三角形，不符合题意．故选A． 5．如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．能判定AB∥CD的条件个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理，（1）（3）（4）能判定AB∥CD．【解答】解：（1）∠B+∠BCD=180°，同旁内角互补，两直线平行，则能判定AB∥CD；（2）∠1=∠2，但∠1，∠2不是截AB、CD所得的内错角，所不能判定AB∥CD；（3）∠3=∠4，内错角相等，两直线平行，则能判定AB∥CD；（4）∠B=∠5，同位角相等，两直线平行，则能判定AB∥CD．满足条件的有（1），（3），（4）．故选：C． 6．若a=（﹣ ）﹣2，b=（﹣2016）0，c=（﹣0.2）﹣1，则a、b、c三数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】有理数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．【分析】首先根据负整数指数幂、零指数幂求得a、c、b的值；最后根据有理数大小比较的方法，判断出a，b，c的大小关系即可．【解答】解：a=（﹣ ）﹣2= ，b=（﹣2016）0=1，c=（﹣0.2）﹣1=﹣5， ＞1＞﹣5，a＞b＞c，故选：B． 7．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到DEF的位置，∠B=90°，AB=8，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（） A．20 B．24 C．25 D．26【考点】平移的性质．【分析】首先根据平移距离为4，可得BE=4；然后根据HEC～ABC，求出CE的值是多少，再用DEF的面积减去HEC的面积，求出阴影部分的面积为多少即可．【解答】解：平移距离为4，BE=4，AB=8，DH=3，EH=8﹣3=5，HEC～ABC， = = ， = ，解得CE= ，阴影部分的面积为：SDEF﹣SHEC=8×（ +4）÷2﹣ ×5÷2= ﹣ =26故选：D． 8．如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β、γ的关系是（） A．β+γ﹣α=90° B．α+β+γ=180° C．α+β﹣γ=90° D．β=α+γ【考点】平行线的性质．【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角BGC中，∠1=90°﹣α；EHD中，∠2=β﹣γ，AB∥EF，∠1=∠2，90°﹣α=β﹣γ，即α+β﹣γ=90°．故选C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分）．9．某种感冒病毒的直径是0.000000712米，用科学记数法表示为 7.12×10﹣7 米．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000712=7.12×10﹣7．故答案为：7.12×10﹣7． 10．一个八边形的外角和是 360 °．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据任何凸多边形的外角和都是360度，解答即可．【解答】解：八边形的外角和是360度．故答案为：360． 11．如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交于点D，∠C=130°，则∠EAC为 25° ． 【考点】平行线的性质．【分析】由AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到三角形ACD为等腰三角形，根据顶角的度数求出底角的度数，即可确定出∠EAB的度数．【解答】解：CD∥AB，∠CDA=∠DAB，AE为∠CAB的平分线，∠CAD=∠DAB，∠CAD=∠CDA，∠C=130°，∠EAC=∠EAB=25°．故答案为：25°． 12．若4x2+kx+9是完全平方式，则k= ±12 ．【考点】完全平方式．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：4x2+kx+9是完全平方式，k=±12，解得：k=±12．故答案为：±12 13．若am=5，an=3，则am+n= 15 ．【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则求解．【解答】解：am+n=am•an=5×3=15．故答案为：15． 14．如果（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘积中不含x2项，则a为 ．【考点】多项式乘多项式．【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把a看作常数合并关于x2的同类项，令x2的系数为0，求出a的值．【解答】解：原式=x3﹣5ax2+ax+x2﹣5ax+a，=x3+（1﹣5a）x2﹣4ax+a，不含x2项，1﹣5a=0，解得a= ． 15．如图B点在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B北偏东80°方向，则∠ACB= 85° ． 【考点】方向角．【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，AE，DB是正南正北方向，BD∥AE，∠DBA=45°，∠BAE=∠DBA=45°，∠EAC=15°，∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，又∠DBC=80°，∠ABC=80°﹣45°=35°，∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°．故答案是：85°． 16．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为 160 s． 【考点】多边形内角与外角．【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．【解答】解：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．故答案是：160． 17．如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=34°，则下列结论正确有 4 个 （1）∠C′EF=34°；（2）∠AEC=112°；（3）∠BFD=112°；（4）∠BGE=68°． 【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平行线的性质以及法则不变性，分别求出∠C′EF；∠AEC；∠BFD；∠BGE即可判断．【解答】解：∠EFB=34°，AC′∥BD′，∠EFB=∠FEC′=∠FEG=34°，故①正确，∠C′EG=68°，∠AEC=180°﹣∠C′EG=112°，故②正确，EC∥DF，∠BFD=∠BGC=∠AEC=112°，故③正确，∠BGE=∠C′EG=68°，故④正确，正确的有4个．故答案为4． 18．已知=6，则2+2的值是 13 ．【考点】完全平方公式．【分析】原式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：=6，原式=[﹣]2+2=1+12=13，故答案为：13 三、解答题（本大题共有9小题，共96分）．19．计算：（1） （2）（x+y）2﹣（x﹣y）2（3）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（4）（3x+1）2（3x﹣1）2．【考点】平方差公式；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）先依据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质依据同底数幂的除法法则进算，然后求得利用加法法则计算即可；（2）先用平方差公式分解，然后再依据单项式乘单项式法则求解即可；（3）两次应用平方差公式进行计算即可；（4）逆用积的乘方法则，先求得（3x+1）（3x﹣1），最后在依据完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）原式=9+1+（﹣5）=5；（2）原式=（x+y+x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]=2x•2y=4xy；（3）原式=（x2﹣y2）（x2+y2）=x4﹣y4；（4）原式=（9x2﹣1）2=81x4﹣18x2+1． 20．因式分解（1）m2﹣10m+25（2）a3﹣81a（3）（a+b）2﹣6（a+b）+9（4）（x2+4y2）2﹣16x2y2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解即可；（2）首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可；（3）直接利用完全平方公式进行分解即可；（4）首先利用平方差进行分解，再利用完全平方进行二次分解即可．【解答】解：（1）原式=（m﹣5）2；（2）原式=a（a2﹣81）=a（a+9）（a﹣9）；（3）原式=（a+b﹣3）2；（4）原式=（x2+4y2+4xy）（x2+4y2﹣4xy）=（x+2y）2（x﹣2y）2． 21．（1）先化简，再求值：（2x﹣y）（x+y）+2（x﹣2y）（x+2y），其中x=2，y=﹣1；（2）（a+b）2=10，（a﹣b）2=2，求a2+b2和ab．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；（2）先根据完全平方公式展开，再相加或相减，即可得出答案．【解答】解：（1）（2x﹣y）（x+y）+2（x﹣2y）（x+2y）=2x2+2xy﹣xy﹣y2+2x2﹣8y2=4x2+xy﹣9y2，当x=2，y=﹣1时，原式=4×22+2×（﹣1）﹣9×（﹣1）2=5；（2）（a+b）2=10，（a﹣b）2=2，①a2+2ab+b2=10，②a2﹣2ab+b2=2，①+②得：2a2+2b2=12，a2+b2=6；①﹣②得：4ab=8，ab=2． 22．已知3m=2，3n=5，（1）求32m的值；（2）求33m﹣n的值．【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．【分析】（1）先将32m变形为（3m）2，再带入求解；（2）将33m﹣n变形为（3m）3÷3n，带入求解即可．【解答】解：（1）原式=（3m）2，=22=4．（2）原式=（3m）3÷3n，=23÷5= ． 23．如图，已知∠2=∠4，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并说明理由． 【考点】平行线的判定与性质．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明：∠2=∠4（已知）EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）又∠B=∠3（已知）∠5=∠B（等量代换）DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等） 24．我们规定一种运算： =ad﹣bc，例如 =3×6﹣4×5=﹣2， =4x+6．按照这种运算规定，（1）计算 = 11 （2）当x等于多少时， ．【考点】整式的混合运算．【分析】（1）根据新定义列出算式，根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）根据新定义列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）由题意得， =1×5﹣3×（﹣2）=11，故答案为：11；（2）由题意得，（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）（x+1）=0，整理得，﹣2x﹣5=0，解得，x=﹣ ． 25．已知：如图，AEBC于M，FGBC于N，∠1=∠2，∠D=∠3+50°，∠CBD=70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数． 【考点】平行线的判定与性质；垂线．【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2=∠A=∠1，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．【解答】（1）证明：AEBC，FGBC，AE∥GF，∠2=∠A，∠1=∠2，∠1=∠A，AB∥CD；（2）解：AB∥CD，∠D+∠CBD+∠3=180°，∠D=∠3+50°，∠CBD=70°，∠3=30°，AB∥CD，∠C=∠3=30°． 26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2+b2﹣2a+1=0，则a= 1 ．b= 0 ．（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9=0，求xy的值．（3）已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求ABC的周长．【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．【分析】（1）利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；【解答】解：（1）a2+b2﹣2a+1=0，a2﹣2a+1+b2=0，（a﹣1）2+b2=0，a﹣1=0，b=0，解得a=1，b=0；（2）x2+2y2﹣2xy+6y+9=0，x2+y2﹣2xy+y2+6y+9=0即：（x﹣y）2+（y+3）2=0则：x﹣y=0，y+3=0，解得：x=y=﹣3，xy=（﹣3）﹣3=﹣ ；（3）2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，ABC的周长为1+3+3=7； 27．已知：∠MON=80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是 40° ；②如图2，当∠BAD=∠ABD时，试求x的值（要说明理由）；（2）如图3，若ABOM，则是否存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．（自己画图） 【考点】平行线的性质；垂线．【分析】（1）①利用角平分线的性质求出∠ABO的度数；②利用角平分线的性质和平行线的性质求得∠OAC=60°；（2）需要分类讨论：当点D在线段OB上和点D在射线BE上两种情况．【解答】解：（1）①∠MON=80°，OE平分∠MON，∠AOB=∠BON=40°，AB∥ON，∠ABO=40°故答案是：40°；②如答图1，∠MON=80°，且OE平分∠MON，∠1=∠2=40°，又AB∥ON，∠3=∠1=40°，∠BAD=∠ABD，∠BAD=40°∠4=80°，∠OAC=60°，即x=60°．（2）存在这样的x，①如答图2，当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=40°； 若∠BAD=∠BDA，则x=25°； 若∠ADB=∠ABD，则x=10°．②如答图3，当点D在射线BE上时，因为∠ABE=130°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=130°，C不在ON上，舍去； 综上可知，存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角，且x=10°、25°、40°．
关键词：对数的概念、概念教学、数学概念
一、问题提出
对数是高中数学中的一个重要概念，但由于对数概念较为抽象，对数记号不易直观的理解其意义，也导致对数运算不如加、减、乘、除、乘方等运算那样具体，是一节典型的概念课，以下是对“对数的概念”这节课的分析与思考。
二、教学过程
教学基本流程：
（一）创设情境――概念的引入
问题1。以下方程是否有解？（1）2x=4 （2）2x=5
【设计意图】：根据底数、指数与幂之间的关系，从已知底数和幂如何求指数的运算入手，引导学生借助指数函数的图象，分析问题中幂指数的存在性，使学生认识到引进对数的必要性。
（二）解后反思――概念的形成
学生通过对问题1的探究，理解对数的概念，教师介绍符号读法。
（三）迁移推广――概括概念
有了对以2为底的特殊对数的理解，学生很容易将其推广到一般情况，在教师的引导下概括出对数的概念不是难事。
（四）互助探究――明确概念
学生互助分析指数和对数的等价关系以及a，x，N各自的名称与地位变化，完成下表
式子名称
axN
ax=N指数
logaN=x真数
学生探究：问题2。对数式中a，x，N的范围是怎样的？
【设计意图】：通过对指数式与对数式中各字母进行对比分析，引导学生进一步理解对数与指数之间的相互联系，从而认识对数的本质。
（五）达标检测：
1.求下列各式的值：
（1）log525（2）log2116； （3）lg1000； （4）lg0.001； （5）log1515； （6）log0.41。
2.已知loga2=m，loga3=n，求a2m+n的值。
【设计意图】：反馈学生掌握对数概念的情况，以便在后续的教学中跟进。
（六）归纳小结――形成认知
（1）为什么要引入对数？指数与对数有什么关系？
（2）在学习过程中，你体会到了哪些数学思想？
【设计意图】：学生对知识进行归纳概括，体会等价转化思想在对数计算中的作用。
三、教后反思
1.由于学生的理解能力，逆向思维能力等方面参差不齐，大部分教师比较怕数学概念的教学。对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念，在初中的学习里没有接触过。在教学过程中，从实际问题出发，不断创设疑问，激发学生的求知欲和学习主动性，使学生紧紧抓住对数运算是指数运算的逆运算这一实质，重视指数式与对数式的互化，通过教师的引导点拨和学生的思考练习，使学生理解和掌握对数的概念及本质，达到我们预期的教学目标。
2.从教学环节上来讲，环环相扣，紧密却不失自然。 采用实例引入的方法，设置了两个问题：第一问是已知底数和指数，求幂值，这是我们能解决的；第二问是已知底数和幂的值，求指数的问题：以下方程是否有解？（1）2x=4（2）2x=5第一问学生容易解决，而第二问，用过去学过的知识，无法解这个方程，从而激发起学生认知上的冲突，从而引入课题。同时介绍对数产生的背景及其应用，渗透两纲教育。通过实例引导学生发现问题、分析问题和解决问题，基本上达到了预期目标。
定义的讲解注重理解，强调对数是一种求指数的运算，指对数的互化，注意读法、写法等。定义之后，直接先讲解例1、例2，让学生熟悉指对数的互化。
之后通过一些特殊的指对数互化，比如任何非零的数的零次幂为1和任何数的一次幂为其本身，指导学生将这两个特殊的指数式转化成对数式，以此可以得到对数的性质。这样设计使得两个教学环节之间有所衔接，从上一个环节自然引入下一环节，这样展现给学生的课是一种水到渠成的感觉，不会使学生感觉太突兀。但是对于概念的理解可能需要讲到对数函数后，他们才会真正体会其意义。数学上的很多概念的理解都需要经历这样一种螺旋上升的过程，在后期不断的应用中才能得到升华。