时间：2023-09-29 03:14:16
关键词：抛物线；标准方程；活动单；思维链
为进一步推进南通市基础教育课程改革，市教科研中心将课程改革的重点放在课堂教学改革上，大力推进“活动单”导学模式下的课堂教学. “活动单”导学是以“活动单”为媒介引导学生在活动中自主、合作学习，实现教学目标的过程. 市教科研中心对课堂提出三点基本要求：“限时讲授，合作学习，踊跃展示”.“限时讲授”指教师在课堂上讲授时间不得超过学生活动时间的一半，留出时间让学生自主合作、探究交流；“合作学习”指教学中必须建立学习小组，学生在组间或组内互动交流；“踊跃展示”指学生在课堂上主动、积极表达，大胆、踊跃展示. 为此，市教科研中心于2013年12月27日在南通市三中开展课堂教学研讨活动，笔者借市三中高二（6）班上了一节“抛物线的标准方程”（第一课时）同课异构课. 在本节课的教学设计中，笔者尊重教材但不拘泥于教材，遵循学生的认知规律，大胆创新，精心设置活动单，明确每个活动的内容、方式、过程、目的，公开课得到与会专家的充分肯定. 笔者整理出本节课的教学设计及设计意图，以期抛砖引玉，供专家、同行研讨并批评指正.
■教材分析
“抛物线的标准方程”是普通高中课程标准实验教科书选修（苏教版）2―1第二章第四节内容. 学生在初中已经学习过二次函数有关知识，对抛物线有一定的了解，同时学生已经研究了椭圆、双曲线的相关知识，对解析几何研究问题的基本方法比较熟悉，这些都为抛物线的学习提供了认知基础. 本节课是“抛物线的标准方程”第一学时，是进一步研究抛物线的性质和运用的基础.
■教学目标
1. 通过几何作图，经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义.
2. 通过建立直角坐标系，根据抛物线的定义建立标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程.
3. 在已有经验（椭圆、双曲线的标准方程及其求法）的基础上，进一步感受解析几何的研究方法，体会数形结合的数学思想.
■教学重点
1. 掌握抛物线的定义.
2. 掌握抛物线的标准方程及其推导方法.
■教学难点
抛物线的标准方程的推导.
■教学方法
情境・类比・探究・猜想.
■教学手段
多媒体几何画板课件辅助教学.
■教学过程
活动一 阅读交流 方法引领 动画演示 建构概念
1. 阅读交流：阅读教科书P26的本章引言，试结合椭圆、双曲线的学习，谈谈你对解析几何研究方法的理解.
2. 回顾生疑：回顾初中二次函数的有关知识，揭示研究主题.
3. 建构概念：动画演示抛物线的生成过程，剖析抛物线上点的特征，建构抛物线的概念.
设计意图：由本章引言中美国数学家克莱因的名言“解析几何彻底改变了数学的研究方法”点燃学生的思维火花，学生结合椭圆、双曲线的学习再次阅读本章引言文本内容，对解析几何研究问题的基本方法的体会一定比起始课时更实在、更深切. 通过小组内交流、师生对话，学生进一步明确研究椭圆、双曲线的一般思路（定义―方程―性质），从而为抛物线的研究指明方向. 回顾初中二次函数有关知识，既尊重学生的学习实际，为新知识提供生长点，同时又引发新的认知冲突：为什么二次函数的图象是抛物线？抛物线上的点究竟有怎样的规律？由此对抛物线定义的研究呼之欲出. 教师先利用几何画板演示、呈现抛物线图形，再利用几何画板的度量功能，揭示抛物线的本质特征，即抛物线上的点“到定点的距离与到定直线的距离相等”，自然生成抛物线的定义. 在概念的形成过程中，教师并非直接抛出定义，而是通过提问、追问，逼出学生将概念中的“平面内”、“点F不在直线l上”等条件补充完整，从而建构完整的抛物线概念.
活动二 类比迁移 小组讨论 建立方程 板书展示
设焦点F到准线l的距离为p. 试建立适当的直角坐标系，推导抛物线的方程.
■
图2
设计意图：通过类比椭圆、双曲线的学习，学生明确在研究了抛物线的定义后必然研究抛物线的标准方程.放手让学生独立思考、小组讨论，得出两种不同的建系方法，一是以抛物线的准线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，推导出抛物线方程为x2=2py-p2；二是以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，推导出抛物线方程为x2=2py. 这一阶段的活动安排是独立思考、小组讨论、板书展示、学生评价、师生完善、投影完整推导过程. 通过比较不同的建系方法下得到的抛物线方程，自然生成抛物线的标准方程. 通过比较抛物线的标准方程和二次函数的最简解析式，解决了活动一中产生的疑问：为什么二次函数的图象是抛物线. 在得出抛物线的标准方程后，再通过数形结合，引导学生明确焦点及准线的位置，明晰抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间的数量关系. 这样处理，既是对标准方程的认识，也为接下来新知的运用做好铺垫.
活动三 数学运用 巩固新知 规范展示 理解提升
例 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）x2=4 y；（2）y=2x2.？摇
设计意图：设计两道简单例题的目的：①帮助学生进一步熟悉抛物线的标准方程及简单运用；②根据抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标和准线方程，必须将方程化成标准形式.在此由学生展示解答结果，师生共同辨析第2题中2p=2对不对，进而明确抛物线标准方程的形式，提高学生的辨误能力.
练习 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为（0，6）；
（2）准线方程为y=-■；
（3）过点（1，2），且开口向上.
设计意图：通过反向设问，根据抛物线的焦点坐标及准线方程求抛物线方程，学生进一步认识抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程之间的数量关系. 同时，学生在潜移默化中体会到抛物线的焦点在y轴的正半轴时抛物线开口向上，为接下来研究其他位置的抛物线标准方程时应该考虑焦点位置及开口方向埋下伏笔. 通过练习（3），明确求抛物线的标准方程也就是求参数p，可以选用待定系数法.
活动四 大胆猜想 合情推理 合作交流 完善知识
设计意图：学生在研究了开口向上的抛物线的基础上对照二次函数，猜想出开口向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 接着类比椭圆、双曲线的标准方程的两种形式及其原因，进一步猜想出抛物线的开口还可以向左、向右，进而研究此时的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.在师生充分交流的基础上，让学生通过表格的填写，完善本节课的知识结构. 引导学生观察表格，结合开口向上的抛物线标准方程的运用，让学生通过举例来探究该表格的作用. 学生举例：已知抛物线的焦点坐标为（0，-6），求抛物线的标准方程.教师进一步引导学生思考焦点为（6，0），（-6，0）时抛物线的标准方程和焦点坐标，学生思维顿时打开，各种问题精彩纷呈：已知抛物线标准方程为y2=2x，求抛物线的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程和焦点坐标等等. 通过师生的充分交流，学生总结出在标准方程、焦点坐标、准线方程中能够知一求二，为下一节课进一步研究抛物线的运用做好铺垫. 对照表格，引发学生课后思考：二次函数与标准方程都是在研究抛物线，它们有怎样的异同点？这样处理呼应上课之初对二次函数的回顾，同时又激发学生研究的热情.
活动五 自主归纳 梳理知识 反馈练习 拓展思考
通过本节课的学习，你有哪些收获与困惑？
设计意图：课堂小结的设计主要是基于如下考虑：①没有采用教师总结、学生记录的一般做法，避免出现临下课学生有懈怠的心理；②学生通过自主归纳，梳理抛物线的研究主线：定义――标准方程――性质，体会数形结合、类比的数学思想方法，进一步明晰解析几何研究问题的一般方法，形成较深刻的印象；③教师一方面及时补充，完善知识结构，另一方面站在数学思想方法的高度指导学生，让学生更全面地认识抛物线，指出接下来的研究方向是抛物线的性质及其运用，为下一节的学习埋下伏笔.
■课后作业
必做题
1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
？摇？摇？摇（1）x2=6y；？摇？摇？摇？摇？摇 （2）y=6x2；
2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为（0， ■）；
（2）准线方程为y=-■.
3. 求以直线2x-3y+6=0与y轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.
选做题
4. 求二次函数y=ax2（a>0）对应的抛物线的焦点坐标和准线方程.
思考题？摇 平面内到一个定点F和一条定直线l（F在l上）距离相等的点的轨迹是什么？
设计意图：适度训练帮助学生及时巩固新知，选做题是对抛物线标准方程的进一步研究，让学生更清楚地认识到抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者间存在的数量关系，思考题是对定义中焦点F不在准线l上的进一步理解，留给学生课后思考，避免了课堂上冲淡主题，同时又激发学生的思维，开阔学生的视野，加深对抛物线定义的理解.
■本节课教学设计理念
一、引思――训练思维的流畅性
师：请同学们思考两个问题：
1、我们对抛物线已有了哪些认识？
2、二次函数的图像抛物线的开口方向是什么？
生：在初中数学中，抛物线是二次函数的图象；在二次函数中研究的抛物线，有开口向上或向下两种情形。
师：（通过课件展示图片）实际上，在生活中存在着各种形式的抛物线，随处可见。比如绽放的烟花、结实的拱桥、美丽的彩虹、探照灯的轴截面等，还有一些运动形成的抛物线，投篮运动、抛球运动等形成的轨迹都是抛物线，说明抛物线在实际生活中无处不在，那么今天我们就对于抛物线进一步研究，体会抛物线的美妙。
通过图片的展示，使学生切实感受到了现实生活中确实存在许许多多的抛物线，这样真实的感受让学生能够认识到学习抛物线的现实意义和必要性，为学生下面进行积极的思维奠定了良好的基础。
师：下面我们来看抛物线可以怎样画出（演示抛物线的形成），请同学们仔细观察画图的过程，给出抛物线的定义。
生：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
师：（再引导）由前面椭圆、双曲线的学习我们可以知道这里的定点及定直线通常叫做什么？
生：定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
评述 课堂上对定义的教学，一般都是老师讲，学生被动听，这种被动的学习方式扼杀了学生思维的积极性和主动性，难以焕发出思维的活力，更谈不上学生的积极参与，他们在认识上只是依赖浅层次的策略。引导学生积极思维，得要让学生有直观的认知，具备一定的基础知识，以达到训练思维的流畅性。
二、顺思――训练思维的层次性
师：为了能够顺利的对抛物线进行研究学习，并研究与抛物线相关的问题，下面我们来求出抛物线的标准方程。这实际是求曲线方程的问题，首先要考虑求曲线方程轨迹的基本步骤是什么？
生：①、建立直角坐标系，设动点为(x,y)；②、写出适合条件的x,y的集合；③、列方程f(x,y)=0；④、化最简（并注明条件）；⑤、证明（常常省去）。
师：那我们现在遇到的第一个问题就是如何适当的建立坐标系，使求出的抛物线标准方程最简呢？设焦点到准线的距离为常数P(P>0)。
生：取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，准线为y轴。
师：很好！这是我们的一般方法，但是回想在初中学习的二次函数图象的顶点在坐标原点时，二次函数的表达式才是最简的，由此可以想象取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，垂足为K，线段KF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，所得方程更为简单。（展示了思维的层次性）
在这里，老师将学生的习惯思维和原有的知识作以对比，引导学生通过不同的角度思考问题，有助于学生思维层次的提高，考虑问题显得更加细致周到。
师：下面我们就进行推导，
如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设动点M的坐标为（x，y） ，由抛物线的定义可知，化简得此处推导简洁到位，同时对于旧知识也进行了复习，处理得当。
师：我们再按照最先想到的做法进行推导，与前面的结论作以对比。
如图，若以准线所在直线为y轴，则焦点F(P,0),准线L:x=0由抛物线的定义，可导出抛物线方程为比较之下，显然方程 更为简单。
此处让学生动手实践，通过自主对比找出最简结果，通过这样的体验能够加深学生对结果的理解认识，并再次熟练了推导的过程，培养了学生探索的精神。
评述 通过从不同的角度对问题进行深入的思考，先产生一个直觉上的认识，再进行实践，对比结果发现最优结果，增强知识的系统性，对相关问题进行联系。同时，让学生对所考虑的问题进行自主研究，从而使思维达到一个较高的层次。
三、延思――训练思维的变通性
师：我们所推导的方程
叫做抛物线的标准方程。其中 p 为正常数，它的几何意义是：焦点到准线的距离。
方程 表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半轴上，其准线垂直于X轴的负半轴，即焦点为准线为。
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。请同学们思考抛物线的标准方程还有哪些形式? 其它形式的抛物线的焦点与准线呢？（鼓励与激发全班同学参与）
一石激起千层浪，此处的提问使学生又一次的展开了思维，在考虑到各种情形后，进入到对方程的研究，学生自然的想到能否利用前面的结果加以解决，这样的变化让学生的思维也发生了一些变通。
师：大家已经想到了还有开口方向朝左、朝上和朝下几种情形（展示抛物线的各种形式），我们先来考虑开口朝左的情形。请问大家从图象上观察与朝右的情形有什么联系？
生：（急切的回答）关于y轴对称！
师：那对于方程的研究有什么帮助呢？
生：（脱口而出）图象关于y轴对称，即图象上的点是关于y轴对称，而关于
y轴对称的点横坐标相反，纵坐标不变！故开口朝左的方程为
师：很好！大家的思维非常棒！看来同学们是用形与数的关系解决的，那么对于开口朝上的又如何考虑呢？能否用刚才的办法呢？（激发学生的思维）
生：（对比图象之后）开口朝上的图象可以看作是将开口朝右的图象按照逆时针方向旋转90°而得到的！
师：观察得很好！可是我们并没有学习过旋转变化呀！那么能不能把这个旋转变化归于我们学习过的对称变化呢？请大家再观察。（进一步激发学生的思维）
生：由于是逆时针方向旋转的了90°，因此可以看作是关于直线对称！
师：非常好！那么我们的问题就可以得到解决了！具体如何给出方程呢？
生：关于直线对称的两点互换了横纵坐标，因此将开口朝右的方程中的x、y互换位置即可！即方程为。（展示了思维的灵活性）
师：分析的非常到位，那最后一种情形很容易就可以给出结果了！我们一起来完成下面的表格，巩固知识。
通过引导和提问，使学生积极的思维，自主观察研究解决问题，提高了思维的变通性，激发了学生的学习热情！
师：想一想，怎样把抛物线的位置特征(标准位置）和方程特征（标准方程）统一起来？以便我们记忆！
生：从开口方向来看可分为上下型和左右型；上下型x带平方，左右型y带平方；朝负方向带负号，朝正方向则不带！
师：很好！通过这样的统一归类，我们记忆起来就更加的容易了！
通过归类研究，培养了学生提炼知识的能力，养成了学生总结的习惯。
评述 这部分内容是本节课的重点，在教学的处理上也是难度比较大的，直白的给出使学生接受时比较困难，也不利于以后的记忆和应用，通过一系列的引导，使学生充分的参与进来，积极的思考，在高效的学习过程中，不知不觉中提高了学生思维的变通性，能够应对不断变化的问题，使知识的反馈面更加广泛，知识的综合运用性更加深化，达到了训练学生思维变通性的目的。同时，利用旧方法，通过迁移解决新问题，极大的提高了学生的能力，这正是高考考察的重点！
四、反思――训练思维的深刻性
知识点学习结束，不能看成是相应的数学活动终结，也不能意味着学生真正的掌握了知识，还要通过具体的问题对知识加以深化和巩固。
师：下面我们通过具体例子深化对抛物线方程及相关量的认识并巩固之。
例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
师：若已知抛物线的标准方程，求其焦点坐标和准线方程；或是已知焦点坐标和准线方程，求其抛物线的标准方程，应该注意什么呢？（训练思维的深刻性）
生：“先定位，后定量”。
师：很好！我们先研究形的特点，然后再结合所学知识，解决相应的问题，这样一来，思路就能够十分流畅，而且还增强了严谨性。下面再通过一个例子来感受“先定位，后定量”。
例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
分析：由点在第二象限，结合图形知抛物线开口有朝上和朝左两种情形。
解:(1)设抛物线的标准方程为
师：下面我们来看两道高考题，希望同学们以最快的速度给出结果！（训练思维的敏捷性）
练习:(2003• 天津卷) 抛物线的准线方程是y=2 则a的值为
（A） （B） （C）8 （D）-8
思考:(2000 • 全国卷)过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q则 等于
（A） 2a （B） （C） 4a（D）
生：练习中先将方程化为标准式，可知选B。
生：思考中同样先将方程化为标准式，再由直线的任意性，可取垂直于对称轴的直线加以计算，可知选 C。
师：非常好！说明我们对知识有了一个系统的掌握，希望在课后再加强练习以巩固本节课所学的知识点。
评述 通过反思，可以认识到训练思维品质的重要性，要使学生的思维具有严谨性、深刻性、灵活性、发散性、敏捷性，教师必须把课堂作为训练学生思维的主要阵地，让课堂焕发出思维的活力！
结束语 思维参与是深层次的认知参与，是学生参与的核心与主线，通过案例我们可以看出通过思维活动，学生在现有的知识结构与经验的基础上不断理解、内化、重构新知识。只有有效地激活学生的思维，训练学生的思维，思维才会变得更加灵活，思维的灵活性必然带动学生认知参与的灵活性，是学生的参与达到一个真正的理性认识层面，变被动接受为主动索取。
关键词：探究学习；小组合作；问题意识
探究学习可以增加学生对数学的理性认识，加深对数学问题的理性思考，有助于培养数学思维意识. 本文从分析“抛物线及其标准方程”一节教学实录出发，充分体现学生数学思维的培养，体现学生在当今课堂中的主体地位.
1.创设情境，导入新课
活动一：
师：在初中我们学习过二次函数的图象就是抛物线.请同学们思考一下，生活当中，有没有抛物线的的影子呢？请大家举例.（学生思考片刻后，回答踊跃）
生1：拱桥、彩虹.
生2：投篮所形成的弧线.
师：很好，大家举的例子都符合.
（课件展示图片（大桥、彩虹、喷泉、投篮）和Flas：投篮运动，并配以优美的音乐）.
师：这节课我们将从曲线和方程的角度来学习抛物线.（引出本节课题：抛物线及其标准方程）.
【设计意图】通过创设情境，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活.
2.问题引导，共探新知
活动二：
师：课前让大家思考了教材64页“信息技术应用”中提出的问题.（用ppt展示）
已知：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂
直平分线交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
师：请同学们仔细观察！（利用几何画板演示画图过程）
（学生观察画图过程，积极思考并讨论）
师：谁来谈谈自己的看法？
生4：点M随着H的运动，始终有|MH|=|MF|.也就是点M与定点F和定直线的距离相等.
生5：点M的轨迹是抛物线.
师：很好，你们观察得很仔细，值得称赞.（学生鼓掌）请同学们尝试一下，给抛物线下个定义.
生5：到点 F 的距离和到直线L 的距离相等的点的轨迹叫做物线.
师：这样归纳完整吗？
生6：平面内到一个定点F 和到一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做物线.
生7：还要注意定点不能在定直线上.
师：为什么啊？
生8：如果这样，就只能找到一个点.
师：我们继续来思考：若定点F恰好在定直线上，轨迹会是什么图形？（学生积极思考，相互讨论）
生8：当定点F在定直线上时，满足条件的点的轨迹是一条直线.
生9：且是过点F垂直于直线的一条直线.
师：大家觉得这两名同学的想法可以统一吗？（大家七嘴八舌，观点基本一致）
师：说得很好！这里F 叫做物线的焦点，定直线L 叫做物线的准线.（教师板书：抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.）
【设计意图】首先利用几何画板动画演示抛物线的生成过程，可以起到化解难点作用.其次经历了一次让学生自行归纳、完善定义的过程，使他们对抛物线的定义有更准确的把握，印象更为深刻，同时也锻炼了学生类比、归纳总结的能力.
活动三：
师：了解了抛物线的定义，接下来我们最想知道的就是抛物线的方程了，那么如何求抛物线的方程呢？
师：请同学们回想一下，之前我们学过的求曲线方程的基本步骤是怎样的？
生8：建系；设点；列式；化简；证明.
师：很好.类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，我们该如何建系呢？（小组讨论，集中探索）
（教师巡视，一段时间后用实物投影展示学生作品）
方案（一） 方案（二） 方案（三）
师：大部分小组都是上面三种建系方案中的一种.猜想一下，哪个好呢？
生9：方案二比较简单.
生10：方案一比较简单，它是以定直线为y轴，定点F在x轴上设计的，结果应该比较简单.
生11：方案三以抛物线的顶点为原点，定点F在x轴上，具有一定的对称性，结果应该更好一些.
师：看来大家的意见不是很统一啊！那就让我们亲自验证一下吧！请同学们按照求曲线方程的步骤得出三种方案的抛物线方程.（提示：不妨设焦点F到准线的距离为p（p>0）.）
（一段时间后，找小组代表上黑板展示过程，师生共同点评）
方案一 方案二 方案三
师：同学们，哪种简单啊？
生众：方案三.
【设计意图】这一环节，通过有启发性的活动，使学生在分析探究中，不断获得解决问题的方法，有效解决教学重难点.
师：我们把方案三得到的方程叫抛物线的标准方程.注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x 轴对称.（教师板书：抛物线的标准方程）
3.新知应用，巩固提高
例1：求下列抛物线的焦点坐标、准线方程：
（1）， （2）
【设计意图】熟悉焦点、准线与标准方程的关系.强调解决抛物线问题时要先转化为标准方程.
例2：请同学们参照上面的例题，自编一道题目.
【设计意图】培养学生创新、发散思维.
l结语
为了充分调动学生的积极性，本节采用“引导探究”式的教学模式，贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过教师的适时引导，生生、师生间的交流互动，启迪学生思维；让学生构建自己的知识体系，体验合作学习的快乐.
参考文献
1 人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准试验教科书数学选修1-1.北京：人民教育出版社，2007，2.
关键词：动手操作；理解记忆；灵活应用
圆锥曲线中，椭圆和双曲线的概念都可以通过动手操作完成，并且操作简单方便，而抛物线的给出却不容易，这也是导致教师忽略的原因之一。正是动手操作的缺失，使得学生在遇到运用抛物线定义解题时，不能灵活。
比如下列一组题目：
1.动圆过点（1，0），且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________________。
2.若点P到直线y=-1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P的轨迹方程为________________。
3.设点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则++=（ ）。
A.9 B.6 C.4 D.3
4.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出点P的坐标。
这些全都是利用抛物线定义来解的题目，有些学生不会，或者感觉很陌生，主要是对定义的由来没有深刻印象，因为缺少动手操作，缺少亲身经历。人教B版中抛物线定义的给出方式很好，但在实际课堂中常常因为各种原因，没有让学生实际操作，造成学生对抛物线的定义只是死记硬背，不会灵活应用。
针对这种现实情况，结合自身的教学实践，我摸索出了抛物线的定义教学的几点做法：
一、画抛物线
让学生亲自画抛物线，体会定义由来的方法，介绍如下：
1.工具
画抛物线的图象，需要借助铅笔，带刻度的直尺，圆规。
2.原理
到定直线距离相等的点在一条和定直线平行的直线上，然后从该直线上通过圆规画弧，找到该直线上到定直线和定点距离相等的两个点，最后用光滑的曲线将所找到的点连起来，便画出了一条抛物线。
3.具体做法
（1）为了便于找点，先令定点F到定直线l的距离为2，作直线l1与l的距离为1，以F为圆心，1为半径画弧，与l1交于一点P1；然后作直线l2与l的距离为2，以F为圆心，2为半径画弧，与l2交于两点P2，P3；再作直线l3与l的距离为3，以F为圆心，3为半径画弧，与l3交于两点P4，P5；以此类推，作直线l4，l5与l的距离为4，5，以F为圆心，4，5为半径画弧，与l4，l5交于点P6，P7，P8，P9等等，然后用光滑曲线联系起来。
（2）改变定点F到定直线l的距离为4，再画一遍。
（3）改变定点F到定直线l的距离为ρ，该如何处理？
画出图象，再去分析抛物线上的点满足的几何条件，给出抛物线的定义，学生易于接受，效果比较好。
二、抛物线标准方程的推导
在抛物线标准方程的推导中，我采取了放给学生，让学生自己推导的方法。
在教学中，学生给出了三种建系的方法，分别是以K，F及K，F的中点为坐标原点来建系，我把学生分成三组，分别去尝试推导，然后去比较三种方程形式的特点，最后确定以K，F的中点为坐标原点来建系比较方便和简洁。
1.以K为坐标原点建系，则F（p，0），l∶x=0，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=0的距离d=x，MF=，由抛物线定义可知x=化简得：y2=p2-2px。
2.以F为坐标原点建系，则F（0，0），l∶x=-p，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-p的距离d=x+p，MF=，由抛物线定义可知x+p=，化简得：y2=p2+2px。
3.以K、F的中点为坐标原点建系，则F（，0），l∶x=-，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-的距离d=x+，MF=，由抛物线定义可知x+=化简得：y2=2px。
通过三种不同建系方法下的方程的比较，让学生明确建系方法不唯一，只是每种建系方法对应于不同的抛物线的方程，根据数学中的简洁原则，我们选择了以K，F的中点为坐标原点建立直角坐标系；并且在推导过程中，学生了解了焦点坐标和准线方程都与有关系，而p的含义是焦点到准线的距离；另外也知道了方程中一次项的系数为什么是2p，有助于大家记忆抛物线的标准方程。
三、关于抛物线定义的应用
在应用抛物线定义时，遇到抛物线上的点到焦点的距离，要把它化为到准线的距离，究其原因是我们研究的抛物线的准线都是与坐标轴平行的直线，点到准线的距离比点到焦点的距离好表示，运算起来更加简便。但是不转化也可以解决问题，比如求抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离。
解法一：抛物线的准线方程为x=-1，抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离即到准线的距离d=3-（-1）=4。
解法二：抛物线焦点F（1，0），将点P（3，y0）带入抛物线y2=4x中的，y02=12，y0=±2，设P（3，2）则，PF==1即点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离为4。
本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为 ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有 │AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则 │MA│m in = 证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M是抛物线上的动点,则 y (│MA│+│MF│)min =a+p/2. Q M A(a,b) 证明:如图1所示,作AQ准线L:x=-p/2于Q,则知 O F x (│MA│+│MF│)min =│AQ│ = a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1) 于是利用(1)式由两切线方程 y AM: y1y=p(x+x1), A BM: y2y=p(x+x2), M F x 易得M的坐标(x,y)适合 : B kMF·kAF=-1, MFAB,即│MF│是MAB的AB边上的高. 图2 │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), SMAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2, 因其中等号当且仅当ABx轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2. y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OAOB得 A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) O x 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2…………(2) 于是 B (SOAB)2 =1/4·│OA│2·│OB│2 图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22) =1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2) =1/4·[(x1x2)2+2px1x2 (x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3) 将(2)式代入(3)则得 (SOAB)2≥16p4,从而SOAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。证毕. 定理7.抛物线 y2=2px的内接等腰直角三角形的面积的最小值为4p2. 证明:设RtABC内接于抛物线 y2=2px,点C为直角顶点,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线的对称性以及其开口方向,不妨设 y1＞0,y2＜y3≤0,并记直线CA的斜率为k,则由 y3-y1=k(x3-x1)=k(y32/2p －y12/2p) 及 y y3-y2=-1/k·(x3-x2)=-1/k·(y32/2p－y22/2p) A 可得 y1 =2p/k－y3 及 y2=-2pk-y3………………(1) O x 又由 │AC│=│BC│有 C B (x1-x3)2+(y1-y3)2=(x3-x2)2+(y3-y2)2 …………(2) 图4 将x1=
y12/2p,x2=y22/2p,x3=y32/2p及(1)代入(2)可得 y3= …………………………(3) 从而据(1)、(3)可得 y1-y3= ………………………………………………………(4) 于是ABC的面积 S=1/2·│AC│2 =1/2·[(x1-x3)2+(y1-y3)2]= · ·(y1-y3)2 = 2p2 · ·( )2 =2p2· · ≥2p2· · =4p2. 因当k=1且y3=0时上式等号成立,故等腰RtABC面积的最小值为4p2.证毕. 定理8.设AB是抛物线的焦点弦, 准线与抛物线对称轴的交点为M, 则∠AMB的最大值 为π/2. 证明:如图5所示, 设A1、B1分别是A、B在准线L上的 y 射影, F是焦点, 连A1F和B1F, 则知 A A (1)当ABMF时, 显然有∠AMB＝π/2; M F X (2)当AB与MF不垂直时, 由│AA1│＞│A1M│知 B1 B ∠AMA1＞∠A1AM＝π/2－∠AMA1, 图5 ∠AMA1＞π/4; 同理 ∠BMB1＞π/4, 故有∠AMB＜π/2. 综合(1)、(2), 定理8获证. 定理9.设AB是抛物线 y＝a x2 (a＞0) 的长为定长m的动弦, 则 Ⅰ.当m≥1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为（2ma-1)/4a ; Ⅱ.当m＜1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为 am2/4. 证明:设M(x0,y0), 将直线AB的参数方程 y (其中t为参数,倾斜角α≠π/2) A 代入y＝ax2 并整理得 M a(cosα)2·t2+(2ax0cosα-sinα)·t+(ax02-y0)＝0, B 故由韦达定理和参数 t的几何意义以及│AB│＝m 立得 0 X t1+t2＝－(2ax0cosα-sinα)/a(cosα)2 ＝0………① 图6 t1t2＝(ax02-y0)/a(cosα)2 ＝－(m/2)2 ……………② 由①解出x0并代入②整理得 y0＝ (secα)2＋ (cosα)2－ ……③ 对③右边前两项利用基本不等式则得 y0≥2· － ＝（2ma-1)/4a. 于是,令 (secα)2 ＝ (cosα)2, 得(cosα)2＝ . 因此, 当am≥1时,(y0)min＝（2ma-1)/4a ; 当0＜am＜1时, 记(cosα)2＝x , 则③式化为关于x 的函数式 y0＝f(x)＝ · ＋ ·x－ (0＜x≤1). 易证此函数是减函数, 故此时 (y0)min＝f(1)＝ .证毕. 定理10. 设AB是抛物线 y2＝2px的焦点弦, O为坐标原点, 则三角形OAB的面积的最小值为 p2/2 . y 证明:(1)当ABx轴时, 显然有 SΔAOB＝p2/2 ; A (2)当AB不垂直x轴时, 设AB: y＝k(x-p/2), 代 O F x 入 y2＝2px并整理得 k2x2-(pk2+2p)x+k2p2/4=0. 于是 B 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦长公式和韦达定理得: 图7 │AB│＝ (1+k2 )[(x1+x2)2- 4x1x2] ＝ ＝ . 又顶点O到弦AB的距离 d＝ . 故此时 SΔAOB＝ │AB│·d＝ · · ＝ · ＞ . 综合(1)、(2), 定理10获证 .
2014年四川省高考理科第20题是这样一道题：已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（。っ鳎OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；
（）当■最小时，求点T的坐标.
笔者在对该题中的第（2）小题进行探讨时，发现该结论可以推广到更一般的情形.
2.问题的推广与证明
由于第（2）小题结论（。┒杂谕衷怖此凳且桓鲆话阈越崧郏笔者认为，该结论对于双曲线也应该成立，当附加一定的条件时，结论（）对于椭圆（或双曲线）应该有一般表达式.
笔者通过深入探究，发现如下一般性结论：
推广一：如图1椭圆C：■+■=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，则有：
（1）OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；
（2）当c>b时，■有最小值■，这时T点坐标为（-■，-■或（-■，■）；
（3）当T是非x轴上的点时，K■K■=-■；
（4）若P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q||OT.
证明：不妨设F（-c，0）为椭圆的左焦点.椭圆左准线：x=-■.
设T（-■，m），则K■=-■，当m=0时，T为椭圆左准线与x轴的交点，这时PQ为椭圆的通径，OT平分PQ.当m≠0时，因为TFPQ，由K■K■=-1得K■=■（1）
所以直线PQ的方程为y=■（x+c），设P（x■，y■），Q（x■，y■），
联立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0
因为=4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0
所以x■+x■=-■（2）
x■x■=■（3）
由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■
得PQ的中点G（-■，■）
计算K■=-■，K■=-■得K■=K■.
由此知O，G，T三点共线，即直线OT过线段PQ的中点G，所以OT平分线段PQ.
计算|TF|=■=■（4）
|PQ|=■■
（5）
把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）
由（4）式，（6）式计算得比值
■=■=■■=■=■
=■■
=■■
≥■■=■.
当c>b时，解出m=±■■，此时■有最小值■，T为（-■，■■）或（-■，-■■）.
根据结论第（1），（2）题证明已计算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.
点P（x■，y■）关于坐标原点O的对称点为P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直线P′Q与直线OT的斜率相等，所以P′Q||OT.
推广二：如图2，双曲线C：■-■=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且点T的纵坐标m≠±■，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，则有：
（1）直线OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；
（2）■=■
=■■；
（3）当T是非x轴上的点时，K■K■=■；
（4）若P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q||OT.
以上结论的证明与椭圆情形类似，这里不再赘述.
继续探索.我们把椭圆更换为抛物线，这时结论将如何呢？请看下面的例子：
如图，抛物线y■=4x的焦点为F，动点T（-1，m），过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.
（1）证明：线段NT平行于x轴（或在x轴上）；
（2）若m>0且|NF|=|TF|，求m的值及点N的坐标.
解（1）由抛物线的标准方程y■=2px及焦点F（■，0），准线方程x=-■知，此抛物线的焦点F（1，0），准线方程x=-1，动点T（-1，m）在准线上，由斜率公式得K■=-■.
当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，易知线段NT在x轴上.
当m≠0时，因为TFPQ，所以K■K■=-1，解得K■=■，于是直线PQ的方程为y=■（x-1）代入y■=4x化简整理得x■-（2m■）x1=0，=（2+m■）■-4=m■（4-m■）>0.设P（x■，y■），Q（x■，y■），由韦达定理可知x■+x■=2+m■，y■+y■=■（x■+x■-2）=2m，得弦PQ的中点N（■，2），结合T（-1，m），由斜率公式计算得K■=0，所以NT平行于x轴.
综上可知，线段NT平行x轴（或在x轴上）.
（2）已知ONFO=OTFO，在TFN中，tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°，得TFA是等腰直角三角形（A是准线与轴的交点），所以OTAO=OAFO=2，动点T（-1，m），得m=2.
因为∠NTF=45°，所以K■=tan45°=1，又F（1，0），可得直线PQ的方程为y=x-1，由m=2得T（-1，2），由（1）知线段NT平行于x轴，设N（x■，y■），则y■=2代入y=x-1得x■=3，所以N（3，2）.
一、圆锥曲线的几种统一定义及方程
1.它们都是平面内到一个定点的距离和到一个定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线.
教材中为了能得到椭圆、双曲线的标准方程，选的点和直线方程与抛物线选的不同，表面上看好象此定义不是完全统一的，其实这个点都是它们的焦点，直线都是它们的准线，比值就是离心率 .
例1：平面内点M到点F（0，0）的距离和它到直线l∶x=-p（p>0）的距离之比是一个常数e，求点M的轨迹.
解：过点M作MHl，H为垂足，设M（x，y）则MF=eMH.
即=e|x+p|两边平方，化简得（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.
当0
当e>1时，（*）式整理得（e2-1）（x-）2-y2=>0，M轨迹是双曲线.
当e=1时，（*）式整理得y2=2px+P 2，点M的轨迹是抛物线.
评注：此种定义的缺陷：不能表示圆的方程.（*）式为统一方程.
2. 一动点与两个定点连线的斜率之积或差为实数的点的轨迹是圆锥曲线.
例2：设A（a，0）B（-a，0）（a≠0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是实数P（P≠0），求点M的轨迹.
解：设M（x，y）则kAM ・kBM =P即=P（x≠±a），
整理得y2-Px2+Pa2=0-=1（*）（x≠±a）.
当p=>0时（*）式+=1（x≠±a）为双曲线方程，
当p=
当p=-1时（*）式x2+y2= a2（x≠±a）为圆的方程.
变式：若直线AM，BM的斜率之差是实数p（p≠0），求点M的轨迹.
解：-=p，整理得y=（x2-a2），点M的轨迹是抛物线.
评注：这种定义源于教材中的例题.动点的轨迹是圆锥曲线，主要是因为它的轨迹方程是关于x，y的二元二次方程.此定义能得到圆、椭圆、双曲线的标准方程.由例题可知，两个定点是椭圆、双曲线的顶点.
如果两定点只是椭圆或双曲线上的两个关于原点对称的点，kAM kBM =P，点M的轨迹是什麽呢？
变式：已知椭圆+=1（a>b>0），A、B为在椭圆上关于原点对称的两点，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是实数p=-（p≠0），求点M的轨迹.
解：设A（m，n）、B（-m，-n），M（x0，y0）.
A在椭圆上，+=1，变形得n2 = b2 (1- )，
kAM・kBM= ==-，+=1，
点M的轨迹是方程为++=1（x0≠±m）的椭圆.
思考：双曲线有这个结论吗？有，同理可证.
3. 圆O半径为定长r，A是平面内一定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交与点Q，当P在圆上运动时，点Q的轨迹是什麽？
解：QP=QA，
① 若点A在圆内（QA
则OP=OQ+QP=OQ+QA=r>OA，
Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆.
② 若点A在圆上（QA=r），
则点Q与点O重合，Q与点O重合，Q的轨迹就是O点.
③若点A在圆外（QA>r），则OP=QP-OQ= QA-OQ =r
Q的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线.
评注：这种定义源于教材中的书后习题，适当建系后可得到曲线方程，但不够完整，无法表示抛物线.
二、圆锥曲线的统一性质
性质1：圆锥曲线（不包括圆）上过焦点的弦中，通径最短.
证明：设曲线上过焦点的弦AB，由例1可知焦点F（0，0）且A、B满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.
设弦AB直线方程若斜率不存在，则x=0 ，此时AB=2ep（通径），
若斜率存在， 弦AB直线方程y=kx，
y=kx
（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0
（1-e2+k2）x2-2e2px-e2p2=0（*），
Δ=4e2p2（1+k2），
AB==2ep|1+|>2ep，
AB的最小值是2ep.
性质2：圆锥曲线（不包括圆）中，过焦点的弦长与焦点弦的中点到相应准线的距离之比为常数.
证明：由性质1可知，过焦点F（0，0）的弦AB=且AB中点的横坐标为，由例1可知曲线的一条准线l∶x=p，设AB中点的横坐标到准线的距离为d=|+p|==即=2e.
特别当e=1时，即轨迹为抛物线，以焦点弦为直径的圆与准线相切.
性质3：过曲线某点处的切线，结论相似.
①过抛物线y2 =2px（p>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为yy0=p（x+x0）；
②过椭圆+=1（a>0，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为+=1；
③过双曲线-=1（a，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为-=1；
结论②、③与圆的切线结论相似，同样有：
④过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）作其切线，切线方程为 xx0+yy0=r2.
证明方法一致，直线与曲线连立Δ=0.上述四个结论，如出一辙，曲线方程与切线方程的关联之处，不言而喻.
性质4：以焦半径为直径的圆与以长（实）轴为直径的圆相切.
证明：设曲线（椭圆、双曲线）上一点P（x，y）由例1可知焦点F（0，0），且P满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*），则PF===e|x+p|，
PF的中点坐标M（，） ，
以长（实）轴为直径的圆C的方程为（x-）2+y2=，则CM=
==|x-|=|x+p-|，由x的范围可知=|e|x+p±|||=|=PF±Rc|，
以PF为直径的圆与圆C相切.
补充：当P在方程y2=2px（p>0）的抛物线上，则以PF为直径的圆与y轴相切.
证明：设P（x0，y0），则PF=x0+，PF的中点坐标M（，） ，
摘要：本文从一个习题入手，将该习题的结论进行横向及纵向推广，得到一系列简捷而优美的结论. 这些结论均是关于抛物线与直线交点横坐标的乘积、交点纵坐标的乘积的定值问题及直线垂直的判别方法，并且所得的结论在实际试题获得了成功的应用. 该文章也很好地体现了学习数学的方法和技巧.
关键词：抛物线；横坐标乘积；纵坐标乘积；直线垂直
教材是我们获得系统的数学知识的主要来源，它在教学中起着不可替代的作用． 笔者认为在教学中，指导学生阅读自学、动手实践、自主探索、合作交流，对教材中的典型问题进行加工改造、组合嫁接、引申推广，会起到事半功倍的效果. 这样做能够充分调动同学们的积极性与创造性，发挥学生的主体作用，引导学生进行探究性学习. 这样做，对于培养学生思维的灵活性与变通性，提高学生的思维品质，培养学生的创新意识和实践能力都有好处.
题目 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2=－p2．
这是苏教版高中数学新教材选修2-3第47页的第9题，是一道很简单，内容却十分丰富的好题． 近几年全国各地有不少高考试题，都直接源于这道题，可见这道题备受青睐，具有典型性、代表性，是一道值得我们探究的课本习题． 因而我们在教学中不能只就题论题，浅尝辄止，而要引导学生对题目深入探讨，引申推广，发展学生的思维能力．
探索1 由纵坐标很自然地想到横坐标，设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为x1，x2，x1x2的值是否也是常数？
定理1 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1x2的值也是常数．
由y=2px1，y=2px2，得x1=，x2=，x1x2==是常数．
探索2 如果直线不过抛物线的焦点，x1x2，y1y2还是常数吗？
结论如果直线l过定点P（m，0）（m0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，y1y2都是常数．
证明（1）若直线AB与x轴垂直，易得x1x2=m2，y1y2=－2pm，均为常数；
（2）若直线AB与x轴不垂直，设其方程为y=k（x－m），代入y2=2px，得k2x2-2（mk2 +p）x+m2k2=0，所以x1x2=m2，所以y12y22=2px1・2px2=4p2m2，所以y1y2=－2pm（取负值），均为常数． 由（1）（2）知x1x2，y1y2都是常数．
探索3如果m＜0呢？此时y1y2应为正值，直线和抛物线不一定有交点，也可能只有一个交点． 那我们就看看有两个交点的情况吧． 这时直线的斜率一定存在，和刚才的计算一样，得x1x2=m2，
所以yy=2px1・2px2=4p2m2，
所以y1y2=－2pm（取正值）．
我们可以把探索2与探索3的结论综合起来.
定理2 如果直线l过定点P（m，0）（m≠0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1x2=m2，y1y2=－2pm均为常数．
探索4x1x2，y1y2均为常数，由坐标运算联想到向量的数量积运算．
定理3 如果直线l过定点P（m，0）（m ≠0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则・为定值m（m－2p）．
例1 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点． 点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴． 证明直线AC经过原点O．
[A][x][y][O][F][B][C]
图1
解析设A（x1，y1），B（x2，y2），则由原题得，y1y2=－p2． 由BC∥x轴且点C在抛物线的准线上，所以C
－，y2，直线CO的斜率为k===，也是直线OA的斜率． 所以直线AC经过原点O．
例2（2001天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线相交于A，B两点，则・等于（）
A． B． －C． 3D． －3
用我们刚才探求的结论，很容易算出・=x1x2+y1y2=－=－．
例3（2006上海）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么・＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
证明（1）由定理3，令m=3，则・＝m2－2pm=3． 所以命题“如果直线l过点T（3，0），那么・=3”是真命题．
（看来认真研究课本习题，对开拓解题思路，提高解题速度大有帮助）
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A，B两点,如果・=3，那么该直线过点T（3，0）. 该命题是假命题． 例如：取抛物线上的点A（2，2），B
，1，此时・=3，直线AB的方程为y=（x＋1），而T（3，0）不在直线AB上．
探索5由x1x2+y1y2为定值，我们想到两向量垂直的情况． 因为当x1x2+y1y2＝0时，，如果直线过抛物线的焦点，则x1x2+y1y2=－≠0，即直线OA，OB不可能垂直． 我们来探求的情形．
设直线l过点P（m，0）（m≠0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由x1x2=m2，y1y2=－2pm，得x1x2+y1y2＝m2－2pm＝m（m－2p），若要OAOB，则m（m－2p）＝0，m≠0，所以m=2p．
定理4O为坐标原点，如果直线l过定点（2p，0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A，B，那么OAOB．
探索6逆命题成立吗？
因为OAOB时，直线AB和x轴一定相交，设交点坐标为（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由x1x2+y1y2＝m2－2pm＝m（m－2p）＝0，得m=2p，即直线AB 恒过定点（2p，0）．
定理5O为坐标原点，过O作两条互相垂直的射线OA，OB，和抛物线y2=2px （p>0）相交于两点A，B，则直线AB恒过定点（2p，0）．
例4（2000北京、安徽春季高考）如图2，设点A和B为抛物线y2=4x上原点O以外的两个动点，已知OAOB，DMAB，求点M的轨迹方程并说明它表示什么曲线．
[A][M][x][y][O][B]
图2
解析由定理2的推论知直线AB恒过定点Q（4，0），因而点M的轨迹是以OQ为直径的圆（除去原点），其方程为（x－2）2+y2=4（x≠0）．
用我们的探索成果解题，简捷、明了．
探索7考虑移动直角顶点O的位置．设P为抛物线y2=2px（p>0）上异于原点O的定点，过P作两条互相垂直的射线PA，PB，和抛物线相交于两点A、B，探求直线AB是否还恒过定点．
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如图3，设P（x0，y0）为直角顶点，A（x1， y1），B（x2，y1），则x1=，x2=，AB的方程为y－y1=（x－x1）=・x-
，整理得，2px－（y1+y1）y＋y1y2=0（*）.
[A][B][P][x][y][O]
图3
所以APBP，
所以kAPkBP=
=
== －1．
所以y1y2=－4p2－y0（y1+y2）－y，代入（*）式，得AB的方程为：2px－（y1+y2）y－4p2－y0（y1+y2）－2px0=0，即2p（x－x0－2p）－（y1+y2）（y+y0）=0，所以直线AB恒过定点（x0+2p，－y0）．
定理6 设P（x0，y0）为抛物线y2=2px （p>0）上异于原点O的定点，过P作两条互相垂直的射线PA，PB，和抛物线相交于两点A，B，则直线AB恒过定点（x0+2p，－y0）．
探索8习题引申
例5设直线l过点M（m，0）（m>0），且与抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y1）. 求：
（1）y1+y2的最小值；
（2）AB的最小值；
（3）SOAB的最小值．
解析（1）因为y1y2=－2pm0，则y1+y2=y1-y2=y1+（－y2）≥2・=． 所以当AB与x轴垂直时，y1+y2的最小值为．
[A][O][y][x][M][B]
图4
（2）设直线AB的斜率为k，则AB=y1-y2=（y1+y2），
当k+∞时，ABmin=（y1+y2）min=．
（3）SOAB=my1+my2=m・（y1+y2）≥m=m，故由（1）知SOAB的最小值为m．
例6（2006四川）直线l过定点（3，0），且与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，求梯形APQB的面积的最小值．
[A][O][x][y][P][Q][B]
图5
解析设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2= m2=9，y1y2=－2pm=－12，AP+BQ=x1+x2+p≥2・+2=8.①
不妨设y1>0，则PQ=
y
－y＝y1+y2≥2=4，②
当AB与x轴垂直时，①②两式同时取等号，因此梯形APQB的面积的最小值为=16．