关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为 ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有 │AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则 │MA│m in = 证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M是抛物线上的动点,则 y (│MA│+│MF│)min =a+p/2. Q M A(a,b) 证明:如图1所示,作AQ准线L:x=-p/2于Q,则知 O F x (│MA│+│MF│)min =│AQ│ = a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1) 于是利用(1)式由两切线方程 y AM: y1y=p(x+x1), A BM: y2y=p(x+x2), M F x 易得M的坐标(x,y)适合 : B kMF·kAF=-1, MFAB,即│MF│是MAB的AB边上的高. 图2 │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), SMAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2, 因其中等号当且仅当ABx轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2. y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OAOB得 A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) O x 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2…………(2) 于是 B (SOAB)2 =1/4·│OA│2·│OB│2   图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22) =1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2) =1/4·[(x1x2)2+2px1x2 (x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3) 将(2)式代入(3)则得 (SOAB)2≥16p4,从而SOAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。证毕. 定理7.抛物线 y2=2px的内接等腰直角三角形的面积的最小值为4p2. 证明:设RtABC内接于抛物线 y2=2px,点C为直角顶点,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线的对称性以及其开口方向,不妨设 y1＞0,y2＜y3≤0,并记直线CA的斜率为k,则由 y3-y1=k(x3-x1)=k(y32/2p －y12/2p) 及 y y3-y2=-1/k·(x3-x2)=-1/k·(y32/2p－y22/2p) A 可得 y1 =2p/k－y3 及 y2=-2pk-y3………………(1) O x 又由 │AC│=│BC│有 C B (x1-x3)2+(y1-y3)2=(x3-x2)2+(y3-y2)2 …………(2) 图4 将x1=

y12/2p,x2=y22/2p,x3=y32/2p及(1)代入(2)可得 y3= …………………………(3) 从而据(1)、(3)可得 y1-y3= ………………………………………………………(4) 于是ABC的面积 S=1/2·│AC│2 =1/2·[(x1-x3)2+(y1-y3)2]= · ·(y1-y3)2 = 2p2 · ·( )2 =2p2· · ≥2p2· · =4p2. 因当k=1且y3=0时上式等号成立,故等腰RtABC面积的最小值为4p2.证毕. 定理8.设AB是抛物线的焦点弦, 准线与抛物线对称轴的交点为M, 则∠AMB的最大值 为π/2. 证明:如图5所示, 设A1、B1分别是A、B在准线L上的 y 射影, F是焦点, 连A1F和B1F, 则知 A A (1)当ABMF时, 显然有∠AMB＝π/2; M F X (2)当AB与MF不垂直时, 由│AA1│＞│A1M│知 B1 B ∠AMA1＞∠A1AM＝π/2－∠AMA1, 图5 ∠AMA1＞π/4; 同理 ∠BMB1＞π/4, 故有∠AMB＜π/2. 综合(1)、(2), 定理8获证. 定理9.设AB是抛物线 y＝a x2 (a＞0) 的长为定长m的动弦, 则 Ⅰ.当m≥1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为（2ma-1)/4a ; Ⅱ.当m＜1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为 am2/4. 证明:设M(x0,y0), 将直线AB的参数方程 y (其中t为参数,倾斜角α≠π/2) A 代入y＝ax2 并整理得 M a(cosα)2·t2+(2ax0cosα-sinα)·t+(ax02-y0)＝0, B 故由韦达定理和参数 t的几何意义以及│AB│＝m 立得 0 X t1+t2＝－(2ax0cosα-sinα)/a(cosα)2 ＝0………① 图6 t1t2＝(ax02-y0)/a(cosα)2 ＝－(m/2)2 ……………② 由①解出x0并代入②整理得 y0＝ (secα)2＋ (cosα)2－ ……③ 对③右边前两项利用基本不等式则得 y0≥2· － ＝（2ma-1)/4a. 于是,令 (secα)2 ＝ (cosα)2, 得(cosα)2＝ . 因此, 当am≥1时,(y0)min＝（2ma-1)/4a ; 当0＜am＜1时, 记(cosα)2＝x , 则③式化为关于x 的函数式 y0＝f(x)＝ · ＋ ·x－ (0＜x≤1). 易证此函数是减函数, 故此时 (y0)min＝f(1)＝ .证毕. 定理10. 设AB是抛物线 y2＝2px的焦点弦, O为坐标原点, 则三角形OAB的面积的最小值为 p2/2 . y 证明:(1)当ABx轴时, 显然有 SΔAOB＝p2/2 ; A (2)当AB不垂直x轴时, 设AB: y＝k(x-p/2), 代 O F x 入 y2＝2px并整理得 k2x2-(pk2+2p)x+k2p2/4=0. 于是 B 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦长公式和韦达定理得: 图7 │AB│＝ (1+k2 )[(x1+x2)2- 4x1x2] ＝ ＝ . 又顶点O到弦AB的距离 d＝ . 故此时 SΔAOB＝ │AB│·d＝ · · ＝ · ＞ . 综合(1)、(2), 定理10获证 .