抛物线焦半径的三角表示法及其应用

摘要：本文从四个开口方向的抛物线中焦半径的三角表示法的推导入手，进而得出抛物线四种开口方向的统一形式，最后利用焦半径推导出有关焦点弦长、焦点三角形面积及抛物线中定值问题的一系列应用。

关键词：抛物线　焦半径　三角表示法 应用

一、问题的提出

笔者在讲授抛物线的几何意义时，作了如下拓展：

[2009福建卷理]过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求Ｐ的值。

学生基本上都能得出正确答案，.学生甲的解题过程是：

解：由题意可知过焦点的直线方程为

y=x-■，联立得y2■=2pxy=x-■?圯x2■-3px+■=0，又AB=■■=8?圯p=2.

点评：上述解法显然是解决圆锥曲线弦长问题的通用解法：

设直线方程联立消元判断判别式借助弦长公式进行计算。

学生乙给出如下解法：

y2■=2pxy=x-■?圯x■-3px+■=0

设Ａ（x1,y1），Ｂ（x2,y2），则AB=p+x1+x2=p+3p=8，故p=2.

点评：此解法是利用抛物线的定义，把弦长转化为两条共线的焦半径之和，避开使用弦长公式，是个不错的解法。正当笔者准备讲述下一个题目时，学生丙很兴奋地举起手，我示意她起身回答。学生丙平时涉猎较广，给出了如下的解答过程：

解：抛物线焦点弦长AB＝■=4p=8，故p=2.

笔者表扬了学生丙解法的简捷明了，省去了联立消元等一系列的复杂计算。但其他同学仍心存疑问，因为多数同学有此疑问：抛物线弦长为什么可以这样表示？

二、结论的推导

笔者因势利导，首先引导学生推导出抛物线焦半径的三角表示法：

给出题目：直线l倾斜角为a，过抛物线C:y2＝２px（p＞０）的焦点Ｆ，且与抛物线交于A、B两点，试用表示焦半径。

解：如图1，分别过点A，B作AD、BE，BE垂直于准线于点D，点E。过点F作ＦＧＡＤ于G，根据抛物线定义，AＦ＝AＤ＝p+AＦ·cosα

故AＦ＝■.同理可得ＢＦ＝■.（1）

因为所画的图中直线l的倾斜角为锐角，于是笔者将直线l的倾斜角改为钝角，追问：上述结论（1）是否仍成立？

答案是肯定的.推导过程如下：

如图2，辅助线作法如上解法。

■

AＦ=AD=P-AＦ·cos(?仔-a）=P+AＦ·cosα

故AＦ=■.同理可得ＢＦ＝■.（2）

笔者给出变式：若抛物线C的开口方向改为向上，

即：x2=2py(p>0),上述结论（2）是否成立？

上述结论不成立。应改为：AＦ＝■.

同理可得ＢＦ＝■.（3）

(推导过程此处省略)

如果将直线l的倾斜角改为钝角，上述结论是否成立？

上述结论（3）不成立。应改为：AＦ＝■.同理可得BＦ＝■.

我们将四种开口方向的焦半径列表：“表1”（开口向左和开口向下的情况略去）

通过对以上表格的比较，可以得出关于抛物线焦半径的三角表示法的统一形式：

设r长为较长的焦半径，r短为较短的焦半径，

（1）抛物线开口若向左（或向右），不论直线倾斜角为何值，总有：

r长=■，r短=■·

（2）抛物线开口若向上（或向下），不论直线倾斜角a为何值，总有：

r长=■，r短=■

因sinα≥０故,故r长=■，r短=■

对以上结论，作如下解释：

若开口向左（或向右），三角函数为余弦，较长焦半径分母比较小，较短焦半径分母比1大；若开口向上（若向下），三角函数为正弦，较长焦半径分母比较小，较短焦半径分母比1大。

这样，抛物线的四种开口方向的焦半径的三角表示法就可以很容易记住。

三、结论的应用

以y2=2px(p>0)为例，可以运用上述结论作如下应用：

（1） 求抛物线的焦点弦长

解：如图3，

■

AＢ=AＦ＋ＢＦ＝■+■=■

此结论正是文章开头同学丙解法的理论依据。

开口向上结论为：

AＢ=AＦ＋ＢＦ=■.

（2）■＋■＝■（调和平均模型）

解：

■＋■＝■+■=■（与a无关）.

（3）ABO的面积为■

解： ＳVＡＢＯ＝ＳVＡFＯ＋ＳVＢＦＯ＝■·■·■·sina+■·■·■·sina=■.开口向上结论为： ABO的面积为■.

（责编　张宇）