通知函格式范文

通知函格式篇1

1.命令 1.命令适用于依照有关法律公布行政法规和规章；宣布施行重大强制性行政措施；嘉奖 有关单位及人员。决定适用于对重要事项或者重大行动作出安排，奖惩有关单位 及人员，变更或者撤销下级机关不适当的决定事项。

2.公告 2.公告适用于向国内外宣布重要事项或者法定事项。

3.通告 3.通告适用于公布社会各有关方面应当遵守或者周知的事项。

4.通知 4.通知适用于批转下级机关的公文，转发上级机关和不相隶属机关的公文，传达要 求下级机关办理和需要有关单位周知或者执行的事项，任免人员。

5.通报 5.通报适用于表彰先进，批评错误，传达重要精神或者情况。议案适用于各级人民 政府按照法律程序向同级人民代表大会或人民代表大会常务委员会提请审议事 项。

6.报告 6.报告适用于向上级机关汇报工作，反映情况，答复上级机关的询问。

7.请示 7.请示适用于向上级机关请求指示、批准。

8.批复 8.批复适用于答复下级机关的请示事项。意见适用于对重要问题提出见解和处理办法。

9.函 9.函适用于不相隶属机关之间商洽工作， 询问和答复问题， 请求批准和答复审批事项。 会议纪要适用于记载、传达会议情况和议定事项。 就县、乡两级信用社而言，公文种类通常用得最多的主要是：通知、请示、 报告、批复、函、会议纪要等文种。

常见公文写作格式与范文 公文格式 （函、请示、报告、通知、规定的公文格式）之一 函的写作格式 一、函的概念 函是不相隶属机关之间相互洽工作、询问和答复问题，或者向有关主管部门请求 批准事项时所使用的公文。 函作为公文中惟一的一种平行文种，其适用的范围相当广泛。在行文方向上，不 仅可以在平行机关之间行文，而且可以在不相隶属的机关之间行文，其中包括上 级机关或者下级机关行文。在适用的内容方面，它除了主要用于不相隶属机关相 互洽工作、询问和答复问题外，也可以向有关主管部门请求批准事项，向上级机 关询问具体事项，还可以用于上级机关答复下级机关的询问或请求批准事项，以 及上级机关催办下级机关有关事宜，如要求下级机关函报报表、材料、统计数字 等。此外，函有时还可用于上级机关对某件原发文件作较小的补充或更正。不过 这种情况并不多见。

二、函的特点 （一）沟通性。函对于不相隶属机关之间相互洽工作、询问和答复问题，起着沟 通作用，充分显示平行文种的功能，这是其他公文所不具备的特点。 （二）灵活性。表现在两个方面：一是行文关系灵活。函是平行公文，但是它除 了平行行文外，还可以向上行文或向下行文，没有其他文种那样严格的特殊行文 关系的限制。二是格式灵活，除了国家高级机关的主要函必须按照公文的格式、 行文要求行文外，其他一般函，比较灵活自便，也可以按照公文的格式及行文要 求办。可以有文头版，也可以没有文头版，不编发文字号，甚至可以不拟标题。 （三）单一性。函的主体内容应该具备单一性的特点，一份函只宜写一件事项。 三、函的分类。 （一）按性质分，可以分为公函和便函两种。公函用于机关单位正式的公务活动 往来；便函则用于日常事务性工作的处理。便函不属于正式公文，没有公文格式 要求，甚至可以不要标题，不用发文字号，只需要在尾部署上机关单位名称、成 文时间并加盖公章即可。 （二）按发文目的分。函可以分为发函和复函两种。发函即主动提出了公事事项 所发出的函。复函则是为回复对方所发出的函。 （三）另外，从内容和用途上，还可以分为洽事宜函，通知事宜函，催办事宜函， 邀请函、请示答复事宜函，转办函，催办函，报送材料函等等。 四、函的结构、内容和写法 由于函的类别较多，从制作格式到内容表述均有一定灵活机动性。主要介绍规范 性公函的结构、内容和写法。 公函由

首部、正文和尾部三部分组成。其各部分的格式、内容和写法要求如下： （一）首部。主要包括标题、主送机关两个项目内容。 1、标题。 2、主送机关。 （二）正文。其结构一般由开头、主体、结尾、结语等部分组成。 （三）结尾。一般用礼貌性语言向对方提出希望。或请对方协助解决某一问题， 或请对方及时复函，或请对方提出意见或请主管部门批准等。 （四）结语。通常应根据函询、函告、函或函复的事项，选择运用不同的结束语。 如“特此函询（）”、“请即复函”、“特此函告”、“特此函复”等。有的函 也可以不用结束语， 如属便函， 可以像普通信件一样， 使用“此致”、 “敬礼”。 （五）结尾落款。一般包括署名和成文时间两项内容。 署名机关单位名称，写明成文时间年、月、日；并加盖公章。 五、撰写函件应注意的问题 函的写作，首先要注意行文简洁明确，用语把握分寸。无论是平行机关或者是不 相隶属的行文，都要注意语气平和有礼，不要倚势压人或强人所难，也不必逢迎 恭维、曲意客套。至于复函，则要注意行文的针对性，答复的明确性。 其次，函也有时效性的问题，特别是复函更应该迅速、及时。像对待其他公文一 样，及时处理函件，以保证公务等活动的正常进行。 例文 通知事宜函 国务院办公厅关于羊毛产销和质量等问题的函 国办函 [1993] 2 号 国家计委、经贸办、农业部、业部、经贸部、纺织部、技术监督局： 为进一步发展我国羊毛生产，搞活羊毛流通，提高羊毛质量，根据国务院领导同 志的批示，现就有关问题通知如下： 一、要切实抓紧抓好草场改造和羊种改良工作。（略） 二、技术监督局要加强羊毛的质量监督和检验工作。（略） 三、要尽快组织直接进入国际羊毛拍卖市场。（略） 四、为了促进国内养羊业的发展，支持纺织工业生产和扩大出口创汇。（略） 上述有关政策，请有关部门、各地区特别是羊毛生产区认真研究落实，执行中的 问题，由国家计委和经贸办协调，并督促落实。 国务院办公厅（盖章） 一九九三年一月三日 公文格式 （函、请示、报告、通知、规定的公文格式）之二 《通知》写作要点 通知是下行文，要求下级机关办理、执行或服从安排的文种。通知讲究时效性， 是告知立即办理、执行或周知的事项。 一、标题：制发机关＋事由＋通知。 二、 正文： 一通知前言： 即制发通知的理由、 目的、 依据。 例如“为了解决××× 的问题，经×××批准，现将×××，具体规定通知如下。二通知主体：写出通 知事项，分条列项，条目分明。 三、结尾：三种写法：一意尽言止，不单写结束语。 二在前言和主体之间，如未用“特作如下通知”作为过渡语，结尾可用“特此通 知”结尾。 三再次明确主题的段落描写。 通知格式：（指示性通知） 北京积水潭医院关于××××××的通知 各科室： ×××××××××××××××××××××××××××××××× ×××××××××××××××××××××××××××。 北京 积水潭医院 二五年三月十日 例文(指示性通知) 国务院关于调整证券交易印花税中央与地方分享比例的通知 国发(1996)×号 各省、自治区、直辖市人民政府，国务院各部委、各直属机构: 改革开放以来，我国证券交易市场有了很大发展，证券交易规模不断扩大， 证券交易印花税也有了较大幅度的增长。为进一步规范证券交易市场，妥善处理 中央与地方的合配比例，增强中央宏观调控能力，国务院决定，自 1997 年 1 日 1 日起， 将证券交易印花税分享比例由现行的中央与地方各 50%， 调整为中央 80%、 地方 20%。有关地区和部门要从全局出发，继续做好证券交易印花税的征收管理 工作，进一步促进我国证券市场的健康发展。 中华人民共 和国国务院 一九九六年十 二月十六日 通知格式：（会议性通知） 关于×××××××××××××××会议的 通知 各职能处室： 定于×月×日召开××××会。现将有关事宜通知如下： 会议议题××××××××××××××××××××××××××××。 参加人员××××××××××××××××××××××××××××。 会议时间×月×——×日（会期×××，×××××报到。） 会议地点××××××××××××××××××××××××××××。 有关事宜 （一） ××××××××××××××××××××××××××××。 （二）××××××××××××××××××××××××××××。 （三）×××××××××××。 联系人：×××，电话：××××××××，传真：××××××××。 北京 积水潭医院 × ×××年×月×日 例文(会议通知) 关于召开全区宣传部长会议的通知 各市委宣传部，柳铁党委

宣传部： 定于 9 日 9-10 日召开全区宣传部长座谈会，现将有关事项通知如下： 一、会议议题传达学习召开的部分省区市宣传部长座谈会精神；总结交流 我区前八个月宣传思想工作；研究部署下一步工作。 二、参加人员各市委宣传部长、柳铁党委宣传部长。 三、会议时间 9 日 9-10 日(会期一天半，9 日 8 日下午报到)。 四、会议地点报到及住宿地点：南宁市七星路广西宣传干部培训中心。会场：区 党委办公楼三楼会议室。 五、有关事项 （一）请参加会议人员准备约 15 分钟的发言。请将发言材料打印 50 份，在报到 时交会务组(打印要求：16 开幅面，在左上角用四号楷体注明“全区宣传部长座 谈会发言材料”)。 （二）请各市委宣传部长、柳铁党委宣传部长安排好会议期间的各项工作，准时 出席会议。在外出差、学习的，加无特殊情况，务请回邕参加会议。 （三）请各市委宣传部、柳铁党委宣传部于 9 月 5 日下午下班前将参加会议人员 名单报到自治区党委宣传部办公室。 联系人：×××，电话：××××，传真：××××××。 中共广西壮族自治区委员会宣传部 二三年九月四日 农牧公司通知格式 关于 XXXX 的通知(标题字体用正文宋体小二，加粗) 各养殖公司： 为确保应届毕业生的培训工作高质、 高效完成， 现将有关培训要求通知如下： （正 文字体用仿宋_GB2312） 一、培训时间：2009 年 2 月 1 日--2 月 26 日。 二、学员报到时间： 2009 年 2 月 1 日上午 9：00—下午 5：00 ,未按规定报到 者视为主动放弃。 三、 学员报到地点： 希望集团·四川五月花电脑专修学院正校门 （郫县团结镇） 。 四、学员培训地点：希望集团·四川五月花电脑专修学院。 五、学员住宿安排：参培学员的住宿统一由我集团安排在希望集团·四川五月花 电脑专修学院学生宿舍，学员无需携带被褥等床上用品，只需带自己的日常生活 用品即可。具体房间号详见签到表。 特此通知 附件： 1、课程规划 2、《培训课程安排表》 3、培训纪律 4、到五月花计算机学院的乘车路线 XXXXXXX 公司 （盖公章） 二九年 XX 月 XX 日 公文格式（函、请示、报告、通知、规定的公文格式）之三 《报告》写作要点 报告是向上级机关汇报工作、反映情况、提出意见或建议、答复上级机关询问时 用的陈述性公文。 一、标题：制发机关＋事由＋报告；报告前可加“紧急”。 二、正文：一事由：直陈其事，把情况及前因、后果写清楚。二事项：写工作步 骤、措施、效果。也可以写工作的意见、建议或应注意的问题。 三、结尾：可写“特此报告”、“专此报告”，后面不用任何标点符号，或“以 上报告如无不妥，请批转各地、各部门执行”，或“以上报告，请指示”等语。 注意事项：概述事实，重点突出，中心明确，实事求是，有针对性。 报告格式：（建议报告） 关于××××××的报告 院领导： 根据 ×××××××××××××××××××××××××××××××××× ×××××××××××××××××××现将主要情况报告如下： 一、×××××××××××××××××××××××××××××。 二、××××××××××××××××××。 以上意见如无不妥，请批转各部门执行。 北京积水 潭医院××处 × ×××年×月×日 例文(建议报告) 关于开展强化免疫活动消灭脊髓灰质炎的报告 国务院： 脊髓灰质炎(俗称小儿麻痹)是一种不能有效治疗，却可用疫苗彻底预防的急 性传染病。为实现《九十年代中国儿童发展规划纲要》规定的一九九五年消灭脊 髓灰质炎的目标，国家决定开展强化免疫活动。现将有关情况报告如下： 一、自我国开展计划免疫工作以来，脊髓灰质炎疫苗接种率提高，发病率显著下 降，取得了可喜的战绩。 二、在冬季，脊髓灰质炎病毒传播能力最弱。为此，决定从现在起至一九九五年 一月期间， 每年的十二月五日和一月五日， 对全国四岁以下儿童各加服一次疫苗。 以上意见如无不妥，请批转各地区、各部门执行。 卫生部 一九九三 年十月二日 报告格式：（情况报告） 关于××××××的报告 根据 ×××××××××××××××××××××××××××××××××× ××××××××××××××××现将主要情况报告如下： ××××××××××××××××××××××××××××××××针对 ××××××， 提出以下建议： ×××××××××××××××××××。 一、 二、×××××××××××××××××××。 北京积水 潭医院××处 × ×××年×月×日 农牧公司统一用报告格式 报 告 日 期 2009 年 2 月 7 日 编 号 200908（按照发放时间顺序统一用阿拉伯数字编号，如 2009 年第 8 份报告 200908） 附 件 有

页 无√ 受文者 重庆特驱农牧有限公司总经理（宋体小三） 发文者 XXXX 公司（宋体小

三） 副本分送单位 报告主题 关于 XXXX 报告（宋体小三） （正文字体用宋体小四） 可否？请批示！ XXXXX 公司 二 年三月十八日 （养殖公司盖公章，日期应用大写， 齐年盖月） 公司总经理（授权委托人）签 字： 时间: 年 月 日 农牧公司总经理（审批）意见： 总部对应部长审核（审批）意见： 时间: 年 月 日 总裁（或授权人）审批： 时 间: 年 月 日 公文格式 （函、请示、报告、通知、规定的公文格式）之四 《请示》写作要点 请示是下级机关向上级机关请求指示或批准的呈请性、期复性公文。 一、标题：制发机关名称＋事由＋请示。 二、正文：一请示的原因：陈述情况，阐述理由，讲情必要性和可能性，最后用 “为此，请示如下”。二请示的事项：写明请示要求，如请求物资要写明品名、 规格、数量，请求资金要写明金额。 三、结尾语：多用“上述意见，是否妥当，请指示”。“特此请示，请予批准”， “以上请求，请予审批”，“以上请示，请予批复”，“以上请示，如无不妥， 请批转各部门执行”等语。 注意事项：一文一事；一个主送机关；逐级请示。 例文(事务性请示) 关于在全国开展基本农田保护工作的请示 国务院： 为了全面贯彻落实党的十三届八中全会精神， 巩固和发展划定基本农田保护区这 项工作的成果，拟在全国推广这一做法。具体意见如下： 一、明确指导思想，加强组织领导。……………… 二、根据不同地区确定保护重点。……………… 三、建立基本农田的保护制度及地方补偿制度。……………… 以上意见已商得国家计委、财政部、建设部等部门意见，如无不妥，请批转各地 区、各部门 执行。 国家土地 管理局 一九九一年一 月二日 例文(事务性请示) 关于在全国开展基本农田保护工作的请示 国务院： 为了全面贯彻落实党的十三届八中全会精神， 巩固和发展划定基本农田保护区这 项工作的成果，拟在全国推广这一做法。具体意见如下： 一、明确指导思想，加强组织领导。……………… 二、根据不同地区确定保护重点。……………… 三、建立基本农田的保护制度及地方补偿制度。………………以上意见已商得国 家计委、财政部、建设部等部门意见，如无不妥，请批转各地区、各部门执行。 国家土地管理局 一九九一年一月二日 办公会请示格式：主管领导批示： 关于××××的请示 院领导： ×××××××××××××××××××××××××××××××××× ××××××××××××××。 此文是否提交院办公会讨论，请指示。 积水潭医院××处 ×年×月×日 例文一 请求批准性请示 关于建立中国工程院有关问题的请示 国务院： 近年来，我国科学家、工程技术专家和有关人士，曾多次提出建立中国工程 院问题。 全国政协七届五次会议和中国科学院第六次学部委员大会期间， 不少政协委 员、学部委员和工程技术专家，又先后提出提案和建议。党中央和国务院领导同 志十分重视这一建议。曾就建立中国工程院问题，多次作过批示。根据党中央和 国务院领导同志的批示精神，组成了专家研究小组，经过广泛调查研究，听取各 方面人士和有关产业部门的意见， 进行反复酝酿和讨论， 形成工程院的初步方案。 现就建立中国工程院的有关问题报告如下。 一、关于建立中国工程院的必要性。（略） 二、关于组建中国工程院的一些原则。 （一）关于名称（略） （二）关于中国工程院的性质和作用（略） （三）关于中国工程院成员的称谓（略） （四）关于中国工程院与中国科学院（学部）的关系（略）

（五）关于中国工程院院士的标准和条件（略） （六）关于中国工程院第一批院士的产生及以后的增选制度（略） （七）关于中国工程院的领导体制及学部设置（略） 三、关于中国工程院的筹建工作及进度安排（略） 以上请示当否，请批示。 附件：中国工程院筹备领导小组名单。 国家科委（盖章） 中国科学院（盖章） 一九九三年十一月十二日 例文二 请示指示性请示 关于《会计人员职权条例》中“总会计师”既是行政职务又是技术职称的请示 财政部： 国务院 1987 年国发 [1987] *号通知颁发的《会计人员职权条例》规定，会 计人员技术职称分为总会计师、会计师、助理会计师、会计员四种；其中“总会 计师”既是行政职务，又作为技术职称。在执行中，工厂总会计师按《条例》规 定，负责全厂的财务会计事宜；可是每个工厂，尤其大工厂，授予总会计师职称 的人有四五人，究竟由哪一位负责

通知函格式篇2

关键词： 初中数学教学 函数概念 认知发展

1.问题提出

“函数概念是近代数学思想之花”[1]。函数是贯穿中学数学内容的一根主线，函数与代数式、方程、不等式、三角、几何、数列、复数、排列组合、极限和微积分等内容联系非常密切。

新课改前，初中函数学习安排在九年级；课改后，函数学习则进行了分散。以烟台地区使用的鲁教版数学教材为例，一次函数、反比例函数、二次函数三部分的内容分别放在七年级上、八年级下、九年级上进行。新课改后学生的函数概念发展情况怎样呢？对此笔者进行了抽样调查研究。

2.研究方法

采用问卷调查法，问卷是围绕函数概念的认知发展进行设计的，目的是了解初中学生对函数定义和函数多种表示方法（解析法、列表法、图像法等）的理解程度，了解学生在判断一个对象是否为函数时用到的函数概念表象主要有哪些，了解学生对函数的应用水平。

收集到调查数据用Excel2003管理数据，用SPSS11.5分析数据。

3.结果与分析

3.1初中学生整体函数概念发展的水平与分析

从整体上看，初中学生的函数概念发展差异性很大，随着年级的变化，呈“V”字形发展，九年级明显高于七八年级。造成这种情况的原因主要有两方面。

3.1.1学生因素

研究表明：初中学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势[2]，但在很大程度上，学生仍然需要依赖具体形象的经验材料理解抽象的逻辑关系，思维仍属于经验型的逻辑思维。七八年级学生具体形象思维占主要地位，抽象逻辑思维还没得到充分的发展。函数概念是一个非常复杂抽象的概念，学生还没有足够的抽象思维更好地理解，导致年级间的差异性显著。

3.1.2教材因素

鲁教版数学教材在七年级上学习“一次函数”；在八年级下学习“反比例函数”；在九年级上学习“二次函数”。八年级的函数学习与七年级的学习时间间隔有一年，与九年级的函数学习紧挨着，这种课程设置没有足够地考虑函数学习的连续性，造成八年级学生的函数概念认知水平最低。

3.2初中学生对函数概念本质认知与分析

函数概念的本质是函数值的唯一性。通过问卷调查，我们发现学生在判定是否函数关系时的判别标准是：首先看是否是熟悉的解析式、函数图像，其次看是否有两个字母代表的变量，是否y随x的变化而变化，最后才是函数值的唯一对应。造成这种情况的因素主要有两方面：

3.2.1概念学习的典型范例

初中学生在理解概念时，需要借助一些具体的概念表象解读。正如认知心理学家罗斯（E.Rosch）所认为的：[3]记忆中的种种概念，是以这些概念的具体例子表示的，而不是以某些抽象的规则表示的。学生学习过的函数解析式和图像在这里充当函数的典型范例。

3.2.2教材因素

一是为了配合函数的变量说，教材中所有关于函数概念的题目都偏重于强调变化，以至于学生想到函数就首先想到应该有两个随时在变化的量，否则就不能成为函数。二是教材在三种函数表示方法的应用示例方面偏重于解析式方面，基本上是让学生自己用解析式解决问题，给出图像让学生根据图像回答问题，表格的应用主要是让学生利用表格数据求解析式的，表格如果没有字母出现就基本不会被当做函数。

4.对函数教学的启示

4.1合理安排函数的学习

在教材设计上，应该考虑七、八、九年级间的函数学习间隔均衡。数学知识的学习要注重知识体系的前后呼应和连续性，现行的数学教材七八年级的函数学习间隔太长，不利于学生的函数概念认知发展的连续性。

4.2加强学生对变量的认识。

采用字母表示变量，使人们能够方便研究函数，但在实际教学中大多数教师并没有很好地突出字母表示变量的优越性和目的所在，造成学生对函数的误解：只有能用字母表示的变量才算变量，特别是在表格法的函数里，这种理解偏差更大。

4.3加强学生对函数的本质认识

在函数的三种表示方法中，求函数解析式是函数教学和考查的重点，教学重点都落在求函数解析式上，而忽略在解析式中对函数值唯一性的认识，导致学生对解析式形式的函数认知上以点概面，用是否是曾学习过的解析式函数作为判定函数关系的依据。

在表格函数的学习中，表格的出现两种情况：一是为求函数解析式而提供数据；二是在数据的统计中用来整理数据和信息，此时的表格很少被当做函数认知，导致学生对表格函数的认知最低。现实中有很多函数关系是无法用解析式和图像描述的，很多函数关系只能用表格法表示，需要加强学生对表格函数的理解与认知。

参考文献：

[1]徐品方，张红，宁锐.中学数学简史[M].科学出版社，2007：241.

[2]林崇德.学习与发展[M].北京教育出版社，1992.

通知函格式篇3

行政机关复函格式范文

关于政府信息公开的答复复函参考样式

受理机关发文字号

关于政府信息公开的答复

(申请人姓名或者单位名称)：

本机关于 年 月 日受理了您(单位)提出的

政府信息公开申请，经审查，现答复如下： 。

(受理机关政府信息公开专用章)

年 月 日

(联系人： ，联系电话： )

范文

北京市财政局 北京市地方税务局

机 密一年 京财函〔20xx〕XX号 特 急( 此文无密级和紧急程度)

关于北京市农工商联合总公司 20xx年度收取管理费问题的复函

北京市农工商联合总公司：

你公司《关于20xx年各级管理费列支办法的函》(京农管函〔20xx〕XX号)收悉。经研究，现就你公司收取管理费有关问题答复如下：

监于你公司因历史遗留问题造成包袱沉重，资金来源不能满足经费开支，根据北京市财政局、北京市地税局《关于印发税前扣除北京市国有企业上交主管部门管理费的审批管理办法的通知》(京财税〔xxxx〕171号)和《关于税前扣除企业上交主管部门管理费的审批办法的补充通知》(京财税〔xxxx〕886号)文件精神，同意你公司20xx年度在不超过所属单位销售(营业)收入2%的范围内，向所属单位收取管理费，用于你公司的经费开支。各单位在规定范围内上交的管理费可在上缴企业所得税前

扣除，各单位20xx年度按上述比例上交的管理费，允许你公司在上缴企业所得税前扣除。

特此函复。

主题词：财政 收费 办法 复函

抄送：(略) 北京市财政局办公室

20xx年x月xx日印发

函的分类

函可以从不同角度分类：

(一)按性质分，可以分为公函和便函两种。公函用于机关单位正式的公务活动往来;便函则用于日常事务性工作的处理。便函不属于正式公文，没有公文格式要求，甚至可以不要标题，不用发文字号，只需要在尾部署上机关单位名称、成文时间并加盖公章即可。

(二)按发文目的分。函可以分为发函和复函两种。发函即主动提出了公事事项所发出的函。复函则是为回复对方所发出的函。

(三)另外，从内容和用途上，还可以分为商洽事宜函，通知事宜函，催办事宜函，邀请函、请示答复事宜函，转办函，催办函，报送材料函等等。

函的格式

由于函的类别较多，从制作格式到内容表述均有一定灵活机动性。主要介绍规范性公函的结构、内容和写法。

公函由首部、正文和尾部三部分组成。其各部分的格式、内容和写法要求如下：

(一)首部。主要包括标题、主送机关两个项目内容。

1、标题。公函的标题一般有两种形式。一种是由发文机关名称、事由和文种构成。另一种是由事由和文种构成。

2、主送机关。即受文并办理来函事项的机关单位，于文首顶格写明全称或者规范化简称，其后用冒号。

(二)正文。其结构一般由开头、主体、结尾、结语等部分组成。

1、开头。主要说明发函的缘由。一般要求概括交函的目的、根据、原因等内容，然后用现将有关问题说明如下：或现将有关事项函复如下：等过渡语转入下文。复函的缘由部分，一般首先引叙来文的标题、发文字号，然后再交代根据，以说明发文的缘由。

2、主体。这是函的核心内容部分，主要说明致函事项。函的事项部分内容单一，一函一事，行文要直陈其事。无论是商洽工作，询问和答复问题，还是向有关主管部门请求批准事项等，都要用简洁得体的语言把需要告诉对方的问题、意见叙写清楚。如果属于复函，还要注意答复事项的针对性和明确性。

(三)结尾。一般用礼貌性语言向对方提出希望。或请对方协助解决某一问题，或请对方及时复函，或请对方提出意见或请主管部门批准等。{行政单位的回函的范文}.

(四)结语。通常应根据函询、函告、函商或函复的事项，选择运用不同的结束语。如特此函询(商)、请即复函、特此函告、特此函复等。有的函也可以不用结束语，如属便函，可以像普通信件一样，使用此致、敬礼。

(五)结尾落款。一般包括署名和成文时间两项内容。

署名机关单位名称，写明成文时间年、月、日;并加盖公章。

撰写函件注意事项

函的写作，首先要注意行文简洁明确，用语把握分寸。无论是平行机关或者是不相隶属的行文，都要注意语气平和有礼，不要倚势压人或强人所难，也不必逢迎恭维、曲意客套。至于复函，则要注意行文的针对性，答复的明确性。

通知函格式篇4

关键词商务函电特征探析

商务函电是国际商务往来中经常使用的联系方式，是开展对外贸易业务和有关商务活动的基础及重要工具，因此,熟悉运用并正确理解商务函电出现的新特点，是顺利进行商务业务活动的前提和条件。

1商务函电的特点

1.1作用地位中心化

随着世界经济一体化步伐的加快，国际间商务合作日益加强。在我国加入世界贸易组织后，与其他成员国的经济交往日趋频繁，对外经济贸易和技术合作迅速发展。国际贸易不断发展，而商务函电在当今世界贸易蓬勃发展之际，是国际商业交往中必不可少的手段，对外贸易的各个环节大多通过函电进行。从建立业务关系到达成交易，执行合同，以及执行合同过程中的纠纷等，大都需通过函电解决。因而，现代国际贸易又被称为“单据贸易”。在国际贸易的操作实务中，贸易各环节所有的交往函电都构成重要的法律依据。特别是当产生贸易纠纷时，它有可能左右纠纷解决的结果。国际贸易越来越依赖于单据交换的过程，商务函电的中心化作用也日渐明显。

1.2传输方式信息化

随着信息技术、多媒体技术和网络技术的发展，人类社会进入了信息社会，信函在业务交流中不再占主导地位，而是很大程度上代之以传真、互联网、电子邮件等更为迅速、方便、经济的通讯手段，但在信息内容和形式来看，其基本格式、表达方式和内容都没有大的变化。可以说，传真和电子邮件是一封用传真或电子邮件方式投递的信函。特别是随着电子商务方式的发展，进出口商可在网上轻轻松松地发广告、报价格、下定单、签合同、结货款等。电子商务的应用，是提高国际贸易效率的最有效办法之一，电子化、网络化国际贸易是国际贸易的发展方向。据在外贸行业工作的人员介绍，目前的商务交流98%使用的是E-MAIL，其余的是电传，有时候会打打电话。

1.3书写格式自由化

商务函电的公函，其写作格式有多种风格，有专业式、简洁式和庄重式。函电格式自由化主要体现在信头、呼语和信内地址等方面。随着贸易双方业务联系的增多与贸易关系的加强，彼此间的了解与沟通日益深入，有个人内容渗入公函的趋势，这也助长了其格式的自由化。

1.4语言风格简洁化

在商务函电的写作过程中，除因格式自由化而变简洁外,其语言运用方面也简洁化了。一方面，函电中应省去那些客套、多余的话语而直接指向磋商主题，主要是为了简洁明了、便于阅读；另一方面，电子数据交换、电报等用语及短句的使用，都使其语言风格简洁化了。

2商务函电的掌握与应用

2.1巩固语言知识及外贸业务知识

商务函电是国际贸易中的一种实用语言，它要求在掌握外贸实务知识的基础上，学习使用书面交际所需要的技巧和知识。对于高校来说，也须不断改进教学方法，提高教学水平和丰富专业商务知识，培养学生磋商业务、撰写函电的能力。既要讲授对外贸易业务各个环节的知识，又要训练培养有关业务环节的语言表达能力。

2.2注重理论与实践相结合

理论与实践相结合的原则要求教师引导学生认清实践是人们获得真理的重要来源，是检验真理的唯一标准，促使他们善于在理论与实际的联系中理解和掌握知识，积极地运用所获得的知识去解决实际问题，以便形成专门人才必备的技能和技巧，增加分析问题和解决问题的能力。常言道：“熟能生巧”，“实践出真知”。再好的理论倘若不与实践相结合也是毫无意义的。因此，应首先在学生充分了解商务函电的语言特点、写作格式、写作技巧和规则，以及相关商务知识等理论基础上进行大量的操作练习，培养他们准确、娴熟地运用商务函电的能力。

2.3系统掌握内容

首先，应给学生一个清晰的、系统的理论构架，即整个教材是按外贸实务程序编排的，整个贸易活动包括建立业务关系、询价、报盘、还盘、订货、接受、签约、包装、装运、支付、结算、保险、商检、索赔、等。在教学当中，应注意按外贸业务进展的不同环节和内容进行系统地讲解，并组织学生进行系列相关的练习。其次，在训练培养学生语言技巧和表达能力时，注意归纳总结类似表达法，帮助学生系统记忆、灵活运用。

2.4做好内容衔接

不同的专业课程在内容上有相互联系、互相渗透的特点，要注意与相关专业的协调与衔接。如国际贸易实务、商务英语写作与商务函电课程之间联系十分紧密。在教学中，举例说明或内容讲解时可将这些课程联系起来，旁征博引，如函电中所涉及的进出口贸易的付款方式有信用证、付款交单、承兑交单等，学生对这些概念应该有深入的了解，这在国际贸易实务教材中都作了详尽的阐述。

2.5进行模拟操作

利用课堂时间按预定计划有组织、有目的地进行模拟训练，可获取语言感觉，掌握谈判技巧，增强学以致用的兴趣，懂得如何举一反三，明白自己所担任的角色，认清自己所面临的形势，抓住问题的关键所在，培养必要的基本技能，为全面提高业务素质打下良好的基础。

2.6运用现代手段

如果仅仅依赖于教材、报刊、杂志等，难以满足需要。随着社会的发展，国际互联网络的形成促进了信息的建立、储存、传播和应用，它所提供的信息资源可以为教学提供大量丰富、生动和形象的材料。网络时代的到来，为商务函电的学习带来了前所未有的机遇，与传统信息搜索相比，由网络提供的方式对信息的检索、调用和播放更加方便、快捷。大胆充分合理地运用网络资源，必可有力地促进学习效果。尽可能应用多媒体，信息图像化本身就可满足不同需要，使其能以各自不同的方式和进度来对图像化的信息进行个别化与理性化的筛选和理解。图像化信息提供了一个同步进行的可控宽频通道，而单纯口授是无法做到这一点的。多媒体的形象生动的动画，严谨准确的授课和悦耳动听的音乐，使学习内容达到了真正意义上的图文并茂、栩栩如生，使学习者变成了始终保持高度学习兴趣的主动参与者，寓教于乐得以落到实处。

参考文献

1侯晓莉.商务英语函电教学探讨[J].北方经贸,2004(2)

通知函格式篇5

关键词：数值分析；实验；插值

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）06-0233-02

一、引言

数值分析是一门与计算机使用紧密结合的实用性很强的数学课程，它不仅是信息与计算科学专业、应用数学专业的一门专业基础课，也是很多工科专业的一门很重要的课程。数值分析包含了大量严谨的数学理论，也有很强的实用价值。

如今的课堂教学往往非常注重讲授数值方法的原理，而数值分析的理论覆盖面很广，从数值逼近、积分微分到常微分方程、高等代数等，这就需要学生有良好的基础和知识积累，才能在理论学习中游刃有余。教师一般在课堂上都是由实际出发，由现实的例子作为背景引入具体理论，然后对理论进行详细讲解，最后再回到实例当中解决问题。

笔者认为，若是只在课堂上讲授理论，尽管有多媒体手段的加入，各种图形、程序可以用ppt展示给学生看，学生是听懂了，看会了，可是到实际使用中还是不知道如何下手。数值分析是一门注重做的课程，再复杂的理论，都需要学生学会如何在现实工作中用出来。所以实验教学在数值分析整个教学过程中的地位是非常重要的，在实验中，学生通过软件编程实现已有算法，绘制图形图像的过程中可以加深对算法的理解，直观感受算法理论的精妙，提高学习兴趣。在运用自己的程序解决问题的过程中，能在不同的问题中掌握算法的使用注意事项，在实验中累积算法经验从而让学生可以在实际中能熟练应用课本上的理论。

二、函数插值实验教学设计

函数插值理论在数值分析中是非常重要的一个知识点，也是离散函数逼近的重要方法。其原理是利用插值法，可在离散数据的基础上得到一条连续函数通过全部已知数据点，进而可以估算出其他节点处的近似值。插值方法主要有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、样条插值等，其理论烦琐，但是又非常重要，它是数值积分理论的重要理论基础。插值方法很多，如何在理论和实验教学中让学生掌握各个方法的原理，以及每个插值方法使用的注意事项，是摆在教师面前的难题。

课堂注重理论，实验注重做法，在实验教学中，笔者认为应该在加强课堂理论学习的基础上，实验要注重如何让学生巩固课堂学习的成果，把插值的原理和特点通过设计的算例让学生自己描绘出来。学生通过实验全面认识各个插值理论的优缺点，为以后数值积分的学习打下基础。为此，在插值实验这一节，我们为学生设计了一个比较实验，通过每一对有特点的算例的比较，让学生在比较中获得各个插值方法的使用注意事项和具体的操作方法，知道什么可以做什么不能做，并且获得对插值的全新认识。

实验的首要任务是编程，利用MATLAB数学软件结合课堂学到的理论公式编写拉格朗日插值和牛顿插值的程序。尽管MATLAB有内置的命令实现拉格朗日插值，但是学生无法通过内置命令掌握拉格朗日插值理论公式，并且由于通过MATLAB编程实现拉格朗日插值和牛顿插值比较容易，所以还是要求学生通过理论公式独立编程，以加深对理论公式的记忆和理解。在编程的基础上，要求学生利用编写的程序完成以下对比实验。

1.从函数y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距离取5个点，要求学生分别利用拉格朗日插值和牛顿插值进行求插值函数的操作，观察利用两个插值原理求出来的插值函数有何异同。

2.从多项式y=x4+x3+x2+x+1中等距离取5个点，要求学生利用拉格朗日插值方法进行插值操作，观察获得的插值函数和原函数有何异同。

3.提示学生对函数y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5点拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，将节点个数增加到11个，将插值效果进行比较。

4.在上例的基础上，让学生通过画图比较函数f（x）=■，x∈（-1，1）的5点拉格朗日插值和11点拉格朗日插值效果。提示学生可以进一步增加节点个数，观察得出的图形。

5.利用分段插值的方法，对函数f（x）=■，x∈（-1，1）进行11点插值，与11点拉格朗日插值的插值效果比较。

6.保留拉格朗日插值方法，取消等距节点，提示学生利用[-1，1]上的切比雪夫多项式的零点（切比雪夫点）xk=cos■，k=1，2，…，n+1对以上两个函数进行拉格朗日插值，与等距节点的插值效果进行比较。

我们希望学生做完以上案例后不但能顺利完成结果的获得，而且还能利用课堂学到的理论知识分析得到的结果，这些结果都是课堂上讲解的理论知识的数值例子，能做出来，会分析，这是对学生的锻炼，也能提高学生的动手能力和学习积极性。以下我们对以上案例进行分析。

1.通过案例1，学生得到结果后能了解到，在相同的节点条件下，利用拉格朗日插值和牛顿插值得到的插值多项式是一样的，这与课堂的理论分析完全一致。这个结果是学生自己完成实验后得到的，与课堂理论分析结合，学生更能理解两种插值的相同之处。而通过编写两个插值方法的MATLAB程序，学生既可以学习编程，还可以掌握两者达到同一目的的不同之处。

2.通过上例可得出拉格朗日插值和牛顿插值结果一样的结论，所以对四次多项式y=x4+x3+x2+x+1进行5点插值只需利用拉格朗日插值即可。学生可通过得到的结果和图形知道，其实得到的插值多项式就是原来的四次多项式本身，原函数和插值多项式两者的误差为零。这个结论可以提示学生通过拉格朗日插值理论的误差公式解释和分析，从而复习和掌握拉格朗日插值误差公式。

3.通过案例1得到的插值多项式的图形对比原函数图形可知，一般来说函数的5点插值的逼近效果还是不理想的，误差比较大。若要提高逼近效果，首先让学生通过实验观察提高节点个数对插值的逼近效果的影响。所以设计了一个对比实验让学生对两个函数进行高次插值。通过实验结果的观察可知，对于函数y=sin（x），x∈（-2π，2π），11点的插值逼近效果在整个区间上都比5点插值效果好，几乎和原函数重合了提高插值次数达到了良好的效果。而对于龙格函数f（x）=■，x∈（-1，1），高次插值出现了龙格现象，即区间中间部分逼近效果非常好，而区间两边出现非常大的震荡。通过这两个案例的比较分析，让学生自己总结出光靠增加节点个数提高插值的逼近效果不可行，需要另找办法。龙格现象是插值理论的重要知识点，在课堂教学中学生对该现象只停留在理论上，通过该实验案例的分析，学生在自己做出龙格现象图形的时候，能加深对龙格现象和拉格朗日插值的缺点的理解。而对于学生普遍会存在疑问，龙格现象只是龙格函数的特有现象吗？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不会出现龙格现象吗？可提示学生继续对没有出现龙格现象的函数增加插值节点，观察龙格现象是否是所有函数的共有特点，并且这可以留作实验作业让学生课后自己完成。

4.此案例提供一个提高逼近效果的方法，就是分段插值，利用分段插值，可以在增加节点个数的情况下，保持插值次数不增加，从而保证的插值效果。学生通过此案例可以理解为什么介绍完整体插值后还需要讲解分段插值，老师在以后介绍数值积分中的复化积分公式的时候，进行比较讲解。

5.通过切比雪夫点的插值案例，提示学生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通过改变节点的选取，把原来的等距节点变为区间上正交多项式的零点，可以在增加节点个数，让拉格朗日插值的逼近效果也相应提高而不会出现龙格现象。这个案例可以和以后数值积分中的高斯求积公式配合，让学生了解正交多项式的零点在函数逼近方面的重要应用。并且在介绍完[-1，1]上的切比雪夫点插值后，可以预留作业，让学生在其他区间上寻找正交多项式零点进行拉格朗日插值，让学生对正交多项式理论加深印象，为以后数值积分的高斯求积公式的介绍铺垫。

三、结束语

本文介绍了在数值分析实验教学中引入比较教学法，通过在函数插值实验中设计的几对比较案例，让学生在完成实验过程中经比较加深理解和掌握理论课上介绍的知识。课堂理论教学让学生听与看获得理论知识，实验教学强调学生做，让学生在做的过程中获得比在课堂听更多的知识和操作方法，也是把学到的知识用到实际中关键的一步。通过在学生中进行的教学试验，学生在一个综合设计性实验（4课时）中，在有MATLAB基础的前提下，完全能从编写程序，学会程序的操作开始，独立完成以上比较实验，并且能针对每个比较实验的案例，给出合理的理论分析，达到良好的教学效果。

参考文献：

[1]赵景军，吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨[J].大学数学，2005，21（3）：28-30.

[2]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.

通知函格式篇6

关键字：C语言；函数；教学方法

ABSTRACT: For the usual questions in Function teaching of C-language， new ideas are put forward. Function teaching is developed with EXCEL， HTML， classification of functions and typical minimal examples. Teaching of concept and function call are focused. And the new teaching-method achieved good results actually.

KEYWORDS: C language; Function; Teaching-method

1 引言

在C语言的教学过程中，学生们通常难以理解一些概念和程序流程的控制，比如函数和函数调用。而在C语言中，函数是一个非常重要的部分，所有程序都是由函数组成的，如果没有掌握函数，就不可能掌握C语言。关于这一问题的教学，人们也在实践中做了很多思考。但在分析C语言函数时，大部分教材都是从知识传授的层面来思考的。本文通过分析函数教学中出现的常见问题，提出了函数教学新思路，结合EXCEL、HTML、函数分类和典型小案例，重点阐述如何教授函数的概念和调用。

2 函数教学中的常见问题

C语言中的函数分为库函数与自定义函数。自定义函数学习的主要内容分为函数的定义和调用。大部分学生在学习的时候对这些内容感到困难，他们主要是不知道函数该返回什么，函数应该有多少个参数，这些参数是什么类型。由于这些问题没有清楚，导致学生们基本上不能写出正确的函数。在一般教学中，通常存在如下问题：

（1）简单地罗列语法

语法知识仅仅是从语法角度系统地进行罗列，从函数形式、参数等分别进行介绍。但是仅仅这样简单的罗列语法，学生们不能深刻理解函数的意义。

（2）语法讲解与编程实例的衔接不好

花费大量时间详细介绍函数、形参、实参等概念与语法知识，而后面的函数编程等实用知识的讲授时间不够，学生们难以接受。

（3）模块化编程训练不够

学生对于自始至终接触到的简单编程印象比较深刻，但是模块化编程思想不够。而且，函数的教学章节在C语言教学内容的后面。因此，对于函数的调用、函数参数的传递等，学生们平时训练的强度不大。

由此可见，我们需要设计一种新的教学方案，改善C语言函数教学的效果，着重加深学生们对函数概念的理解和函数调用的掌握。

3 函数教学新思路

3.1 用EXCEL来理解函数概念

EXCEL是一个非常简单且界面友好的软件，一般在学生进入大学的第一个学期就已经学习过了。同时，由于在平时的生活、学习当中都有可能要用到EXCEL，因此学生们对于EXCEL比较熟悉。

函数的概念可以使用EXCEL中的多工作表来解释。通过将一些数据存放在多个工作表中，然后在这些工作表中选择这些数据，可以解释不同“工作区”的概念，或者说是函数调用的一种最基本的形式。例如，在一个工作表中存放了一些数据，却在另一个不同的工作表中使用这些数据进行计算。这个例子可以看成是在“程序”之间传递数据。再比如，在不同工作表中给不同的列命名，就像是在C语言的不同函数中给不同的变量命名。

3.2 用HTML来理解函数概念

HTML是网页设计的基础。大部分学生愿意花很多时间学习HTML，因为几乎每一个新生都想创建自己的主页。学习HTML不仅能够帮助学生掌握简单的代码编写，还能够帮助学生理解函数的概念。

如果将一个网页转换成一个框架结构，HTML也可以用来解释函数调用。基本上，一个框架结构就相当于一个函数调用，因为索引文件会引起调用很多其他文件。网页的输出不是索引文件产生的结果，而是框架结构调用若干文件的结果。

3.3 根据求解目的归纳不同函数

从语法角度，通常是从参数个数和有无函数体方面将函数分为无参函数、有参函数、空函数三类。根据编写函数的目的、功能或者说用途，函数可以被分为以下三类：

（1）求值类函数：使用这种函数是为了求一个值。

求值类函数的一般定义格式：

函数值类型 函数名(类型 形参1， 类型 形参2， ……)

{

根据形参的值计算所求的值;

return 结果;

}

求值类函数的定义步骤是：

① 编写函数头：根据函数所求值的数据类型确定函数值类型，分析函数要提供的参数及其类型从而确定形参。

② 编写函数体：根据提供的参数 (即形参) ，求出所需的值，最后返回 (return) 该值。

求值类函数在调用时通常作为表达式使用，可用于赋值、输出、运算、或作为另一个函数调用的实参。调用格式：

函数名(实参1，实参2，……)

（2）判断类函数：使用这种函数是为了检查一个判断是否成立。

判断类函数是一种特殊的求值类函数，其值为1或者0，表示判断成立与不成立。因此判断类函数值的类型固定为int。下面给出判断类函数的一种参考格式：

int 函数名(类型 形参1， 类型 形参2， ……)

{

int f; /* 代表判断结果 */

根据形参的值进行判断，判断成立则令f为1，否则令f为0

return f；/* 将判断结果返回 */

}

判断类函数调用时通常用于在选择结构或循环结构中作为判断条件。如：

if (函数名(实参1， 实参2，......)==1)......

（3）操作类函数：使用这种函数是为了完成某一项操作。

操作类函数不是为了求值，即函数没有值，其函数值的数据类型是void。函数体中不能使用return (值); 语句来返回一个值，但可以使用return来结束函数的运行返回到主调函数。

操作类函数一般定义格式：

void 函数名(类型 形参1， 类型 形参2， ……)

{

根据形参的值进行处理

return；/*或者无return */

}

操作类函数调用时通常单独作为语句，其调用格式：

函数名(实参1，实参2，……)；

3.4 典型小案例教学

在教学过程中，尽量选择典型小案例穿插讲解。所谓的典型小案例，是指这个案例集中解释某一个概念，是一个完整的程序，但又尽可能的短小。典型小案例既有利于学生学习，也有利于老师教授。对于学生来说，典型小案例易于自学，他们能够很快地阅读程序或者修改程序，能够更好地理解程序。对于老师来说，典型小案例便于课堂讲解，能够很快修改成另一个程序，并要求学生给出对应的输出。如果学生对源代码没有充分的理解，就不能给出正确的答案。因此，典型小案例教学具有很强的启发性。

典型小案例的选择一般具有以下特点：

（1）问题驱动性。典型小案例的设计围绕某一个问题的解答。当逐渐将案例分析清楚，案例所涉及的概念也随之明朗。

（2）编程。每一个典型小案例是一个独立完整的程序。

（3）输出。有明确的程序输出。

（4）可扩展性。典型小案例比较易于修改，可以更好地理解相关概念，或者引出更加深入的概念。

4 结束语

在C语言中，函数一直是学习的重点和难点。本文分析了C语言在函数学习过程中存在的问题，从概念和函数调用两个方面进行探讨，提出函数教学的新思路。通过EXCEL和HTML将函数概念简单具体化，根据求解目的将函数分类总结，穿插讲解启发性强的典型小案例，这些方法的结合使用，在实际教学中取得良好的效果。 参 考 文 献

[1]王涛伟，杨秀金.C++函数的参数传递和返回值问题的教学研讨[J].吉林大学学报(信息科学版)，2005，23:70-74.

[2]项响琴.递归问题的教学探讨[J].合肥学院学报(自然科学版)，2006，16(2):63-65.

[3]周志德.C++函数三步教学法[J].无锡职业技术学院学报，2006，5(3):37-39.

[4]汪明光.C++语言中函数指针的分析与应用[J].巢湖学院学报，2006，8(3):30-34.

[5]谭浩强.C语言程序设计(第三版)[M].北京:清华大学出版社，2005.

通知函格式篇7

关键词：二维随机变量函数 概率密度 雅克比行列式 变量变换定理

一、分布函数法

用分布函数法求随机变量是概率论的重要内容之一。通常情况下求一维随机变量的函数的概率密度有分布函数法和公式法。但对于二维随机变量，一般思路是先按定义求分布函数，然后再对分布函数求导，从而得到概率密度。

设（X，Y）为二维连续型随机变量，密度函数为f（x，y），函数g（x，y）是一个连续函数，Z是随机变量，有Z=g（X，Y）。一般地，若无特殊说明，总认为z=g（x，y）在点（x，y）处连续可微，且z关于x和y的偏导数均不为0。则从分布函数的定义出发进行计算，先求出分布函数

对分布函数求导，可得到Z的密度函数fz（Z）=Fz（Z）。

由于在计算过程中要在XOY平面上确定区域 与区域

的公共部分，且计算二重积分要根据曲线z=g（x，y）与D 的相对位置，分多种情况讨论后，最后求导。因此，在理论上，对二维连续型随机变量 ，虽然可以用分布函数法求得 的密度函数，但该方法计算量大，并且当U是分段函数时，计算过程较为繁琐。

二、变量变换法

为解决分布函数法计算复杂的问题，下面利用雅克比行列式，通过积分变换给出二维随机变量函数的概率密度的新计算公式。

定理1 设（X，Y）为二维随机变量的概率密度为f（x，y），若函数u=g（x，y）， 满足下列条件：

（i）存在唯一的反函数 ， ；

（ii）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式不为零，即：

则随机变量U=g（X，Y）和 的联合概率密度为：

在定理1的基础上进行条件的改进，可以得到如下推论。

推论1（X，Y）为二维连续性随机变量，其密度函数为f（x，y），Z=g（x，y） 是二维连续性随机变量 的函数，若y=y（x，z），则z=g（x，y）的分布函数为

证明当 时， ，则函数z=g（x，y）关于变量y严格单调递增，它的反函数y=y（x.z）和 一定存在，且 ，于是雅克比行列式

（X，Z）的联合分布为

由此可知（X，Z）的联合概率密度为 。所以

当 时， ，则

综上可知，当z为y的严格单调函数且 处处存在时，有

推论2（X，Y）为二维连续性随机变量，其密度函数为f（x，y）， Z=g（X，Y）是二维连续性随机变量（X，Y）的函数，若x=x（x，z），则Z=g（X，Y）的分布函数为

推论2的证明过程与推论1的证明过程相类似，因此此处不再做推论2的证明。

下面用变量变换定理来推导二维随机变量和的分布。

例1 （和的公式）设 与 相互独立，其密度函数分别为 和 ，求

的密度函数

解 记 ，则 的反函数为 ，雅克比行列式为

，所以（U，V）的联合密度函数为

对p（u，v）关于v积分，就可得 的密度函数公式，即卷积公式。

从例题中可以看出，相比于分布函数法，利用雅克比行列式，通过变量变换定理来推导卷积公式，简化了计算步骤，而且思路清晰。

应用变量变换定理，不仅可以求出随机变量的联合密度函数，而且还可以推导出随机变量的边际密度函数，下面给出推论3来说明。

推论3 设（X，Y）为二维随机变量的概率密度为f（x，y），若函数u=g（x，y）， 满足下列条件：

（i）存在唯一反函数x=x（u，v），y=y（u，v）；

（ii）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式

则随机变量U=g（X，Y）的概率密度为

下面给出相应的例题，应用推论3求边际密度函数，通过判断密度函数变量可分离，从而证明两个随机变量相互独立。

例2 随机变量 ， 相互独立，且 ，

试证 ， 相互独立。

证明 的反・函数为 雅克比行列式 j=-u，所以

因为U，V的密度函数变量可分离，故U，V相互独立，我们知道

即U有密度函数：

因为 ，可知V的密度函数为

即V服从参数为a1，a2的 分布。

上述三个推论给出的公式，简化了求解二维随机变量函数的概率密度的过程，而且同一问题可以用不同的变换方法求解。利用这些公式通过求广义定积分即可完成对概率密度的计算求解，较分布函数法降低了积分重数，简化了计算的步骤，提高了计算效率。

三、变量变换定理的改进及推广

本文中的定理1（变量变换定理）是人们研究二维随机变量变换的方法之一。这个方法虽然能适用于一些变量变换的情形，但变量变换法仍然存在一定的缺陷，即变量变化法要求反函数存在且惟一，这个条件过强。我们有时候会遇到反函数是多值函数的情形。这个时候，定理1将不再适用。

为了克服变量变换法要求存在唯一反函数的不足，下面我们给出两种方法对变量变换定理进行改进。

3.1区域划分法

定理2 设（X，Y）为二维连续性随机变量，其密度函数为f（x，y），若函数 的反函数 存在但不唯一，记为 ，i=1，2，3，・・・ 。

将区域D分成若干个互不重叠的区域Di，使得在各区域di上反函数

存在且唯一，将推论1中相应的反函数记为 ，则 Z=g（X，Y）的分布密度为：

类似的，也可得出Z=g（X，Y）的分布密度为：

证明 若Z=g（X，Y）关于随机变量Y在区间 上为严格单调函数，则随机变量（X，Z）的联合分布为

所以（X，Z）得联合密度函数为

Z的概率密度为

同理可证当Z=g（X，Y）关于随机变量X在区间 上为严格单调函数时，

下面给出相应的例子，对定理2区域划分法进行应用。

例如，设Z=X2+Y2，则Z的分布密度

其中

由上可知，通过将区域D分成若干个互不重叠的区域Di，使各区域 di上反函数存在且唯一，通过对若干个小区间的积分求和，可得达到求解概率密度的目的。因此，区域划分法是可行的

3.2利用多值函数的一支进行变量变换

定理3 设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为p（x，y），其非零区域为DXY，如果函数

（1）

存在连续偏导数，且有一个反函数

（2）

设（2）式确定的p（x，y）的非零区域为 ；（1）式所确定的映射： ， Duv为 平面的子集；（2）式确定的变换的雅克比行列式

若

则（U，V）的联合密度函数为

证明 由二重积分的变量变换法

（3）

注意到 ，故

由（3）式

设注意到 ，又因为 ，符合概率密度函数的条件，则pu，v就是（U，V）的联合密度函数。

因此利用多值函数的一支，利用雅克比行列式，也可以达到求解概率密度的目的。

参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[M].2 版.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 李思齐，李昌兴，柳晓燕.二维连续型随机变量函数的分布密度的计算[J].大学数学，2011，27（5）：162-166.

[3] 宁荣健，概率论中有关计算公式的改进[J].大学数学，2004，20（5）.

通知函格式篇8

关键词：函数调用 库函数 案例

1 函数调用问题的提出

本人在教学过程中，出现了多次这种问题。在讲授函数的概念、函数的定义和函数的调用之后，给学生出一道题目用函数来实现，通常情况下，该问题如果不用函数方法而用其他方法做的话，学生可能会做得出来，但让他们必须用自定义函数的方法来实现，他们就感觉无从下手，并不是这个问题本身很难，归根结底，学生对于怎么自定义函数，定义多少个参数，怎么在主调函数中调用自己定义的被调函数不知道如何做。从而导致了用函数解决的问题却用其他方法实现。在这里，我个人通过自己的反复思量，为了提高讲授函数调用的教学效果，自己总结了几条经验。

2 函数调用问题方法讨论

要知道函数怎么调用，首先得知道用户怎么定义函数。

2.1 函数定义的一般格式：

类型标识符[3] 函数名（形式参数列表）

{ 声明部分

语句部分

}

这个格式定义的函数为有参函数，“形式参数列表”中的参数被称为形参，有些函数是无参函数，则“形式参数列表”可以没有，但括弧不能省略，即无参函数。

函数在使用之前要先声明、定义，然后才能调用[1]。

2.2 函数调用的一般形式为：

函数名（实参表列）

函数在程序中出现的位置来分，可以有以下三种函数调用方式[2]：

①函数语句

把函数调用作为一个语句，这种方式不要求函数带回值，如打印图形、显示字符串等。只要函数完成一定的操作。

②函数表达式

函数出现在一个表达式中，这种表达式称为函数表达式。要求函数带回一个确定的值以参加表达式的运算。如：c=10*max（a，b），其中，函数max就是表达式的一部分。

③函数参数

函数调用作为一个函数的实参，如：printf（“%d”，max（a，b））；是把max（a，b）作为printf函数的一个参数。

2.3 函数问题案例讲解

①首先从库函数的调用案例着手讲授，学生自然就很轻松上手。

众所周知，库函数中的数学函数学生从高中就经常接触到，在计算机教学的其他课程里面也会经常出现，如excel里面就有数学函数，学生们已经很熟悉了，如下面一道编程题就需要调用库函数解决。

用C语言求14+24+34+……94+104之和。

#include"math.h"

main（）

{int n=10，k=4；

long y=0；

for（i=1；i

y=y+pow（i，k）；

printf（"%d"，y）；

}

其中，pow（i，k）就是系统自带的数学函数，i和k是它自带的两个参数，其功能是计算i的k次方。通过这个系统数学函数的调用程序的编写及调试，学生们很轻松就知道库函数怎么调用，即函数名加上函数括号里面的参数。

另外大家使用库函数的时候，一定要在本文件开头用#include命令，将调用有关库函数时所需用到的信息“包含”到本文件中来。该程序开头用语句# include"math.h"，即可将数学库函数“包含”到主函数中来。

②用大家熟悉且简短的函数编程案例入手讲解。

典型小案例教学具有很强的启发性，既有利于学生学习，也有利于老师教授。

用C语言函数实现1+2+3+……+20之和。

long fnsum（int n）

{int i；

long y=0；

{for（i=1；i

y=y+i；}

return y；

}

main（）

{

int n=20；

printf（"%d"，fnsum（n））；

}

在这个程序代码中，程序行long fnsum（int n）是自定义函数，fnsum是函数名，n是定义的一个形参，也仅需要一个，表示1+2+……+20共有多少个数求和。由于fnsum函数代码写在main（）函数之前，可以不进行声明。反之，若fnsum函数代码写在main（）函数之后，必须用代码long fnsum（int n）；进行声明。fnsum函数功能即是题目要完成的功能实现，最后通过main（）主函数定义一个实参n并赋值20，在printf函数中通过代码printf（"%d"，fnsum（n）），调用了自定义函数fnsum，并将实参n=20传递给自定义函数fnsum（int n）中的形参n，最终将结果打印输出。

在main（）主函数中，fnsum这个函数调用也可以改成如下：

main（）

{

int n=20，sum；

sum=fnsum（n）；

printf（"%d"，sum）；

}

这个是通过函数表达式的方法进行函数调用，通过这个自定义函数的简单案例讲解，学生很轻松能够理解函数怎么自定义并在main（）主函数中调用。

3 结束语

本文分析了C语言函数调用学习过程中存在的问题，在今后的教学过程中，本人将进一步努力提升自己，希望能总结出更多更好的方法来改进函数教学方法，使学生能够更轻松地上手学习。

参考文献：

[1]汪明光.C++语言中函数指针的分析与应用[J].巢湖学院学报，2006，8（3）：30-34.

[2]谭浩强.C语言程序设计（第三版）[M].北京：清华大学出版社，2005.143-150.