专题一 三角函数与平面向量(2)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 将函数[y=sin（2x+φ）]的图象沿[x]轴向左平移[π8]个单位后，得到一个偶函数的图象，则[φ]的一个可能取值为（ ）

A. [3π4] B. [π4] C. 0 D. -[π4]

2. 已知向量[AB]与[AC]的夹角为[120°]，且[AB=3，AC=2]，若[AP=λAB+AC]，且[APBC]，实数[λ]的值为（ ）

A. [712] B. [512] C. [56] D. [813]

3. 已知函数[f（x）=cosxsin2x]，下列结论中错误的是（ ）

A. [y=f（x）]的图象关于[（π，0）]中心对称

B. [y=f（x）]的图象关于直线[x=π2]对称

C. [f（x）]的最大值为[32]

D. [f（x）]既是奇函数，又是周期函数

4. 设[O（0，0），A（1，0），B（0，1）]，点[P]是线段[AB]上一个动点，[AP=λAB]，若[OP?AB≥PA?PB]，则实数[λ]的取值范围是（ ）

A. [12≤λ≤1] B. [1-22≤λ≤1]

C. [12≤λ≤1+22] D. [1-22≤λ≤1+22]

5. 已知[sinα+2cosα=102]，则[tan2α=]（ ）

A. [43] B. [34] C. -[34] D. -[43]

6. 函数[y=xcosx+sinx]的图象大致为（ ）

[A B]

[C D]

7. 已知[a，b]是单位向量，[a?b=0]，若向量[c]满足[c-a-b=1]，则[c]的取值范围是（ ）

A. [[2-1，2+1]] B. [[2-1，2+2]]

C. [[1，2+1]] D. [[1，2+2]]

8. 已知[α，β]均为锐角，且满足[sin2α=cos（α-β）]，则[α]与[β]的关系是（ ）

A. [α][

C. [α][>][β] D. [α]+[β]=[π2]

9. 设当[x=θ]时，函数[f（x）=sinx-2cosx]取得最大值，则[cosθ=]（ ）

A. [255] B. -[255] C. [55] D. -[55]

10. 设[ABC]，[P0]是边[AB]上一定点，满足[P0B=14AB]，且对于边[AB]上任一点[P]，恒有[PB?PC≥P0B?P0C]，则（ ）

A. [∠ABC=90°] B. [∠BAC=90°]

C. [AB=AC] D. [AC=BC]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. [w]是正实数，设[Sw={θf（x）=cos（wx+wθ）]是奇函数[}]，若[?a∈R，Sw?（a，a+1）]的元素不超过2个，且有[a]使[Sw?（a，a+1）]含有2个元素，则[w]的范围是 .

12. 已知[P（a，2a），A（-1，1），B（3，3）]，使[PA]与[PB]夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是 .

13. 设[P]是[ABC]内一点（不包括边界），且[AP=][mAB+nAC（m，n∈R）]，则[m2+n2-2m-2n+3]的取值范围是 .

14. 在面积为2的[ABC]中，[E，F]分别是[AB，AC]的中点，点[P]在直线[EF]上，则[PC?PB+BC2]的最小值是 .

三、解答题（15、16各10分，17、18各12分，共44分）

15. 已知向量[m=（sinx，1）， n=（3Acosx，][A3cos2x）]， 函数[f（x）=m?n]的最大值为6.

（1）求[x]；

（2）将函数[y=f（x）]的图象向左平移[π12]个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的[12]，纵坐标不变，得到函数[y=g（x）]的图象. 求[g（x）]在[[0，5π24]]上的值域.

16. 在[ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，][c]，且[2cos2A-B2cosB-sin（A-B）sinB+][cos（A+C）][=-35].

（1）求[cosA]的值；

（2）若[a=42]，[b=5]，求向量[BA]在[BC]方向上的投影.

17. 已知椭圆[C1：x2a2-y2b2=1（a>b>0）]的右焦点为[F]，上顶点为[A，P]为[C1]上任一点，[MN]是圆[C2：x2+（y-3）2=1]的一条直径，若与[AF]平行且在[y]轴上的截距为[3-2]的直线[l]恰好与圆[C2]相切.

（1）求椭圆[C1]的离心率；

（2）若[PM?PN]的最大值为49，求椭圆[C1]的方程.

18. 如图，游客从某旅游景区的景点[A]处下山至[C]处有两种路径. 一种是从[A]沿直线步行到[C]，另一种是先从[A]沿索道乘缆车到[B]，然后从[B]沿直线步行到[C]. 现有甲、乙两位游客从[A]处下山，甲沿[AC]匀速步行，速度为[50m/min]. 在甲出发[2min]后，乙从[A]乘缆车到[B]，在[B]处停留[1min]后，再匀速步行到[C]. 假设缆车匀速直线运动的速度为[130m/min]，山路[AC]长为[1260m]，经测量，[cosA=1213，cosC=35].

（1）求索道[AB]的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在[C]处互相等待的时间不超过[3]分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？