专题六 立体几何与空间向量(7)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 已知[ΔABC]的斜二测直观图是边长为2的等边[ΔA1B1C1]，那么原[ΔABC]的面积为（ ）

A. [23] B. [3] C. [26] D. [6]

2. 在空间直角坐标系[O-xyz]中，已知点[Px，y，z]，下列叙述中正确的个数是（ ）

①点[P]关于[x]轴的对称点的坐标是[P1x，-y，z] ②点[P]关于[yOz]平面的对称点的坐标是[P2x，-y，-z] ③点[P]关于[y]轴的对称点的坐标是[P3x，-y，z] ④点[P]关于原点的对称点的坐标是[P4-x，-y，-z]

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

3. 设[OABC]是四面体，[G1]是[ΔABC]的重心，[G]是[OG1]上一点，且[OG=3GG1]，若[OG=xOA+][yOB+zOC]，则[x，y，z]为（ ）

A. [14，14，14] B. [34，34，34]

C. [13，13，13] D. [23，23，23]

4. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

[正视图][侧视图][俯视图] [2] [2] [2] [4] [1] [1]

A. [16+2π] B. [8+2π]

C. [16+π] D. [8+π]

5. 设[l，m，n]表示不同的直线，[α，β，γ]表示不同的平面，给出下列四个命题：①若[m∥l]，且[mα]，则[lα]；②若[m∥l]，且[m∥α]，则[l∥α]；③若[α?β=l，β?γ=m，γ?α=n]，则[l∥m∥n]；④若[α?β=m，β?γ=l，γ?α=n]，且[n∥β]，则[l∥m]. 其中正确命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 已知正三棱锥[P-ABC]，点[P，A，B，C]都在半径为[3]的球面上，若[PA，PB，PC]两两互相垂直，则正三棱锥[P-ABC]的高为（ ）

A. [33] B. [233] C.[3] D. [23]

7.已知正四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]中，[AA1=2AB]，则[CD]与平面[BDC1]所成角的正弦值等于（ ）

A. [23] B. [33] C. [23] D. [13]

8. 如图，三角形[ABC]的边长分别为[3，4，5，D]为[AB]的中点，将三角形[BCD]沿[CD]折起，折成一个三棱锥[B-ACD]，则三棱锥[B-ACD]的体积的最大值为（ ）

A. [185] B. [165] C. [145] D. [125]

[ ] 9. 如图所示，[OA]是圆锥底面中心[O]到母线的垂线，垂足为[A，OA]绕轴[SO]旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴[SO]的夹角的余弦值为（ ）

A. [123] B. [12] C.[12] D.[124]

10. 如图，已知四面 [ ]体[ABCD]中，[DA=DB][=DC=1]，且[DA，][DB，DC]两两互相垂直，在该四面体表面上与点[A]的距离是[233]的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（ ）

A. [3π2] B. [3π] C. [53π6] D. [3π3]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知长方体[ABCD-A′B′C′D′]的三条棱长分别是[AA′=1，AB=2，AD=4]，则从[A]点出发，沿长方体的表面到[C′]的最短距离是 .

[ ]12. 如图，在三棱锥[O-ABC]中，三条棱[OA，OB，OC]两两垂直，且[OA>OB>OC]，分别经过三条棱[OA，OB，OC]作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为[S1，S2，S3]，则[S1，S2，S3]的大小关系为 .

13. 三棱锥[A-BCD]的外接球为球[O]，[ΔABC与ΔACD]都是以[AC]为斜边的直角三角形，[ΔBCD]是以[BD]为斜边的等腰直角三角形，且[BD=2]，向量[DA]与[AB]的夹角为[2π3]，则球[O]的表面积为 .

14.已知四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]中，侧棱[AA1底面ABCD]，且[AA1=2]，底面[ABCD]的边长均大于2，且[∠DAB=45°]，点[P]在底面[ABCD]内运动，且在[AB，AD]上的射影分别为[M，N]，若[PA=2]，则三棱锥[P-D1MN]的体积的最大值为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 已知四棱锥[P-ABCD]，底面[ABCD]为矩形，侧棱[PA底面ABCD，]其中[BC=2AB=2PA=6，][M，N]为侧棱[PC]上的两个三等分点，如图所示.

（1）求证：[AN∥平面MBD]；

（2）求异面直线[AN与PD]所成角的余弦值；

（3）求二面角[M-BD-C]的余弦值. [ ]

16. 如图，已知菱形[ABCD]的边长为6，[∠BAD=60°，AC?BD=O].将菱形[ABCD]沿对角线[AC]折起，使[BD=32]，得到三棱锥[B-ACD].

（1）若点[M]是棱[BC]的中点，求证：[OM∥平面ABD]；

（2）求二面角[A-BD-O]的余弦值；

（3）设点[N]是线段[BD]上的一个动点，试确定点[N]的位置，使得[CN=42]，并证明你的结论.

17. 如图，[PO平面][ABCD]，点[O]在[AB]上，[EA∥PO]，四边形[ABCD]为直角梯形，[BCAB，][BC=CD][=BO=PO，][EA=AO=12CD.]

（1）求证：[PE]平面[PBC]；

（2）直线[PE]上是否存在点[M]，使[DM∥平面PBC]？若存在，求出点[M]；若不存在，请说明理由；

（3）求二面角[E-BD-A]的余弦值.

[ ]

18. 如图，棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的所有棱长都等于2，[∠ABC]和[∠A1AC]均为[60°]，平面[AA1C1C平面ABCD.]

（1）求证：[BDAA1]；

（2）求二面角[D-AA1-C]的余弦值；

（3）在直线[CC1]上是否存在点[P]，使[BP∥平面DA1C1]？若存在，求出点[P]的位置；若不存在，请说明理由.

[ ]