专题六 立体几何与空间向量(4)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.已知向量[a=2，4，x，b=2，y，2]，若[a=6，ab]，则[x+y]的值是（ ）

A. [-3或1] B. [3或-1] C.[-3] D. [1]

2. 已知[m，n，l]为三条不同的直线，[α，β]为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A. [α∥β，m?α，n?β?m∥n]

B. [lβ，αβ?l∥α]

C. [mα，mn?n∥α]

D. [α∥β，lα?lβ]

3. 设[m，n]是平面[α]内的两条不同直线，[l1，l2]是平面[β]内的两条相交直线，则[α∥β]的一个充分而不必要条件是（ ）

A. [m∥β且l1∥α] B. [m∥l1且n∥l2]

C. [m∥β且n∥β] D. [m∥β且n∥l2]

4. 在三棱锥[A-BCD]中，侧棱[AB，AC，AD]两两垂直，[ΔABC，ΔACD，ΔADB]的面积分别为[22，32，62]，则三棱锥[A-BCD]的外接球的体积为（ ）

A. [6π] B. [26π] C. [36π] D. [46π]

5. 下列命题中正确的是（ ）

A. 在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行

B. 已知[α，β]表示两个不同的平面，[m]为平面[α]内的一条直线，则“[αβ]”是“[mβ]”的充要条件

C. 在三棱锥[S-ABC]中，[SABC，SBAC]，则点[S]在平面[ABC]内的射影是[ΔABC]的垂心

D. [a，b]是两条异面直线，[P]为空间一点，过点[P]总可以作一个平面与[a，b]之一垂直，与另一条平行

6. 已知正三棱锥[P-ABC]的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）

[ ] [4][主视图][俯视图]

A. [4π] B. [12π] C. [16π3] D.[64π3]

7. 已知四边形[ABCD]是边长为4的正方形，[E，F]分别是边[AB，AD]的中点，[GC]垂直于正方形[ABCD]所在的平面[α]，且[GC=2]，则点[B]到平面[EFG]的距离为（ ）

A. [3] B. [5] C. [21111] D. [1111]

[ ]8. 如图，鼓状的几何体是由半径为5的球[O]经过两个水平平面切割而成，上下底面都是半径为4的圆，五点[O1，O，O2，A，D]同在平面[α]上，而另五点[O1，O，O2，B，C]同在平面[β]上.若[αβ]，则直线[OB]与[AC]所成角的余弦值为（ ）

A. [1785] B. [52] C. [1715] D. [1513]

[ ]9. 如图，在棱长均为2的正四棱锥[P-ABCD]中，点[E]为[PC]的中点，则下列命题正确的是（ ）

A. [BE∥]平面[PAD]，且直线[BE]到平面[PAD]的距离为[3]

B. [BE∥]平面[PAD]，且直线[BE]到平面[PAD]的距离为[263]

C. [BE]与平面[PAD]不平行，且直线[BE]与平面[PAD]所成的角大于30°

D. [BE]与平面[PAD]不平行，且直线[BE]与平面[PAD]所成的角小于30°

10. 已知直线[l]垂直于平面[α]，垂足为[O]，在矩形[ABCD]中，[AD=1，AB=2]，若点[A]在[l]上移动，点[B]在平面[α]上移动，则[O]，[D]两点间的最大距离为（ ）

A. [5] B. [2+1] C. [3] D. [3+22]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 在四面体[OABC]中，棱[OA，OB，OC]两两垂直，且[OA=1，OB=2，OC=3]，[G]为[ΔABC]的重心，则[OG?OA+OB+OC]等于 . [ ]

12. 如图，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为1，[E，F]分别为线段[AA1，B1C]上的点，则三棱锥[D1-EDF]的体积为 .

[ ]13.如图，三棱柱[ABC-A1B1C1]的侧面[C1CBB1]底面[A1B1C1]，点[C]在底面[A1B1C1]上的射影在线段[C1B1]上且[A1C]与底面成45°角，[AB=AC=2，∠C1A1B1=90°]，则点[C]到平面[A1B1C1]的距离的最小值为 .

14.已知[ΔABC]的三边长分别为[AB=5，BC=4，AC=3]，[M]是[AB]边上的点，[P]是平面[ABC]外一点.给出下列四个命题：①若[PA]平面[ABC]，则三棱锥[P-ABC]的四个面都是直角三角形；②若[PM]平面[ABC]，且[M]是[AB]边的中点，则有[PA=PB=PC]；③若[PC=5]，[PC]平面[ABC]，则[ΔPCM]面积的最小值为[152]；④若[PC=5]，[P]在平面[ABC]上的射影是[ΔABC]的内切圆的圆心，则点[P]到平面[ABC]的距离为[23]. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 已知圆[O]的直径[AB=2R，PA=AB]，且[PA]垂直于圆[O]所在的平面，点[C]为圆[O]上异于点[A，B]的任意一点.

（1）若[AEPB]于点[E]，[AFPC]于点[F]，求证：[PBEF]；

（2）当三棱锥[P-ABC]的体积为[33R3]时，求二面角[A-PB-C]的余弦值.

[ ]

[ ]16. 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]为直角梯形，[AD∥BC，][∠ADC=90°]，平面[PAD]平面[ABCD]，[Q]为[AD]的中点，[M]是棱[PC]上的点，[PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3].

（1）求证：平面[PQB]平面[PAD]；

（2）若[M]为棱[PC]的中点，求异面直线[AP]与[BM]所成角的余弦值；

（3）若二面角[M-BQ-C]的大小为30°，求[QM]的长.

17. 已知等腰梯形[PDCB]（如图1所示）中，[PB=3，DC=1，PD=BC=2]，[A]为[PB]边上一点，且[PA=1]，将[ΔPAD]沿[AD]折起，使平面[PAD]平面[ABCD]（如图2所示）.

[图1][图2]

（1）证明：平面[PAD]平面[PCD]；

（2）试在棱[PB]上确定一点[M]，使截面[AMC]把该几何体分成的两部分多面体[PDCMA]与三棱锥[M-ACB]的体积的比为[2∶1]；

（3）在点[M]满足（2）的情况下，求二面角[M-AC-P]的余弦值.

18.某建筑物的上半部分是多面体[MN-ABCD]，下半部分是长方体[ABCD-A1B1C1D1]（如图1）.该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图2，其中正（主）视图是由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成.

[2] [2] [4] [1][正视][图1][图2][正（主）视图][侧（左）视图][侧视] [4] [1]

（1）求直线[AM]与平面[A1B1C1D1]所成角的正弦值；

（2）求二面角[A-MN-C]的余弦值.