自主探究 积极建构 实现课堂高效

一、教学背景

《义务教育数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”《实数》选自浙教版第三章第二节，本节课主要是通过学生的自主探索和合作交流，让学生体验无理数的无限不循环性，经历数的第二次扩展。对“无理数的无限不循环性”这个内容的教学有如下的片段。

二、教学片段

生1：将边长为2的正方形的四个角分别往中间对折，使得折叠后完全重叠，得到一个新的面积为2的正方形，它的边长就是。（有学生不明白怎么折叠）

生2：像上节课上探究题那样的叠法。（教师及时在黑板上画出图形，使所有学生获得认可）

师：既然是面积为2的正方形的边长，那么究竟有多大呢？

（学生有无从下手的感觉，少数学生开始动手画图，有的拿出计算器，很快有学生举手。）

生1：我用计算器求得=1.414213562。

生2：我先画了一个边长为2的大正方形，再构造出面积为2的小正方形，然后量出它的边长是1.4。

（学生的回答与本内容的方法相差很大，但按照学生已学知识我觉得也很正常，觉得还是引导学生继续探究，也许会出现转机。此时我鼓励学生合作交流。片刻后有学生发言。）

生3：测量得到是近似值，所以应该等于1.414213562。

（学生在下面为找到“正确”答案高声欢呼。）

……

师：是个有理数吗？

（学生摇摇头说，不知道。此时，学生的注意力不再依赖“电脑”，而是开动“人脑”积极思考。）

师：是不是一个有理数，只要验证它是否为整数或分数。

生：老师，我能否定它不是整数，面积为1的正方形的边长是1，面积为4的正方形的边长为2，而面积为2的正方形比1大比4小，所以它的边长应该在1和2之间。

（教师对学生的说理点头赞许，以激发学生成功、自信的情绪，同时激励其他学生积极思维。）

师：是1点几的数，它到底应等于多少呢？

（由于受前面计算器求值的影响，学生想到了1.4，1.42=1.96，发现面积比2小，又验证是1.52=2.25比2大。学生感到奇怪，怎么会这样呢？是1.5还是1.4学生一时拿不定主意，经过独立思考，合作交流，猜测，验证，直至在争论中逐步达成一致意见，的整数部分是1，十分位上是4，百分位上是多少又成了新的问题，如何估计呢？）

生：可以分别求1.412，1.422，…1.492，找到与2最接近的两个数。

生：我求得是1.412

师：如果这个数在1.482与1.492之间，那最多要求到第九次才找到，有没有更快的办法呢？（学生再次陷入思考）

生：可以从1.4和1.5中间那个数1.45开始验证，如果1.452偏大，就往前验，反之往后，这样最多五次就可以找到。（其他学生都感到很有道理。）

（至此学生已经有了很好的经验，用刚才的方法，借助计算器，很快分别求出它的千分位、万分位等数位上的数，但是对于 究竟等于多少还是无法求出，因为每次总感觉小了一点点，对照以前的有限小数和无限循环小数（即分数），感到无法求出的确切值，并初步感受到这个数的无限性和不循环性。）

生：既然求不完，又是没有规律的，那么这个数是不存在的。

（由于前面已经验证过，很多学生马上反驳，这个数是存在的，它表示面积为2的正方形的边长。）

师：（趁热打铁提出）你会估计的整数部分吗？

（此题旨在进一步加强与巩固学生的估算能力，估算对个体形成正确的解题策略是十分有用的，在生活实际中有着很强的实用性和个性。）

师：实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数。例如…由于这些数的精确值无法得到，所以我们只能引入符号“”来表示一个非负数的算术平方根。其实圆周率也是一个这样的数，所以我们用π来表示它，3.14是它的近似值，现在用世界上运算速度最快的超级计算机已求得小数点后面的第2061亿位了。

……

三、教后反思与启示

1.探究、构建须指向数学的本质

数学学习需要学生经历亲身的体验，才能获得切实的感受，感受越深，理解数学知识越深刻，探究是让学生亲身体验感知学习和认知的过程。在有些探究教学中，教师设置过多的学生探究环节和情境，安排了没有必要的合作探究，从时间和学生的注意力上影响了探究学习的有效性，影响了学生对数学知识特别是思想方法的理解掌握。

2.教师须适时适当地点拨，引导学生的探究

著名德国教育家第恩多惠说过：“不好的教师传授真理，好的教师让学生发现真理。”新课程对教师提出了更高的要求，学生的探究活动决不是整节课让学生活动、研究。每节数学课堂教学都必定要完成一定的教学任务，教学中只有将两个主体合理地整合，才能有最佳的效果。它要求教师在教学过程中适时“引导”，正确“引导”才能发现问题，进而解决问题。要求教师加强对学生的数学活动时间的设计与指导，支持“学生解决问题”的过程。

3.关注学生原有认知水平和结构，建构知识网络

美国著名心理学家奥苏贝尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应就此进行教学。”学习并不是知识的简单积累，它包含新、旧经验的冲突而引发的观念转变和结构重组，是新旧经验的、双向的相互作用的过程。

4.渗透数学方法、思想，提升探究学习层次

数学思想方法是数学课程的一个重要内容，因此数学思想方法的渗透是学生探究学习的重要目标。

“有多大”的探究过程体现着无理数转化为已学有理数的转化思想，还包含着逼近的思想，这样的思想在后续数学内容的学习中会有更多更广的运用。在得到了有多大后，教师适时地安排了“你会估计的整数部分吗？”的练习，以练习为载体将解决问题的方法和思想（逼近思想）巧隐其中，让学生独立分析和解决问题，这样突出了学生对已学方法和思想的渗透和巩固，更有利于进一步培养学生获取新知识的方法。