例析中考面积类问题的解法

面积问题在中考中占有很重要的地位，主要考查我们分析问题和解决问题的能力.下面以2011年中考题为例，归纳这类问题的解法，供你复习时参考.

一、规则图形面积的解法

1．利用三角形的面积公式求解

例1 （2011年金华卷）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是 .

解：在平行四边形ABCD中，BC=AD=4，E为BC中点，所以BE=CE=2，BEF≌CEH.EF=EH.SDEF=■SDFH.

在RtBEF中，∠ABC＝60°，

BF=CH=1，EF=■=EH.

DH=DC+CH=4.SDFH=■ FH?DH=4■.SDEF=2■．

2．利用平行四边形的面积公式求解

例2 (2011年南京卷)如图2，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DEAB，则菱形ABCD的面积为 cm2．

解：E是AB的中点，AB=2cm，

AE=1cm.

在RtAED中，DE=■=■=■.

S菱形ABCD=AB?DE=2×■=2■(cm2).

3．利用扇形的面积公式求解

例3 （2011年常州卷）已知扇形的圆心角为150°， 对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是 cm，面积是 cm2．（结果保留π）

解：设扇形的半径为Rcm，则■=20π，解得R=24.

S扇形=■lR=■×20π×24=240π(cm2).

4．利用相似三角形的性质求解

例4 （2011年茂名卷）如图3，在等腰ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2．

（1）求证：OD＝OE；

（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；

（3）若AB＝3DE，DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．

解：（1）（2）略.

（3）由(2)可知：DE∥AB，DCE∽ACB.

■=■■，即■=■■=■，

SACB=18. S四边形ABED=SACB-SDCE=18-2=16.

温馨小提示：规则图形的面积求解常要用到以下知识.

（Ⅰ）面积公式：

（Ⅱ）基本结论：

（ⅰ）等底（同底）等高(同高)的三角形的面积相等；

（ⅱ）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

二、不规则图形面积的解法

1．图形变换法

(1)旋转变换法

例5 （2011年黔南卷）如图4，A和B都与x轴、y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=■的图像上，则阴影部分的面积等于 （不取近似值）.

解：将第一象限圆中的阴影部分绕原点O旋转180°后，恰好与第三象限中圆的空白部分重合.因此阴影部分的面积恰好等于一个圆的面积.

圆心在y=■上，设圆的半径为r，r2=1，即r=1.

圆的面积是π，即阴影部分的面积为π.

(2)对称变换法

例6 （2011年宜宾卷）如图5，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为頂点且过A、D两点的抛物线与以O为頂点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则阴影部分的面积是 ．

解：抛物线与正方形都是轴对称图形，将y轴右边的阴影部分沿y轴对折到左边后，恰能与y轴左边的空白部分重合，因此，阴影部分的面积为正方形ABCD的面积的一半，即S=■×2×2=2.

(3)平移变换法

例7 （2011年天水卷）如图6，CD是半圆O的直径，半圆O的弦AB与半圆O'相切，点O'在CD上，且AB∥CD，AB=4，则阴影部分的面积是 .(结果保留π)

解：将图6中的半圆O'向右平移，使点O'与点O重合，得到图7，两个图形中的阴影部分的面积相等.

在图7中， AB切半圆O'于点E，连接OA、OE，则OEAB.

由垂径定理，得AE=■AB=2，且 OA2-OE2=AE2=4.

阴影部分的面积为■π?OA2-■π?OE2=■π（OA2-OE2）=2π.

温馨小提示：平移、旋转、轴对称变换后，像与原像的面积相等. 当所求的阴影部分的面积与抛物线、双曲线、矩形等图形有关时，常利用平移、旋转或轴对称将分散的面积集中起来思考.

2．等积法

例8 （2011年龙东卷）如图8，C、D是半圆周上的三等分点，圆的半径为6cm，则阴影部分的面积为 cm2.(结果保留π)

解：设半圆的直径为AB，圆心为O.

连接CD，则■=■=■，可得CD∥AB.

连接OD、OC，则SOCD=SPCD.

因此，S阴影=S扇形OCD=■π×62=6π.

温馨小提示：把阴影部分进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分的面积.

3．和差法

例9 （2011年福州卷）如图9，在ABC中，∠A=90°， O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD.已知BD=2，OD=3.

求：（1）tanC；

（2）图中两部分阴影面积的和.

解：（1）tanC=tan∠BOD=■=■.

（2）连接OE，则OEAC，设O与BC交于M、N两点. 四边形AEOD是正方形.

∠DOE=90°. ∠COE+∠BOD=90°.

在RtEOC中，tanC=■=■，OE=3，EC=■.

S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE=■SO=■π×32=■π.

S阴影=SBOD+SCOE-（S扇形DOM+S扇形EON）=■-■π.

温馨小提示：当图形比较复杂时，可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算.

4．割补法

例10 （2011年吉林卷） 如图10，将抛物线l1：y＝-x2平移得到抛物线l2，且l2经过点O(0，0)和点A(4，0)，l2的頂点为点B，它的对称轴与l1相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S. 解答下列问题：

（1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴、頂点坐标；

（2）求点C的坐标，并直接写出S的值．

解：（1）抛物线l2的解析式为y=-(x-2)2+4.

其对称轴是x=2，頂点坐标是(2，4).

（2）当x＝2时，y＝-x2＝-4.

点C的坐标为(2，-4)．

连接OB，OC，将直线OB与抛物线围成的阴影部分“裁剪”下来，恰好能“补”到直线OC与抛物线围成的空白处，由此可知，原图阴影部分的面积与BOC的面积相等.

设BC与x轴的交点为M，则S=■×BC×OM=■×8×2=8．

温馨小提示：割补法能把不规则图形割补成规则图形，当所给图形的面积不能用图形变换法、和差法等方法求解时，要设法将图形进行割补，转化为熟悉的图形的面积求解.