方程应用题归类解析

方程应用题是中考的重点. 考题的背景鲜活，具有很强的时代感.下面以2011年中考题为例，对常见应用题进行归类解析，希望对你的复习有所帮助.

一、增长率问题

例1 (2011年日照卷)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资 2亿元建设廉租房，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．求每年市政府投资的增长率.

解：设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得

2+2（1+x）+2（1+x）2 = 9.5.

解得x1 = 0.5， x2 = -3.5（舍去）．

答：每年市政府投资的增长率为50%．

温馨小提示：设原来的量为a，后来的量为b，增长率或下降率为x，期数为n，则有a(1±x)n＝b. 增长用“＋”，下降用“－”．

二、行程问题

例2 （2011年珠海卷）八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，过了40分钟后，其余学生乘汽车出发，结果两者同时到达，若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度.

解：设骑自行车同学的速度为x千米/分，根据题意得

■-■ = 40，解得x = 0.25.

经检验，x = 0.25是原方程的解，也符合题意.

答：骑自行车同学的速度为0.25千米/分.

温馨小提示：行程问题中，路程=速度×时间．三个量中，通常已知一个量，设出第二个量，用第三个量的相等关系来列方程，注意单位的统一．分式方程，要验根，少了检验环节就会失分．

三、工程问题

例3 （2011年泰安卷）某工厂承担了加工2 100个零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务，乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍．求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？

解： 设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个．根据题意，得■-■=12 ，解得x = 60．

经检验，x＝60是方程的解且符合题意. 1.5x = 1.5×60 = 90．

答：甲、乙两车间每天加工零件分别为60个、90个．

温馨小提示：工作量=工作效率×工作时间.一般将全部工作量看作整体1，此时各部分的工作量之和为1. 若给出了明确的工作量，这时不能看作整体1.另外，列分式方程解应用题需“双重检验”，即检验求出的值是否是增根，是否符合题意．

四、利润问题

例4 （2011年深圳卷）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是( ).

A. 100元 B. 105元 C. 108元 D. 118元

分析：设进价为x元，则200×0.6=x(1+20%)，解得x=100. 选A.

温馨小提示：利润的基本关系式有：①利润=销售价（收入）－进价（成本）；②利润=成本（进价）×利润率.实际销售价=标价×折扣率，打折问题中常以进价不变作相等关系.

五、几何问题

例5 （2011年宿迁卷）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，一边利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．

解：设AB的长度是xm，则BC＝ (6－2x)m，由题意得

x(6－2x)＝4.

解得x1＝1，x2＝2．

当x＝1时，6－2x＝4，符合题意；

当x＝2时，6－2x＝2，矩形的邻边相等了，不符合题意，舍去.

填1．

温馨小提示：几何问题包括平面几何问题与立体几何问题，一般需要用面积或体积公式，将实际问题抽象成数学问题，构造方程模型来处理．

六、数字问题

例6 （2011年宁夏卷）一个两位数的个位数字与十位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．

解：设个位数字为x，十位数字为y，根据题意得

x+y=8，x+10y+18=10x+y. 解得x=5，y=3. 答：这个两位数为35.

温馨小提示：一个两位数，个位上的数是a，十位上的数是b，则这个两位数表示为10b＋a．在解数字问题时，注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系，整体设元思想的运用.

七、调配（分配）与比例问题

例7 （2011年株洲卷）在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加2克，B饮料每瓶需加3克，已知270克添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

解：设A饮料生产x瓶，B饮料生产y瓶，依题意得

x+y=100，2x+3y=270.解得x=30，y=70.

答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.

温馨小提示：解决调配问题要认清部分量、总量以及两者之间的关系，一般要考虑“总量不变”.在比例问题中要考虑总量与分量之间的关系，或量与量之间的比例关系.

八、分段收费问题

例8 （2011年常德卷）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费.

甲说：“我乘出租车走了11千米，付了17元.”

乙说：“我乘出租车走了23千米，付了35元.”

请你算一算出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？

解：设起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元，依题意得

x+(11-3)y=17，x+(23-3)y=35.解得x=5，y=1.5.

答：出租车的起步价是5元，超过3千米后每千米收费1.5元.

温馨小提示：分段收费问题中，基本费用＋超过基本费用外的费用＝实际费用.