浅谈中学数学教学中的数形结合思想

【摘要】直观、形象、具体的教学方法实际上就是把数学问题实物化的方法。实际上，数学作为事物客观存在的一种形式，其中的问题都具备“形”的因素。因而，我们可以说，从理论上讲，任何一个...

摘要：对解决某些数学问题往往能事半功倍，同时对求异思维的培养、训练学生一题多解的能力都不无裨益。文章从不同的方面举例说明其应用的广泛性并讨论了实现数形结合的主要途径。

关键词：数形结合；抽象；直观；坐标联系；审视联系；构造联系

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）43-0099-02

一、“数形结合”的意义

从直观到抽象的思维，再由抽象思维到实践，是认识真理、发展真理的辩证过程。要使学生对抽象的数学概念、定理、法则等真正地理解和掌握，要真正地发展学生的抽象思维，就要采取化抽象为直观、形象、具体的教学方法，“数形结合”便是行之有效的方法之一。

直观、形象、具体的教学方法实际上就是把数学问题实物化的方法。实际上，数学作为事物客观存在的一种形式，其中的问题都具备“形”的因素。因而，我们可以说，从理论上讲，任何一个数学问题都可以发掘其中的“形”，并发挥它的直观作用而给予问题一个实体感的解答，其重要作用自不待言。对于几何问题中的数与形的结合，主要工具便是坐标系的建立有了点与坐标的对应。几何中的“形”的内在本质可以由代数方程来解决，就代数中的问题而言，若发挥“形”的作用，利用“形”来解决，其效果也往往比进行纯数、理的抽象、烦琐甚至是枯燥的推演要好得多。如把方程、不等式、数列问题转化为函数问题，用图形来处理就要一目了然。文字叙述及解析式使之图象化，问题便迎刃而解。在微积分中，抽象的“ε—Ν”“ε—δ”极限方法，用集合的知识形象处理，可使初学者容易抓住问题的实质等，都是用“形”直观地解决问题的生动例子。许多的代数问题，只要我们有意识地从“形”入手去思考和分析，往往更能从整体上把握问题的实质，抓住问题的关键，找到行之有效的解题方法。

二、“数形结合”举隅

众所周知，恰当地将数与形结合起来，对解决某些数学问题往往能事半功倍，同时对学生求异思维的培养、训练一题多解的能力都不无裨益。

1.在实数问题中的应用。

例1：已知a、b、c如图（1），完成下列填空。

（1）a、-a、b、c四个数按从小到大的顺序排列是 ，在数轴上越左的点表示的数越小。

（2）化筒|a|-|a+b|+|c-b|= 。

绝对值表示数轴上的点到原点的距离，它是非负的。

（3）a的相反数是 ，-a 0。

数a的相反数表示在数轴上的数a的点关于原点对称的点的坐标。

数轴是真正意义上的数形结合，首次将数与形有机地结合起来，可以解决有关实数的相关问题。

数轴的直观作用远远不止这些，随着学习的不断深入，在学习有理数加减法法则、无理数、实数、解方程、解不等式等方面，数轴仍有它神奇的直观作用。

2.在解方程中的应用。

例2：若方程x2+（m2-1）+（m-2）=0的两个实数根分别大于1和小于-1，求实数m的取值范围。

分析：方程的解与平面直角坐标系是分不开的，故构造平面直角坐标系，画出函数图象，则例2便可迎刃而解。

解：令y=x2+（m2-1）x+（m-2），依题意其图象应如图（2），则

可得： -2

例3：解方程组■+■=5x-y=12

分析：不难发现■>0、■>0，

这样一来若结合换元思想将方程进一步简化，可设a= ■、b=■，则得a+b=5a■-b■=（■）■

解：根据方程，构造RtABC如图（3）。

其中AB=■，BC=a，AC=b，

又注意到a>0、b>0，故延长AC至D使CD=BC，连结BD，则AD=5（a+b=5），从而BD=■=■=■，

AC=5-a，

所以，在RtABC中，cos∠BCA=■，

又在BCD中，cos∠BCD=■（余弦定理），

显然cos∠BCA=-cos∠BCD，

即■=-■，解之得a=4 b=1。

所以■=4■=1 解得x=15y=3

经检验x=15y=3是原方程组的解。

中学数学中，“数形结合”的事例是相当普遍的，何止以上所述。请各位同仁注意使用，一定会给您的解题带来方便，这对中学数学教学及培养学生的分析问题和解决问题的能力无疑是有益的。应用这种方法的过程其实质是从具体到抽象，再从抽象到具体的循环过程。如何正确、合理、适时地应用它，是一个值得持续的教研课题。它无论作为一种数学方法或数学思想，都必须引起教学者和学习者的足够重视，这种方法的技巧性强，构图方法比较灵活，难度较大，实现数形结合，主要通过三种途径：坐标联系、审视联系、构造联系。值得注意的是，代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则数形结合解题就会出现漏洞。至于任何一个数学问题能否都可以用图形来解，也是一个值得持续研究的课题。我将这些不成熟的看法提出来，请同行们批评指正，以便在此基础上更加深刻地去研究。

参考文献：

[1]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[J].北京：高等教育出版社，2003：69.

[2]于孔武.浅谈数学解题障碍的几种突破方法[J].理科考试研究，1995，（4）：14.

[3]李宗胜.求函数值域的两个巧门[J].中学数学教学教案.1994，（7）：25.

[4]杨文汉.构图解答面面观[J].数学教师，1991，（9）：35.