时间:2022-10-24 02:02:22
古人云:授人以鱼,只供一饭;授人以渔,则终生受用无穷。学知识,更要学方法。在这里笔者谈一谈特殊值法在解数学客观题时的妙用。
所谓特殊值法,就是在某一范围内取一个特殊量,将繁杂的问题简单化,这对于解一些不需整个解题思维过程的客观题,可以收到事半功倍的效果。在一般性的问题中,通过特殊法往往能获得解题的重要信息,发现解决问题的有效途径。特殊值法解题的理论依据是:若对一般情形成立,则对特殊情形也成立;若某种特殊情形成立,则一般情形不一定成立;若对某种特殊情形不成立,则对一般情形也不成立。其关键在于如何寻求特殊值。下面举例说明:
一、取特殊数值
例1在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,则/1+=( )
解析:取特殊数值:不妨令a=3,b=4,c=5,则ABC为直角三角形,=,=0,从而所求的值为。
例2 若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则()
(A)R< P< Q (B)P< Q< R
(C)Q< P< R (D)P< R< Q
解析:不妨令a=100,b=10,则此时P=,Q==lg,R= lg55=lg, 比较可知选B。
二、 取特殊函数
例3已知f(x)是偶函数,xR,当x>0时,f(x)是增函数, 若x10,且|x1|
(A)f(-x1)>f(-x2)(B)f(-x1)
(C)-f(x1)>-f(x2)(D)-f(x1)>f(-x2)
解析:因为“f(x)是偶函数,xR,当x>0时,f(x)是增函数”,所以可以取特殊函数,令f(x)=x2,勾勒出草图,立即可得答案为B。
例4若f(x)、g(x)分别为[-2,2]上的奇函数和偶函数,则函数y=f(x)g(x)的图像一定关于( )对称。
(A) 原点(B)y轴(C)x轴(D)直线y=x
解析:令f(x)=x,g(x) =x2,立即可得结果A。
三、取特殊图形
例5 从P点引出三条两两成60度的射线PA、PB、PC,且PA=6,则A到面PBC的距离是()
(A)(B)3(C)(D)
解析:取棱长为6的正四面体P-ABC,此时正四面体的高就等于A到面PBC距离,不难算出是,故选A。
例6 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为30,则四面体AB1CD1的体积为()
(A)15(B)7.5(C)10(D)6
解析:取特殊平行六面体为正方体,则四面体AB1CD1的体积是正方体体积的三分之一,口算即得结果为C。
注:取正棱柱为特殊棱柱,取正棱锥为特殊棱锥是解立体几何选择题时常用的简便方法。
四、取特殊位置
例7 设P是棱长相等的四面体A-BCD内任意一点,且P到各个面的距离之和是一个定值,则这个定值等于()
(A)四面体的棱长 (B)四面体的斜高
(C)四面体的高 (D) 四面体两对棱间的距离
解法一:直接法――用体积转化法求解。
所以SACB=SBCD=SACD=SABD
VA-BCD=VP-ABC+VP-ACD+VP-BCD+VP-ABD
=SABCh1+SACDh2+SCBDh3+SABDh4
=SABC(h1+h2+h3+h4)
从而有h1+h2+h3+h4=h,故选C。
解法二:取特殊位置,将P点置于四面体的某一个顶点处,口算即得结果为C。
通过这几个例题,我们不难发现用特殊值法解客观题的一些规律:
(1)特殊值法是选取满足题干的特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊图形等代替一般,并由此运算出结果,从而达到快速准确、简明扼要地筛选出“真支”的解题效果。
(2)特殊值法比较适用于结论具有一般性的题目,尤其是适用于“对某一范围或满足某种条件的所有对象,某种属性或某种关系恒成立”这样一类以全称形式出现的命题。
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