在数学活动的海洋里快乐畅游

一、 案例背景

“三角形的内角和是180°”是三角形的一个重要性质，也是“空间与图形”领域的重要内容之一。学好它有助于理解三角形内角之间的关系，同时也是进一步学习几何的基础。在学习本课之前，学生已经掌握了角的分类、度量及三角形的认识和分类。这些都为进一步研究三角形的内角和做了知识储备和心理准备。

笔者在教学设计时，结合当前课改的要求，真实地从学生已有的知识经验出发，围绕教学目标，力图让每一位学生通过具体实际的动手操作、比较思考，参与到问题研究中，在特定活动中积累丰富的数学活动经验，经历由感性认识到理性认识的思维磨炼过程。

二、案例描述

【片段一】对于三角形的内角和，我到底想了解什么？

师：认识三角形家族的三兄弟吗？

生：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

（课件动画演示）锐角三角形：“我的个头大 ，我的内角和最大！”

钝角三角形：“我有一个钝角，我的内角和最大！”

直角三角形：“难道我的内角和最小吗？”

师：它们在比什么呀？

生：内角和。

师：你知道什么是三角形的内角吗？ 谁能上来指指钝角三角形的内角在哪吗？

生边指边说：三角形里面的角就是它的内角。

师：伸出小手，跟老师一起指指锐角三角形的内角：∠1、∠2、∠3。

问：三角形都有几个内角？现在你知道什么是三角形的内角和了吗？

生：三角形三个内角的度数和。

师：三兄弟在比谁的内角和大呢，谁来评判一下？

生：它们的内角和一样大，都是180°。

师：你们觉得呢？咦，这节课还没学呢，你们是怎么知道的？

生1：我们上学期认识角的时候老师给我们介绍过啊！

生2：我早就知道啦！我爸爸告诉我的。

生3：我在课外辅导班学过了！

……

师：那对于这个结论你还有什么想了解的？

生1：是不是所有三角形的内角和都是180°呢？

生2：为什么三角形的内角和会是180°呢？

生3：我们有什么办法能证明是180°吗？

……

师：咱们中国有句古话是这样说的：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。意思是说：虽然我们已经知道这个结论了，但只有自己亲身去实践、去验证，才能更深入地理解这个知识。三角形的内角和到底是不是180°，为什么是180°，想不想亲自验证一下？

生齐声说：想！

【反思一】

在本课设计之初，我就在思考这个问题：对于三角形的内角和，学生到底想了解些什么？教材设计是预设学生不知道三角形的内角和是多少，希望通过一系列操作活动的探索来得出结论。事实上对于“三角形内角和是180°”这个结论，学生并不陌生。我在不同学校若干四年级班级做调查，几乎所有学生都能清楚地说出三角形三个内角的和是180°，但是他们却不知道怎样才能证明三角形的内角和是180°。因此，我的教学设计围绕学生真正想了解的 “怎么证明是180°”等问题顺势而为：交流质疑―动手验证―得出结论。

【片段二】 为什么我的三角形内角和不是180°？

师：好，还记得刚才争论的三兄弟吗？它们正等着大家帮忙验证内角和是不是180°呢！想一想，怎样验证？

生：用量角器量。量完以后再把三个角度加起来看看是不是180°。

师：你们觉得这个方法可行吗？好，接下来同桌合作验证，任意选择一个三角形，像这样先标出这个三角形的三个内角，然后一人量角，一人记录数据并计算。

同桌合作并汇报三种三角形的测量结果和内角和，师板书记录：

锐角三角形：43°+65°+68°=176°

直角三角形：90°+35°+55°=180°

钝角三角形：125°+35°+20°=180°

师：和你们的结果一样吗？有没有不一样的？

记录其他组的内角和结果：178°、182°……

生：难道我的三角形内角和不是180°吗？这是怎么回事呀？

师：老师刚才发现个别小组一边量一边改数据，就想凑到内角和是180°。而大部分小组非常诚实地记录下测量的数据，都是严谨的小数学家！观察一下，有几十度吗？有200多度吗？这些数据都有什么共同点？

生：都在180°左右！

师追问：你知道为什么吗？

生：在测量时可能会产生一些误差。

师追问：你们怎么知道是误差而不是错误？

生：这些结果都在180°左右，是由于误差造成的！

师：那你根据结果能完全肯定三角形的内角和是180°吗？

生想了想，摇摇头。

师：那你们来评价一下用测量的方法来验证好不好？有没有其他更好的方法呢？

【反思二】

对于学生而言，要验证三角形的内角和是180°最容易想到的方法就是用量角器测量每个内角的度数，再把它们加起来。在动手操作前几乎所有学生对这个方法都是非常认可并认为一定能证明三角形的内角和是180°。然而在实际动手操作、记录数据的过程中有的学生就发现了一些问题：他的三角形内角和不是180°！这个与已知结论矛盾的结果激起了学生思维的碰撞，他们迫切地希望去探究背后的原因，进而发现原本觉得天衣无缝的证明方法其实是有缺陷的，进而产生了对其他更完善的验证方法的思考和探究。做中学、做中思、做中得！我相信“测量可能会产生误差”这个道理已深深地印在了学生的脑海中，也将广泛运用于他们后续的学习中。

【片段三】为什么我的三角形三个角折不到一起？

师：还有什么更好的方法？

生：把角剪下来拼到一起。

问：怎么会想到要把三个内角拼到一起？

生：看看拼出来的是不是一个平角。

师：为什么要拼成平角？

生：因为平角是180°。

师：如果我不想破坏这个三角形，还有什么方法能把三个角拼到一起呢？

生：把三个角折到一起。

（生动手折）

师：在折的时候遇到了什么困难吗？

生1：不太好把三个顶点折到一起去。

生2：我折完以后三个角之间还有很大的缝隙！

（这句话引起了其他同学的共鸣。）

师引导：其实，要是能找到三个角的顶点最后重合的这个点就好了，是吗？

生点头表示同意。

问：那有什么好办法能找到这个点呢？讨论讨论。

生在小组中一边讨论一边思考一边动手实践。

最后终于有一名同学边折边想出了一个好方法，投影操作演示：

先找出三角形最长的一边，折出这条边上的“高”，找到对应的“垂足”;这个垂足就是最后拼成的平角的顶点。然后将三个内角的“顶点”分别对准“垂足”进行折叠，就容易多啦！

【反思三】

在教学设计时就觉得这个问题很难处理，有老师建议我省掉这一环节，或者是我做一个示范就可以了，不要学生动手折，这样就不会出现问题了。但是如果不给学生动手的机会，他们就不会发现在折的时候会出现的困难和问题。教师不能为了上课而上课，回避学生容易出现的问题。我想这正是我和学生一起学习和研究的好机会，于是我保留了这个环节，放手让学生动手折一折，体验直观性。我觉得这个办法已经超出了这个年龄段学生的能力，我甚至做好了方法讲解的课件。最后证明我还不够相信学生，相信他们在动手操作中的灵光一闪，相信他们无穷无尽的潜力和智慧！

三、结语

没有亲历的数学活动就谈不上经验。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。” 因此，数学教学更重要的是过程的教学，有效的数学课堂教学要给出充分的时间与空间，结合具体内容让学生在数学学习活动中去“经历过程”，留给他们充裕的时间，放手让学生去操作、实验、计算、推理、想象。在“做”数学中体验数学，感悟数学，积累数学活动经验。我这节课最大的收获就是勇于放手让他们自由地去做，去悟，给他们更充分的实践时间、更广阔的思维空间，让他们在数学活动的海洋里快乐地畅游！