全国高考物理试题新课标卷第25题的另两种解法

2014年全国高考物理试题新课标卷第25题题目：

如图1，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OB=32OA.将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点.使此小球带电，电荷量为q（q>0），同时加一匀强电场，场强方向与OAB所在平面平行.现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g.

（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；

（2）电场强度的大小和方向.

参考答案解法如下.

解 （1）设小球的初速度为v0，初动能为Ek0，从O点运动到A点的时间为t，令OA=d，则OB=32d，根据平抛运动的规律有

dsin60°=v0t（1）

dcos60°=12gt2（2）

又有 Ek0=12mv20（3）

由（1）、（2）、（3）式得 Ek0=38mgd（4）

设小球到达A点时的动能为EkA，则

EkA=Ek0+12mgd（5）

由（4）、（5）式得 EkAEkO=73（6）

（2）加电场后，小球从O点到A点和B点，高度分别降低了d2和3d2，设电势能分别减小ΔEkA和EpB，由能量守恒及（4）式得

ΔEpA=3Ek0-Ek0-12mgd=23Ek0（7）

ΔEpB=6Ek0-Ek0-32mgd=Ek0（8）

在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的.设直线OB上的M点与A点等电势，M与O点的距离为x，如图2，则有

x32d=ΔEpAΔEpB（9）

解得x=d，MA为等势线，电场必与其垂线OC方向平行.设电场方向与竖直向下的方向的夹角为α，由几何关系可得

α=30°（10）

即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°.

设场强的大小为E，有 qEdcos30°=ΔEpA（11）

由（4）、（7）、（11）式得 E=3mg6q（12）

本题考查了小球在重力场的平抛，以及带电小球在重力场和电场复合场中的抛体运动.第一问很简单，从平抛运动位移偏角入手易于得分；第二问不是难题是易错题，关键是学生容易忽略掉小球所受的重力，另外笔者从能量守恒角度入手对学生来说是要求思维很高，不宜入手.对于恒力作用下物体的运动，如果利用运动的分解则相对容易入手.下面对于第二问笔者给出两种解答方法：方法一运用运动的分解和牛顿第二定律，结合运动学公式对于分别到达A、B两点各列方程求出小球运动的水平及竖直加速度大小，进而根据牛顿第二定律得出物体所受合外力. 方法二运用正交分解将电场力分解，分别求出水平及竖直上的力做的功，再由动能定理求解，可能比参考答案的解法更能让学生接受.下面给出这两种方法的详解过程.

方法一 设电场强度的大小为E方向与竖直方向夹角为α，建立如图3所示的坐标系，设小球在水平方向上的加速度为ax竖直方向上的加速度为ay，到达A点和B点时水平方向上的速度分别为vAx、vBx，竖直方向上的速度为vAy、vBy.

令OA=d，则OB=32d，对A、B分别由牛顿第二定律和运动学公式得

Eqsinα=max（1）

Eqcosα+mg=may（2）

v2Ax-v20=2axdsin60°（3）

v2Ay=2aydcos60°（4）

v2By=2ay32d（5）

由已知条件得

12m（v2Ax+v2Ay）=3×12mv20（6）

12m（v20+v2By）=6×12mv20（7）

由第一问可得 12mgd=34×12mv20（8）

由以上各式解得 α=30°，E=3mg6q.

方法二 小球从O到A和从O到B分别由动能定理得

Eqsinα・dsin60°+（mg+Eqcosα）・dcos60°

=3×12mv20-12mv20（1）

（mg+Eqcosα）・32dcos60°=6×12mv20-12mv20（2）

由第一问可得

12mgd=34×12mv20（3）

由以上各式解得 α=30°，E=3mg6q.

对比这两种方法明显看到动能定理要优越的多.这两种方法都较参考答案容易入手.

【阜阳师范学院基础教育研究项目（2012JCJY21）】