高考全国卷理科数学21题的简单解法

原题．（2012年高考全国卷理21）已知函数f（x）满足f（x）=f ′（1）ex-1-f（0）x+■x2，（1）求f（x）解析式及单调性；（2）若f（x）≥■x2+ax+b.求（a+1）b的最大值.

审题（1）1.1，题设是含有参数的恒等式，求出解析式需确定f（0）和f ′（1）.适当的两次变量赋值得两个方程联立求解，正确得出解析式也为下一步解题开辟蹊径.

解析：（1）令x=0，f（0）=f ′（1）e-1?圯f ′（1）=ef（0）.f ′（x）=f ′（1）ex-1-f（0）+x，令x=1，f ′（1）=f ′（1）-f（0）+1?圯f（0）=1，f ′（1）=e， f（x）=ex-x+■x2.

点评：恒等式用任意数赋值理论上都是成立的，求出参数f（0）和f ′（1）方向.若直接令x=1极易进入一个误区.出现多余的f（1）的问题，但明确的是要列出关于f（0）和f ′（1）的方程.先对函数求导再赋值，是应变能力的牛刀小试.

审题（1）1.2，单调性若不能由函数定义和基本函数单调性运算法则来确定，就得由导函数方程零点左右的正负的特征来确定.

解析：（1）f ′（x）=ex-1+x，设y1=ex-1，y2=x，f ′（x）=y1+y2（如图1） .

y1′（0）=1，y2′（0）=1且y1（0）=0，y2（0）=0.y1与y2在（0，0）处相切.

即f ′（x）=0?圯x=0.

且当x∈（-∞，0），f ′（x）=y1+y2＜0，f（x）■；x∈（0，+∞），

f ′（x）=y1+y2＞0，f（x）?襖.

点评：ex-1+x=0是超越方程，在教材中是借助计算机用二分法可求函数零点的近似解.若试估算值三次以上，用不完全归纳得出结论有失数学的严谨.否则，束手无策.事实上，若直观和抽象结合的原则成为教学的常态，应用函数的基本性质，可以迅速、准确得出解及两侧正负形态，单调性由然而出.但给出的标准答案都没有得出根据，导数数量特征是单调性的直接根据，零点及左右正负的推理结论是判定单调性的前题，从而成为必要环节.粗心和回避不是数学应有的品质.

审题（2）1.1，题设是经验过的不等式恒成立的形式，若h（x）=ex-（a+1）x存在极小值，则是由a表达的，从而可建立a与b的不等关系式，但如何能构造出（a+1）b及其本身的意义不能先觉.只能沿着对参数a，b限制并分类的方向讨论.可得到解题的操作方法.

解析：（2）（方法1）略.

小结：由抽象到抽象是数学认可的方法，难也可贵.从解题实践层面能操作，摸着石头过河也是值得的探索，浪费时间是不可避免.

审题（2）1.2，由题设可直接整理成ex≥（a+1）x+b形式，这是曲线和切线关系的基本函数不等式，如图2.

y3=ex切线是直线系y4=（a+1）x+b中b最大的形态.（a+1），b本身的意义是斜率和截距，因此，写出切线方程，用待定系数法.可获取（a+1）b是关于切点的函数表达式.

解析：（2）（方法2）设（x0，y0）是y3=ex上的切点，则切线y=■x+（1-x0）■（（a+1）b）max=（■（1-x0）■）max.设k（x0）=■（1-x0）.令ｋ′（x0）=0?圯x0=■.

由ｋ′（x0）=■（-2x0+1）图像.在x0=■两侧左正、右负.ｋ（x0）max=k（■）＝■e.即：（（a+1）b）max=■e.

点评：虽然两种解法殊途同归，难易和繁简程度各不相同.一切理念的过程和形态都源于直观形态.如果数形结合成为教学实践层面的常态.对一些试值费时、推理费力的题目，可以化腐朽为神奇.

例1． 当x∈（0，2）时，证明：ln（x+1）+■-1＜■.

解析：设y1=ln（x+1），y2=■.y1、y2在（0，0）处的切线为y3=x，y4=■x+1，y1y2是凸函数，x∈（0，2）时y1＜y3，y2＜y4.

若x+■x+1-1＜■?圯ln（x+1）+■-1

即：1＜■. x∈（-1，+∞）时，设：y=■ ■ .

x∈（0，2），y ■ ， y∈（■，4）.

ln（x+1）+■-1

小结：对数式和无理式转化为整式，同时用曲线与切线放大的原因是h（x）=■在x∈[0，2]时增得较快，而k（x）=ln（x+1）+■-1增长较慢，且有相同的零起点.正是心中有图，化生为熟.当然，心中有量，放缩得当.否则，放缩有风险.

例2． 已知点P在曲线在y=■上，?琢为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?琢的取值范围是（

）

Ａ. [0，■） B. [■，■） Ｃ. （■，■] D. [■，?仔）

解析：由图像y1=ex+1.作图像y2=■，y=4y2，如图3.

由■+■=4，且y为减函数.当x+∞或x-∞时，y′0，?琢?仔.当x=0时，y′=-1，?琢min=■.选D.

小结：作倒数图像主要是用函数性质和分数的性质，而不是大量描点.发现曲线y是关于点（0，2）的中心对称图形.因此，由特征点和性质做出图像到洞察结论可以用秒来计量.

点评：对于数形紧密结合的题目来说，积极主动用图诱发数与式的关系，具有穿透力，解题简捷容易.简单解法体现了对数学本身内在要求真正理解和常态解题实践的应验.

（作者单位：辽宁省大连开发区大治学校）

责任编校 徐国坚