对一道高考全国物理题的解法研究

2008年高考全国物理第23题是一道非数值型的纯运动学试题，题意简单明了，初看此题，考生便会激起拿下它的强烈的求解欲望。但据当年考后调查，历经了“练兵千日，用在一时”磨练的莘莘学子却大多在此题面前败下阵来。我最近探讨了该题的解法，发现犹如进入科学迷宫，其解题思路的切入点，各种思路的解及其解的变化绵延不绝，奥妙无穷，令人叹为观止，最终不得不给该题定论：这是一道看起来容易，解起来难，同时又是考查考生科学的思维能力、解决问题的能力及应变能力的好题。现将自己对该题解法研究的结果呈现给大家，以抛砖引玉。

【题目】已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l，BC间的距离为l，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离。

（原解略）

思路1：利用并围绕速度公式求解。

该思路是以匀变速直线运动的速度公式v=v+at为基准，然后根据运动学的其余规律及特点，逐个确定该式中的各个物理量，最后代入该式求出结果。

解：设物体加速度为a，通过AB、BC段的时间为t，A、B点速度分别为v、v，OA间距离为l。根据速度公式有

v=v+at（1）

AB、BC段时间相等，故

v=（2）

且l-l=at（3）

对OA段有

v=2al（4）

将（2）（3）（4）代入（1）式

=+

即得

l=

变解：列出（1）（2）（3）式，再对OA段列出v=at与l=at两式，也可得解。

思路2：利用位移公式求解。

该思路是根据匀变速直线运动的位移公式x=vt+at，分别列出OA、AB、BC三段的位移方程，然后解这些方程即可。

解：设物体通过OA段的时间为t，其余如上。有

l=at（1）

l=at・t+at（2）

l=a（t+t）t+at（3）

解得l=

变解：列出（1）式，再列出以下两式

l+l=a（t+t）（2）′

l+l+l=a（t+2t）（3）′

由（1）（2）′（3）′式可得所求。

思路3：利用位移差的等量关系求解。

位移差的等量关系表现在两个方面，其一是位移之差的几何关系，即OA间距离等于OB与AB间距离之差；其二是做匀变速直线运动的物体，通过连续相邻相等时间内的位移差等于恒量。本题可用该思路求解。

解：假设如上。

根据位移差的几何关系有

l=s-l（1）

物体通过AB和BC段的时间相等有

l-l=at（2）

因为s=

且v=

所以s=（3）

解得l=

变解：列出（1）（2）式，再列出s=vt，v=at与v=三式即可。

思路4：利用速度―位移公式求解。

根据匀变速直线运动的速度公式和位移公式，消去时间t，导出的公式v-v=2ax叫速度―位移公式。本思路利用该公式，再列出一个辅助方程，即可得解。

解：假设如上，再设C点速度v，则

从O到A：v=2al（1）

从A到B：v-v=2al（2）

从B到C：v-v=2al（3）

又物体在B点时的速度v=（4）

解得：v=・a（5）［注解1］

将（5）式代入（1）式得

l==

思路5：利用位移―平均速度公式求解。

根据匀变速直线运动的速度公式和位移公式，消去加速度a，导出的公式x=（v+v）t=t叫位移―平均速度公式。本思路利用该公式，再列出一些辅助方程，也可得解。

解：假设如上。

有

l=vt（1）

l=（v+v）t（2）

l=（v+v）t（3）

又v=（v+v）（4）

v=at（5）

v=v+2at（6）

由（2）（3）（6）式得

l-l=at（7）

由（2）（3）（4）式得

v=（8）

再根据（1）（5）（7）（8）式得

l=

变解：列出（2）（3）（4）式，再列出（5）′式，即可求得O到A的距离l。

v=2a（l+l+l）（5）′

由（2）（3）（4）式得

v=（6）′

将（6）′式代入（5）′式解得

l=

思路6：利用平均速度与瞬时速度的关系求解。

做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，表示为v===（v+v）。本题可用这个关系方便地求解。

解：假设如上，再设AB段中间时刻的速度为v，

则v=a（t+t）。

因v=，且l-l=at，所以=（t+t）

即t=-

于是得OA间距离

s=at=（-）=

变解1：假设如上。

A点速度v=v-a・

因为v=

所以v=-a・（1）

又l-l=at（2）

OA间距离l=（3）

由（1）（2）（3）式解得

l===

变解2：假设如上，再设BC段中间时刻的瞬时速度为v，则

v==，v===

得=

因为v=at，v=a（t+t），v=a（t+2t），代入上式得

t=t

又l-l=at

故OA间距离

l=at=at=

思路7：利用时间关系求解。

本思路是利用AB段和BC段的时间相等求解。

解：假设如上，再设物体从O到A、B、C各点的时间分别为t、t、t。

则由x=at得t=，t=，t=

因为t-t=t-t

所以2t=t+t

将以上各时间代入

2=+

解得

l=

变解：假设如上。则由v=2ax得物体经过A、B、C三点时的速度分别为v=，v=，v=

因AB段平均速度=

BC段平均速度=

又物体通过AB段和BC段的时间相等，即=

所以=

解得OA间距离［注解2］

l=

思路8：利用图像法求解。

图像法是研究匀变速直线运动的一种常用方法。特别对初速度为零的匀加速直线运动的题目，若能用图像法求解，则会使解题过程变得意想不到的便捷。本题用v-t图像求解。

解：据题意作v-t图像如下，假设如图所示。

由图可得=

=

解得l=

思路9：利用比例式求解。

因本题物体的初速度为零，且做匀加速直线运动，故可用比例式求解。

解：将OA段时间按AB和BC段的大小n等分，则AB和BC段时间分别为第（n+1）、（n+2）等分。

由初速度为零的匀加速直线运动的比例式：

x∶x∶x∶…∶x∶l∶l=1∶3∶5∶…∶（2n-1）∶（2n+1）∶（2n+3）

有=，得

n=（1）

同时有x∶l=1∶（2n+1），得

x=（2）

OA间的距离

l=x+x+x+…+x=x+3x+5x+…+（2n-1）x

=x［1+3+5+…+（2n-1）］=xn（3）

由以上各式解得l=xn=

看得出，以上诸解几乎囊括了匀变速直线运动的全部内容。然而，该试题的解题思路，对应的解，以及解的变化不会仅此而已，有待大家予以补充。我们研究过去试题的解法，目的在于展现命题者的匠心独具，挖掘试题潜在的教育功能，并借此为后来参加高考的人们从一个侧面领略自然科学的博大精深，摒弃题海战术，崇尚科学精神，掌握科学方法，寻求最佳解题途径提供有益的帮助。

注解：（供参考）

注解1：由（2）式：v-v=2al，得（v-v）（v+v）=2al（2）′

由（3）式：v-v=2al，得（v-v）（v+v）=2al（3）′

由（4）式：v=，得v-v=v-v（4）′

再根据（2）′（3）′（4）′得：v=v（5）′

（2）+（3）式：v-v=2a（l+l），再将（5）′代入得：

v=v-2a（l+l）=・v-2a（l+l）

即v［-1］=2a（l+l）

也即v（l-6ll+9l-l+6ll-9l）=2a（l+l）（l-3l）

化解、整理后得到（6）式：v=・a

注解2：由=

得：l-l=（l-l），等式两边平方：

l（l+l+l）+ll-2ll=（l-l）（l+l），移项：

l（l+l+l）+ll-（l-2ll+l）（l+l）=2ll，

化解后得：3ll-ll+2lll=2ll

即3l-l+2l=2，等式两边再次平方：

（3l-l）+4l（3l-l）+4l=4l+4ll+4ll，

化简后得到最后结果：l=

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