二次函数新视角

【中图分类号】G634 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0141-01

大纲教材二次函数是以研究抛物线的性质为重点,它具有较强的知识性，而在新课标下却将二次函数的“重心”移于函数知识的实际应用，因此近年中考中利用二次函数解应用题的问题明显增多，这一新视角足以引起大家在中考复习中的关注和重视，对于这部分内容一般以如下几类问题出现：

1.最大利润

例：1.2006年中秋前夕，某果品批发公司准备从外地进口一种水果，为了更好的指导今年对该种水果的销售工作，该批发公司对往年同期的销售情况进行了调查统计，得到了如下数据：

（1）在如图的直角坐标系中，作出各组有序数对（x，y）所对应的点，连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系形式；

（2）若该种水果的进价为11元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取向值时，P的值最大？

解：在如图的直角坐标系中，正确的描点、连线，由图角可知，y是x的一次函数

设解析式为y=kx+b

点（25，2000），（24，2500）在图象上

25 k+b=200024 k+b=2000

解得： k=－5000b=14500

解析式为y=－500x+14500

（2）P=（x-11）y

=（x-11）(－500x+14500)

=－500 x■+20000x－159500

P与x的函数关系式为：P=－500 x■+20000x－159500

-500＜0

当销售价x=-■=20时，P的值最大。

评注:本题把函数知识与经济生活有机地结合在一起,具有较强的现实性，本题其功能是对考生进行了“观察——猜测——验证——应用”的探究过程的考查和函数思想方法的考查。

2.最大面积

例2:（2005年，青岛）在青岛市开展创文明城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），设花园的BC边长为x（m），花园的面积为y(m2)，

（1）求y与x之间的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围；

（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若不能，说明理由；

（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；

并结合题意判断：当x取向值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）由BC=xm，得AB=■=(20-■)(m)

y=AB×BC(20-■)x=■x2+20x

靠墙的一边最长是15m，

0＜x≤15，故所求函数关系式为y=－■x2+20x（0＜x≤15)。

（2）设y=200，解方程-■x2+20x=200，得

x1= x2=20，即BC=20(m)

而0＜x≤15，故花园的面积不可能达到200m2。

（3）由y=－■x2+20x=－■(x－20)2+200，

知抛物线开口向下，对称轴为x=20。

当0＜x≤15时，图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而增大，所以当x=15时，y有最大值，y最大=187.5(m2) 答：（略）

评注：本题是通过矩形面积建立了的一个二次函数模型，内容涉及函数概念其性质，函数式的变形，处理函数最值问题的基本方法，具有一定综合性。

3.拱桥问题

例3：（2006年，武汉，有改动）如图是一座下承钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱助的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米，以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直坐标系。

（1）求抛物线的解析式；

（2）正间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由。

解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+c

由已知得F（70，42），B（140，0）

则42=4800a+c0=49600a+c 解得a=－■,c=56

所以抛物线的解析式为：y=－■x■+56

(2)当x=0时，y=56，所以OC=56（米），

当y=28时，即－■x■+56=28，

解得x=±70■。

因为相邻的系杆间距为5米，而70■÷5不为整数，所以不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半系杆。

评注：本例关键是理解问题中的实际意义，确定F、B两点坐标和以y轴为对称轴的解析式应为y=ax■+c这种形式，灵活运用函数知识求出相应的点的坐标，结合实际意义判定解决有关的实际问题。

由上述三例可知：二次函数应用问题涉及的知识点多，与社会生活联系紧密，综合性强，解题方法灵活多变，复习时在全面掌握有关的函数知识的基础上，加强函数建模，拓展思维空间，增强创新意识，切实提高解题能力。