复数集内一元二次方程的解法
时间：2022-10-11 04:52:53
一
实系数一元二次方程ax+bx+c=0在实数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。
设Δ=b-4ac（判别式），
当Δ＞0时，方程有两个不等的实数解：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数解：x=。
当Δ＜0时，方程无实数解。
方程的根与系数的关系：x+x=-，xx=。
实系数一元二次方程ax+bx+c=0在复数范围内的解的情况：
ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。设Δ=b-4ac（判别式），
当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x=。
当Δ＜0时，方程有两个共轭虚数根：x=。
注意：实系数一元二次方程在复数范围内求解时，
① 由于求根公式仍可使用，故方程的根与系数的关系也仍成立；
② 若Δ＜0，则意味着方程有一对共轭的虚数根。
二
下面对两道例题进行解算。
例1：已知实系数一元二次方程2x+rx+s=0的一个根为-3+2i，求r，s的值。
解：由题设得方程另一根为-3-2i，由韦达定理得s=2（-3+2i）（-3-2i）=26，r=-2（-3+2i-3-2i）=12。
例2：若关于x的方程x+5x+m=0的两个虚数根x，x满足|x-x|=3 ，求实数m的值。
解：方法一：
方程x+5x+m=0有两个虚根，则有Δ=25-4m＜0，m＞。
又|x-x|=|-|==3，4m-25=9，
m=。
方法二：
|x-x|=3，
|x-x|=9，
即|（x-x）|=9，|（x+x）-4xx|=9。
又x+x=-5，xx=m，
|25-4m|=9。
又25-4m＜0，
4m-25=9，
m=。
三
上面我们解决了实系数一元二次方程求解问题，那么对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程又应该如何求解呢？
例1：求方程x-2ix-5=0的解。
解： 配方，得（x-i）-4=0，即（x-i）=4，
x=2+i，x=-2+i。
另解：Δ=（-2i）-4×（-5）=-4+20=16，
x=，x=，即x=2+i，x=-2+i。
例2：求方程（x+）=的解。
解：因为a，b，c中至少有一个是虚数，所以b-4ac∈C，先求b-4ac的平方根，设b-4ac的平方根为z，z∈C，
则x=，x=。
一元二次方程的求根公式此时仍然适用，但当b-4ac≥0时，由于不一定是实数，因此方程的解不一定都是实数。
小结：当一元二次方程的系数中至少有一个虚数时，求根公式和韦达定理仍然适用，但判别式不再适用。（不可由b-4ac≥0得出方程的根为实根的结论）
四
例1：解方程x+（1+i）x+5i=0。
解：Δ=（1+i）-4×5i=-18i
-18i的平方根为3-3i，-3+3i，
x==1-2i，
x==-2+i。
求解系数不全为实数的一元二次方程的步骤：
① 求出Δ=b-4ac的平方根z，z；
② 代入求根公式x=，x=。
例2：方程x+（m+2i）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和方程的解。
分析：该方程的系数不全为实数的一元二次方程，故对条件中“方程有实根”已不能与判别式Δ≥0相联系。
思考：方程有实根这一条件应如何利用？
设方程的实根为x，联系复数相等的充要条件，分离复数的实部和虚部，将复数方程化为实数方程组，同时解出方程的实根和实数m的值，再由韦达定理求出方程的另一根。
解： 设方程的实根为x，则原方程化为（x+mx+2）+（2x+m）i=0，
x+mx+2=02x+m=0，
解得x=m=-2，或x=-m=2。
当x=，m=-2时，x=-（-2+2i）-=-2i;
当x=-，m=2时，x=-（2+2i）+=--2i。
综上，当m=-2时，原方程的解为x=，x=-2i；
当m=2时，原方程的解为x=-，x=--2i。
例3：已知方程x+mx+1+2i=0（m∈C）有实根，求|m|的最小值。
解： 设方程的实根为x，则m=-=--i=-（x+）-i，
|m|==≥，
当且仅当x=，x=±时取“=”。
|m|=。
另解：设m=a+bi（a，b∈R），方程的实根为x，
则x+（a+bi）x+1+2i=0，
x+ax+1=0bx+2=0，
消去x，得a=+。
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