谈数学教学中解题的几种常见方法

摘要：在新课程理念下，教学过程的本质有了重大的变化，强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程，感悟解题的思想方法、寻找答题的突破口、体验数学问题充满着探索与创造。

关键词：数学；教学；解题；方法

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它是有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想与数学方法合称为数学思想方法，它是数学知识转化为数学能力的桥梁，是贯穿于整个教学过程。问题只有围绕数学思想方法才得于解决，才能很好地被学生理解和接受，进而成为学生解决问题的有机组成部分。学习数学最终应落实在对数学思想方法的感悟和掌握上。现笔者浅谈在数学教学问题探究中所涉及的数学思想方法。

一、待定系数法解题方法

对于某些数学问题，根据题意引入一些系数，通过变形与比较，建立起含有待定系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法。其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。

利用对应系数相等列方程，指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的方程（组），即的充分必要条件是

例如，把多项式表示为关于的降幂排列形式。可变形为把右边展开、合并同类项得

用恒等式的性质，比较同类项系数，得 解这个方程组，得

故

二、数形结合的解题方法

数形结合思想就是在解决数学问题的过程中，注意把数形结合起来考查，根据问题的条件和结论之间的内在联系，使几何问题借助于数的推演提示其形的特征，使代数问题借助于几何直观地揭示其数之间的联系，它将抽象的语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来。例如，七年级教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础，通过实现抽象概念，与具体形象、表达的联系和转化，来达到化难为易，化繁为简，化生为熟，从而解决问题的目的。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，利用数形思想方法，有助于把握数学问题的本质，诚如华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔家万事体”。因此，我们在解题中要充分地利用数形结合思想方法，这样做既能使许多数学问题迎刃而解，又能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。例如，点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定，直线与圆的位置关系；可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定，圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。又如，毕达哥拉斯利用直角三角形三边所在的正方形的面积相等。论证了勾股定理的结论。再如，函数的图象与函数的性质、利用图象求二元一次方程组、用三角函数解直角三角形。

三、分类讨论的解题方法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种可能情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得出问题的正确答案，这就是分类讨论。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，有关分类讨论思想方法的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中学数学中占有重要的位置。

分类讨论应当遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清层次，不越级讨论，其中最重要的一条是“不漏不重”。例如：已知实数a，b满足的值。 因为

（1） 当

（2） 当

分类讨论的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一，不漏不重、分类互斥，再对各个分类逐步进行讨论，分层进行获取阶段性结果，最后进行归纳小结，综合得出结论。

四、函数方程解题方法

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种数学思维方法，是很重要的数学思想。

函数思想方法就是用运动、变化的观点，分析、研究其具体问题中的一些相互制约的变量；通过建立函数关系来研究这些变量之间的相互制约、相互联系的特点，最后便问题获得解决，方程思想就是在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身诸变量间的制约，列出方程或方程组，通过解方程或方程组求出这些未知数。

例，某送奶公司计划在三栋楼之间建立一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼、B楼和C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶。送奶公司提出两种建站方案：方案一，让每天所有取奶的人到取奶站的距离总和最小。方案二，让每天A楼与C楼所有取奶的人到取奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到取奶站的距离之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？

（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？

（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远还是越来越近？请说明理由：

对于方案一，须建立一个函数关系，然后求此函数的最小值；

设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym，①当所以当x=40时，y的最小值为4400；②当此时y的值大于4400。

因此，按方案一建奶站，取奶站应建在B处。

对于方案二，须通过列方程来解决

设奶站建在距A楼xm处。

①当（舍去）；

②当，因此，按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。

对于（3）问题，设A楼取奶人数增加a人，

当；

当

所以当a增大时，x增大，所以当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在BC两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远。

运用函数方程思想解题，确立变量之间的函数关系式是一关键步骤，大致可分为下面两种情况：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题。

五、化归与转化的解题方法

在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比，联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个在已知知识范围内较易解决的新问题，通过新问题的求解。达到解决原问题的目的，这一思想我们称之为化归与转化的思想。

化归与转化思想方法的实质是揭示联系，实现转化。可以说除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，数学的解题过程就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转化过程。化归与转化的思想方法是解决数学问题的根本思想，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，不规范问题向规范问题转化。复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化。多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理式向有理式的转化，高次向低次的转化，函数、方程、不等式之间的转化等。这些都是转化思想方法的体现。

例如：已知，求证：a、b、c中必有两个相反数。

由于已知条件用等式表示，而结论却不用式子表示，难以直接证明。为此，我们将结论化归为其等价的形式（a+b）・（b+c）・（c+a）=0，证略。又如：已知关于x的不等式0≤x2-mx+5≤3恰好有一个实数解，求实数m的取值范围。

此题若讨论不等式组的解的情况，将非常麻烦，注意到一元二次不等式与二次函数的联系，可将其他归为二次函数进行分析，解略。

化归与转化思想方法应遵循的基本原则是：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）标准化原则；（4）和谐化原则，也就是化归问题的条件或结论，便其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式；（5）直观化原则；（6）正难则反原则，也就是当问题正面讨论遇到困难的时候，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

总之，现行教材中培养数学能力的内容十分丰富，关键在于我们要去感悟、归纳、分类。一个好的教师，应该善于感悟课本的知识内容背后所隐含的“软件”部分，即数学思想和数学方法，并善于诱导学生领会并能逐步运用这些思想和方法，从而提高数学能力。