谈谈《函数》在中考中的复习

函数是重要的数学概念,它有广泛的应用,在义务教育阶段的数学课程中占有重要的地位,尤其是在中考中也是不可缺少的一道题,可以是填空题、选择题,更可以是综合应用题。函数在初中阶段包括正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数,同学们不仅要能够画出各函数的图象,并掌握它们的性质,而且要能利用它们的性质解决实际问题。下面从几个方面来分析中考中的有关函数的综合应用,以飧读者。

一、掌握函数的图象以及性质,解决一些简单的函数问题

例1.(2007天津)已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求该抛物线的顶点坐标。

分析:本题是用待定系数法求二次函数解析式的方法。

解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,抛物线过A(-2,0),B(1,0)、C(2,8)三点,得:

4a-2b+c=0,

a+b+c=0,

4a+2b+c=0.

解这个方程组得:a=2,b=2,c=-4.

所以该抛物线的解析式为:y=2x2+2x-4.

(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+)2-.

因此,该抛物线的顶点坐标为(-,-)

二、函数在日常生活中的应用,能更直观地分析问题,提高解决实际问题的能力

例2.(2007云南)某地在调整电价时,为了鼓励居民节约用电,采取了居民用电分段计价的办法:若每月每户用电量不超过80度,按0.48元/度收费;用电量在80∽180度(含180度)之间,超过的部分按0.56元/度收费;用电量在180度以上,超过180度的部分按0.62元/度收费。同时规定在实行调价的当月收费中,用电量的按原电价0.42元/度收费,用电量的按调价后的分段计价办法收费,以后各月的用电量全部按分段计价的办法收费。

(1)已知在调价的当月,小王家用电量按原电价部分所付的电费为12.60元,现请你求出小王家在调价的当月共需付电费多少元?

(2)若小王家在调价后的第三个月用电量为x度,请你写出小王家第三个月应付电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式。

分析:本题是考查学生在具体问题情境中正确建立函数模型的问题,以及不同的时间段内函数解析式的求法,有利于学生更好地理解数学知识,发展应用意识和能力。

解:(1)设小王家在调价的当月用电量为x度,则有×0.42x=12.60,

解方程,得:x=90(度),

按分段计价的用电量为90× =60(度).

60

按分段计价部分应支付电费:60×0.48=28.80(元)

小王家当月共需付电费:12.6+28.80=41.40(元)

答:当月小王家共需付电费41.40元.

(2)当0≤x≤80时,y=0.48x;

当80

当x>180时,y=0.48×80+0.56×100+0.62(x-180),即y=0.62x-17.20.

例3.(2005德阳)如图,一个中学生推铅球,铅球在点A处出手,在点B处落地,它的运行路线是一条抛物线,在平面直角坐标系中,这条抛物线的解析式为:y=

(1)请用配方法把y=化成a(x-h)2+k的形式;

(2)求出铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离和这个学生推铅球的成绩。(单位:米)

(2)抛物线的顶点坐标为(4,3)

铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离为3米。

当y=0时,(x-4)2+3=0,解得:x1=-2,x2=10

x>0取x=10,因此这个学生投铅球的成绩是10米。

三、运用数形结合的思想形象地解答函数图象的有关问题,加强与几何图形的结合,使函数与几何有机地联系在一起,激发学生学习的积极性

例4.(2007广东)如图,在直角坐标系中,已知矩形OABC的两个顶点坐标A(3,0),B(3,2),对角线AC所在直线l,求直线l对应的函数解析式。

分析:利用矩形的性质与用待定系数法求一次

函数解析式。

解:设直线l对应的函数解析式为:CB

y=kx+b(k≠0)

依题意A(3,0),B(3,2)

可得点C(0,2)。

由A(3,0),C(0,2)在直线l上,得:

3k+b=0,

b=2.

解得:k=-,b=2

直线l对应的函数解析式为:y=-x+2

例5.(2007呼和浩特)如图,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、B两点,A(1,n),B(-,-2)。

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)在x轴上是否存在点P,使AOP这等腰三角形?若存在,请你直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

分析:用反比例函数、一次函数的待定系数法求解析式,并探索等腰三角形的多种形式是否全面。

解:(1)点B(-,-2)在反比例函数y=的图象上。

k1=2

反比例函数的解析式为

A(1,n)在反比例函数图象上;

n=1

A点的坐标为(1,1)

一次函数y=k2x+b的图象经过点A(1,1),B(-,-2)。

k2+b=1

-k2+b=-2解得:k2=2,b=-1

一次函数的解析式为:y=2x-1。

(2)存在符合条件的点P。可求出点P的坐标为

《课程标准》中提出:“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。”函数是数量化地表达与对应思想的数学工具,变化规律表现在变量(自变量与函数)之间的对应关系上,函数通过数或形定量地描述这种对应关系。把所学的函数问题运用到实际中去,举一反三,触类旁通。

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