论数学教学中逆向思维能力的培养

摘 要： 数学能力的培养是多方面的，而逆向思维能力的培养是数学思维中的创新能力培养的重要途径和方式。首先要认识到逆向思维是正向思维的补充，在教学中要引导学生对教学定义、定理、概念的逆向思考和运用；其次要认识到逆向思维是发散的，在对学生进行思维能力训练时，要注意学生的发散思维能力的培养，调动学生的积极思维，增大思维的发散度，扩大思维空间。

关键词： 数学教学 逆向思维能力 培养

逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程是培养学生思维敏捷性的过程。课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维，正是数学能力增强的一种标志。笔者认为，培养学生逆向思维能力有以下几种途径。

一、在兴趣培养过程中增强逆向思维意识

随着年龄的增长，中学生的有意注意进一步发展，但兴趣在学习中仍起着重要的作用。由兴趣引起的无意注意在学习中仍是不可缺少的因素。所以教师应根据授课内容，创造一个良好的教学情境，激发学生学习兴趣和求知欲望，促进学生积极思维，有利于培养学生的逆向思维，获得最佳教学效果。我们以学生为主体，教师为主导，通过层层设问，及时指点启迪，创造良好的思维情境，结合图形，激发学生的联想，引导学生步步深入，形成逆向思维。

1.善于观察。

观察，对于学习是很重要的。巴甫洛夫说过一句很有名的话：“观察、观察、再观察。”为了解决问题，学生必须通过观察识别问题的基本特征，并能够回忆起已学过的有关信息。数学思维灵活的人，都观察得非常细致、认真。虽然时间很短，但他们能够发现与问题有关的各种明显的或隐蔽的条件，并迅速判断出其中的关键条件，使问题很快解决，即抓住了此题的基本特征，找到了解题的关键。为了提高观察能力，我们应注意以下一些问题：要观察得仔细、精确；要注意观察的系统性与条理性；要以一定的知识作基础，知识越丰富，观察也越深刻；观察时，要具有敏锐性；要养成勤于观察的习惯；要善于从被观察的对象和观察者本身两个方面进行分析，制定出观察的最佳方案。

2.善于将问题转化，接触各类题型，并逐步熟练。

为了解决问题，我们常常需要把一些简单的规则组合成复杂的、高级的规则。而且，许多问题可以有一系列可能的解决方法。因此，学生在获得行之有效的解决方法的过程中，也形成了一种新的能力，即逆向思维能力。学习是累积性的、较复杂、较高级的学习，是建立在基础性学习基础上的，每一类学习都是以前一类学习为前提的。基础知识和基本技能掌握得越熟练，解决问题就越容易。

问题转化的方向是化难为易，化繁为简，化未知为已知。我们要善于从错误的思路中摆脱出来，误入歧途以后，要及时发现错误，及时转向。所以，我们要在运用中充实、深化概念，加强练习，开拓思路。题做多了，我们便能熟练地找到问题的基本特征。

3.学会独立思考，培养灵感思维。

我们要注意培养学生认真思考的习惯和独立思考的能力。学生的粗枝大叶，懒于思考，对练习、作业的消极态度都是学习的一大劲敌。在教学过程中，教师应从学生的实际水平出发，创设问题的情境，启发学生通过独立思考解决问题和完成任务。

二、在讲授新课过程中加强对学生逆向思维能力的培养

1.反向逆推。

探讨某些命题的逆命题的真假，是研究数学科学的方法之一，也是学生学习数学的一种行之有效的方法。例如在叙述“数的开方运算”时，我们应强调运用平方运算求一个数的平方数和用平方运算检验一个数是不是另一个数的平方根。在教学中我们还要不失时机地运用互逆运算，简化解题过程，训练逆向思维。我们通过反向逆推，引导学生利用逆向思维去发问、发现，可以进一步扩大和完善学生的认知结构，深化和升华所学的课本知识。

数学中的公式都具有双向性。正向运用它们的同时加强公式的逆向应用训练，不仅可以加深学生对公式的理解和掌握，培养学生灵活运用公式的能力，而且可以培养学生的双向思维能力。

2.运用反证。

证明数学事实和结论的正确性。反证法是正向逻辑思维的逆过程，是一种典型的逆向思维。反证法是一种间接证法，是许多数学问题在用直接证法相当困难时，常常被采用的证法。它是从待证结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证结论的反面，肯定待证的结论，加强反证法的训练是促进学生逆向思维逐步形成的必要措施。

例如：命题“若两多边形的对应边成比例，则必相似”为假命题，只需举一个菱形和一个正方形即可判其为假。说明“一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形”为假命题，只需举一个等腰梯形即可。

“思维能力的发展是学生智力发展的核心，也是智力发展的重要标志”。因此在初中数学课堂教学中教师要充分挖掘教材中的互反因素，有机地训练和培养学生的逆向思维能力，从而提高学生的数学素质。

3.集错归档，补充认识缺陷。

教学效果取决于学生的学习反馈。在教学过程中只有快速捕捉反馈信息，及时采取补救措施，才能促进教学目标的实现。教师在教学中不但要遵循教学规律，而且要有超前的预见能力。学生在学习新知识时可能会存在怎么样问题，会提出什么样的问题，教师心中都应早有准备。可是这些超前预见的材料就来源于学生学习反馈即练习和作业，以及考卷的错误解答。因此，搜集和整理学生练习、作业和考卷中出现的典型性错误间题，对教学具有很大的辅助作用。引导学生将错解题进行归类、整理并存案归库是一件非常有意义的事，它不仅可以弥补学生认识上的缺陷，而且能为今后的教学提供丰富而科学的指导依据。

4.重视逆定理的运用，提高学生的逆向思维能力。

数学中的定理有的不可逆，但许多定理的逆定理也是成立的。例如，平行线的性质定理与判定定理，勾股定理及其逆定理，两个平面平行的性质及判定定理，等腰三角形的性质及判定定理，等等。在教学中，对某些重要定理的可逆性进行探讨，有利于加深对知识的理解，也有助于逆向思维能力的提高。

5.重视一些性质的逆向运用也能提高学生的逆向思维能力。

中学数学教材中有很多的性质是可逆的。例如指数函数的性质“底数大于I时，函数为增函数”，其反面“指数函数为增函数时，其底数大于1”也成立。再如函数的方程与函数的图像的关系中，“满足函数方程的点都在函数的图像上”，其反面“在函数图像上的点满足该函数的方程”也成立。在数学教学中，重视一些性质的逆向运用，对培养学生的逆向思维能力大有益处。

6.加强数学方法的教学，强化逆向思维能力，重视数学思想。

数学方法如反证法、分析法等方面的教学是增强学生逆向思维能力的有效方法。分析法是一种执果索因的逆向思维方法，其推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知或已成立的事实，命题便获证。采用该方法分析问题时要求学生养成“要证什么，需证什么”的思维方向，用它可以缩短已知和未知间的距离，便于寻找解题的途径。反正法是一种假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过推理得出与题设、公理、定理矛盾的结论，从而断定假设不成立，原命题的结论一定正确的证明方法。很多直接证明很困难的题目，用反证法可以起到很好的效果。教师可通过数学方法的训练，能使学生明白解答一个问题用一种方法不行，要转化思想，也可以反过来思考，从而增强逆向思维能力，提高思维的灵活性。

7.在解题过程中运用逆向思考方法培养学生逆向思维能力。

在解答数学题目时，有时采用正向思维方法比较麻烦，此时我们可换一种思维方式，运用逆向思维方法使问题简化。例如甲乙两人各进行一次射击，击中目标的概率分别是0.8和0.7，求至少一人击中目标的概率。解答此题若用正向思维方法来解，要求出“甲击中目标而乙未击中目标”、“甲未击中目标而击中乙目标”、“甲击中目标并且乙也击中目标”三种情况的概率再相加。若用逆向思考方法，先求出它的对立事件的概率再来解就要简单得多。

总之，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是能改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，以及思维能力和整体素质。当然，在初中数学教学中，要培养学生的逆向思维能力，教师就必须具备丰富而扎实的“双基”知识，量力而行，适可而止，且有计划地长期进行训练。