一次函数与反比例函数的综合运用

一次函数和反比例函数是两类重要的函数,也是历年中考命题的热点内容.在各类考试中,常常出现两类函数的图象融合在一起的综合问题,现略举几例,供同学们参考.

例1 反比例函数y=■和一次函数y=kx-k在同一直角坐标系中的图象大致是( ).

解析:这是一道多图象在同一坐标系中的判定的问题,应注意到“k”的符号必须相同,解答时可用排除法.当k>0时,反比例函数y=■的图象应位于第一、三象限,一次函数y=kx-k的图象应经过第一、三、四象限,故可排除A、B两个选项.当k

例2 如图1,反比例函数y=■与直线y=-2x相交于点A,A点的横坐标为-1,则此反比例函数的解析式为( ).

A.y=■ B.y=■

C.y=-■D.y=-■

解析:设点A的坐标为(-1,m),由点A在直线y=-2x上可得m=-2×(-1)=2,所以点A的坐标为(-1,2),将其代入反比例函数y=■中得k=2×(-1)=-2,所以反比例函数的解析式为y=-■,故选C.

点评:通过此例的解答,同学们要学会这类由点的坐标求函数关系式,、由函数关系式求点的坐标的解法.

例3 如图2,点P为反比例函数y=■上的一动点,作PDx轴于点D,POD的面积为k,则函数y=kx-1的图象为().

解析:设P点坐标为(a,b),因为P点在反比例函数y=■的图象上,所以ab=2.又因为P点在第一象限内,所以POD的面积为k=■ab=1,则一次函数的解析式为y=x-1,它的图象与两坐标轴的交点分别是(1,0)和(0,-1),故选A.

例4 制作一种产品,需先将材料加热达到60℃后,再进行操作.设该材料温度为y℃,从加热开始计算的时间为x分钟.据了解,设该材料加热时,温度y与时间x之间成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x之间成反比例关系.

如图3,已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5分钟后温度达到60℃.

(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时y与x之间的函数关系式;

(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间?

解析:(1)当0≤x≤5时,y是关于x的一次函数.

设y=kx+b,

由图象可知x=0时,y=15;x=5时,y=60.

所以有0+b=15,5k+b=60,解得k=9,b=15.

所以y与x之间的函数关系式为y=9x+15(0≤x≤5).

当x>5时,y与x成反比例关系,设其函数解析式为y=■,由图象可知,当x=5时,y=60.

所以y与x之间的函数关系式为y=■(x>5).

故材料加热时函数关系式为y=9x+15(0≤x≤5);停止加热后,函数关系式为y=■(x>5).

(2)当y=15时,■=15,解得x=20,结合图象可知从开始加热到停止操作,共用了20分钟.