全面解读附加磁场

2010江苏高考物理第9题以附加磁场的形式考查磁聚焦，但由于该题图的问题情境不清，以至于许多文章都是从正面以赏析的态度给予了充分的肯定，实际上可以从两种方法上加以讨论.

方法一 构造轨迹进行定性分析

如图1所示，画出三个质子在原磁场中左右侧轨迹（重点是右侧轨迹）——称为实际轨迹（图中实线弧）以及没有附加磁场时的运动轨迹——称为原轨迹（图中虚线弧）进行比较.按原题所提供的示意图，当SS′为直径时，b的两个轨迹重合，说明附加磁场不能作用于b，从而暴露出第一个错误——附加磁场的边界不是凸透镜形状而应该是中间距离为零的凹透镜形状；而a、c的实际轨迹都在原轨迹的外侧，说明应该将原轨迹向外“扩张”一下才能与实际轨迹对接，由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与磁感应强度成反比，“扩张”意味着让半径变大，则应让磁感应强度减小，这样又暴露出第二个错误——D选项“附加磁场方向与原磁场方向相同”是错误的，应该是“附加磁场方向与原磁场方向相反”.

方法二 建立方程进行定量计算

如图2所示，沿SS′方向和OO′方向建立直角坐标系，设质子在原磁场中做圆周运动时直径为2R，在附加磁场中做圆周运动时直径为2R′，SS′距离为2L，再设2R2R′=k进一步简化，由于附加磁场与原磁场叠加的结果使得磁感应强度发生变化，所以k≠1.

当质子以任意角度θ（0°

由RtPMC′与RtCNC′相似得

—xRcosθ—L=R′R—R′=y—y′y′—Rsinθ

（1）

在RtCNC′中由勾股定理，知

（R—R′）2=（Rcosθ—L）2+（y′—Rsinθ）2

（2）

由（1）式及2R2R′=k可得x=—Rcosθ—Lk—1

（3）

当质子在S点沿SS′垂线射入磁场时（质子b的轨迹），θ=0，（3）式简化为

x=—R—Lk—1

（4）

（1）～（4）构成了本题最为重要的计算基础，下面讨论三个问题：

一、附加磁场能够把三个质子聚于一点的条件是什么？

由于质子是从第二象限进入磁场，x

由（4）式可知，当R>L时k>1；

由（3）式可知，当Rcosθ>L即2Rcosθ>2L（2Rcosθ为撤去附加磁场时质子到达SS′连线上的位置距S点的距离）时k>1；

由（4）式可知，当R

当R=L时，将（3）式简化为x=—L（cosθ—1）k—1，受cosθ

进一步归纳为两种基本情况：Rcosθ>L时，k>1，R>R′；R≤L时，k

因此，附加磁场方向与原磁场方向是相同还是相反，是由质子在原磁场中圆周运动的直径2R、撤去附加磁场时质子到达SS′连线上的位置2Rcosθ、以及SS′间距离2L共同决定的：如果将S称为发射位，S′称为目标位，三个质子在撤去附加磁场时到达SS′连线上的位置称为原落点，则可将线段关系简化为附加磁场能否将三个质子聚于一点的条件——目标位必须在三个原落点的同一侧：目标位在三个原落点的内（外）侧时，附加磁场方向与原磁场方向相同（反）.

二、附加磁场边界曲线的统一方程是什么？

从（1）、（2）两式消去θ和y′得附加磁场的左边界方程为

y=R2—（kx）2+R2—（L—kx+x）2，

当质子以任意角度θ在S点从SS′垂线右侧射入磁场时，附加磁场的边界方程变为

y=R2—（kx）2—R2—（L—kx+x）2，

将（4）式代入这两个方程得到相同的结果

y=R—k（kx）2，

说明两方程的对接点坐标为（—R—Lk—1，R2—（kx）2），

该点为质子b进入附加磁场时的位置.因此可将以上两个方程合并为

y=R2—（kx）2±R2—（L—kx+x）2，

（5）

再由对称性得附加磁场右边界方程为

y=R2—（kx）2±R2—（L+kx—x）2，

（6）

（5）、（6）两式即为附加磁场边界曲线的统一方程.

3 附加磁场边界曲线的形状是什么？

用绘图软件（如几何画板）赋予R、L、k以不同的数值时，附加磁场边界的形状得以显现：实线表示实际运行的轨迹、虚线表示撤去附加磁场时轨迹，用点状虚线表示附加磁场数学意义上的边界曲线，较粗实线表示附加磁场符合物理意义的边界曲线.如下表所示：

分类 图象 物理条件

k>1

R=1.0

L=0.8

k=1.4 —R—L k—1≤x≤0

θ

R=1.0

L=1.2

k=0.8 —L≤x≤R—L k—1

k=0

R=1.0

L=1.2

k=0 —L≤x≤0

k

R=1.0

L=1.2

k=—0.8 L 2k—1≤x≤R—L k—1

α和β都较小

从中可归纳出附加磁场的几个特点：

第一，特定条件下附加磁场将转化为磁聚焦的经典模式：当k=0时，（5）、（6）两式简化为（x+L）2+（y—R）2=R2和（x—L）+（y—R）2=R2，这是圆的方程，其物理边界为半圆，而 k=2R2R′=0意味着R′∞，曲线将变为直线，此时从 向任意方向射出的质子进入附加磁场后做匀速直线运动.

第二，附加磁场能否帮助原磁场将三个质子聚于一点是有条件的，即前面提到的“目标位必须在三个原落点的同一侧”.由于附加磁场只能在与原磁场方向相同或相反两种情况中选择其一，当目标位在三个原落点之间时，就会出现对某个质子表现为附加磁场与原磁场方向相同，而对另一个（或两个）质子表现为附加磁场与原磁场方向相反才能将三个质子聚于一点的两难选择，结果只能是不能实现聚于一点.

第三，附加磁场的边界形状是结果而不是条件.附加磁场边界曲线一定具有左右的对称性，一般不具有上下的对称性，也不一定是圆弧（经典模式除外），但大致来说的确。