平面向量题解法的切入点探究

【摘要】平面向量是高中数学中重要的、基本的概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.在高考中常以两种形式出现：其一，小题的形式出现时，主要围绕向量的基本运算和利用向量研究角、模长、平行和垂直等问题，考查向量的基础知识；其二，解答题形式出现时，向量与三角函数、解析几何等其他知识的综合问题，考查运用平面向量解决问题的能力，凸显平面向量的工具作用.

【关键词】平面向量；解题；探究

平面向量的小题大多涉及知识点少，题目入口宽，思路灵活多变.如何灵活运用已有的平面向量知识，选择有效的方法，快速准确地解决问题，困扰了不少学生.本文试图通过对一道平面向量问题的多角度分析，来总结平面向量问题常用的解题切入点予以归纳，为大家提供参考.

题目已知向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）c，ab，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是.

切入点一：数量积的直接运用

求解模长是平面向量的常见问题，应用数量积是容易入手的方法.对于数量积的应用，学生较易入手，此类解题思路最为常用.这个切入点需要在解题进行中不断调整，对于数量积的公式变换应用，如何将问题转化为已知条件的数量积表示是解题成功关键.

方法一（数量积的合理变换）

想求解|a|2+|b|2+|c|2可从a+b+c=0变换开始寻找思路.

由a+b+c=0可推出（a+b+c）2=02=0，即

a2+b2+c2+2a・b+2b・c+2c・a=0.（*）

只要解得三组数量积就能得出答案.

开始分析已知条件：

由ab可得a・b=0，①

由（a-b）c可得（a-b）・c=0，

即a・c-b・c=0.②

由a+b+c=0可知a・（a+b+c）=a・0=0，

即a2+a・c=0.③

上述三式联立可得a・c=b・c=-1.

代入（*）中可得|a|2+|b|2+|c|2=4.

方法二（数量积的合理变换）

由a+b+c=0可得c=-（a+b），结合（a-b）c可知（a-b）（a+b），即

（a-b）・（a+b）=a2-b2=0，

于是a2=b2=1.

由ab可得a・b=0，

结合c=-（a+b）可知

c2=（a+b）2=a2+2a・b+b2=a2+b2=2.

于是|a|2+|b|2+|c|2=4.

切入点二：平面向量的坐标运算

平面向量的坐标是平面向量基本定理数量化体现，将平面向量统一标准度量.坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一向量表示，达到转化问题，简单求解的目的.

方法三（平面向量的坐标应用，将向量问题转化为坐标问题）

由ab可以考虑借助坐标系，把向量问题坐标化.

由|a|=1，不妨设a=（1，0），b=（0，y）（y∈R），

则由a+b+c=0可得c=（-1，-y）.

由（a-b）c可得（1，-y）・（-1，-y）=0，即y2=1，

那么|a|2+|b|2+|c|2=1+y2+1+y2=4.

切入点三：图形运算与数形结合

向量的图形法则与数形结合切入点，适用于能将多个向量的计算问题转化为一个图形中的某个量计算.此类方法建立在学生熟悉平面几何中常见图形：三角形、平行四边形的相关性质，能够将图形中反映的几何度量问题与向量的图形运算有效结合起来，达到转化问题，减少运算，进而达成解题目标.

方法四（向量运算的图形法则运用，数形结合思想应用）

由a+b+c=0可得c=-（a+b），结合（a-b）c可知（a-b）（a+b），于是将图1中的矩形可进一步确定为正方形.（如图2）

至此，题目中所涉及的向量均已在图中体现，由|a|=1可推得|b|=1，|c|=2.

于是所求|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4.

单独考查平面向量的问题多为选择、填空题，要求学生能达到快速准确解答.这就要求学生整合个人知识方法，根据题目条件灵活选择数形结合法、坐标转化法、数量积的应用等方法，完成问题的等价转化之后进行求解.在日常练习中进行多角度思维训练，不断总结知识方法的应用情境，增强分析问题、转化问题、解决问题的能力.