浅谈数学习题设计与思维能力培养

习题教学是高中数学教学中不可或缺的组成部分。通过习题教学，将有助于加深学生对数学知识结构的巩固与深化，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的创造性、灵活性和变通性。

解题教学是数学教学的重要组成部分，是完成数学教学目的的重要手段。这就要求：在高中教学过程中，习题设计成为高中数学教师的经常性工作之一。高中数学习题设计技巧的高低不仅直接影响着学生的学习热情和学习积极性，还关系到学生创造性思维能力的训练和培养。因此，在教学过程中，设计一些能训练学生的创造性思维品质、促使学生多思多疑的习题，是高中数学教学中进行创造性教学的一个有效途径。

下面就结合本人在平时的教学过程中，如何通过习题设计有效地培养学生创造性思维的一些具体做法。

一、设计“多变型”的习题，培养学生创造性思维的变通性

设计“多变型”的习题是指教师在习题教学中不要只局限于就题论题，要在原题的基础上不断变换问题情境，使之变为更具有价值、有新意的新问题，使更多知识得到应用，从而获得“一题多练”“一题多得”的效果，使学生创造性思维的变通性得到培养和发展。

例1．等差数列{an}中，前n项的和记为Sn，若Sm=Sn（m≠n），求Sm+n的值。

针对例题1，不难发现，如果我们发现Sm，Sn，Sm+n之间的等量关系，就可以得出以下几种形式：

［变式1］设Sk为等差数列的前k项之和，则（n-m）Sm+n=（m+n）（Sn-Sm）。

该问题依赖于三个特殊的项：第m项，第n项，第m+n项，那么对任意的m，n，k项，问题有什么结论呢？我们可以设计变式2。

［变式2］等差数列的任意三项，分别为am，an，ak，则（n-k）am+（k-m）an+（m-n）ak=0。

证明：由等差数列有（an-ak）/（n-k）=（an-am）/（n-m）=d（公差）

即（n-k）（an-am）=（n-m）（an-ak）

得（n-k）am+（k-m）an+（m-n）ak=0

这个结果还可以表示为定比分点的形式：ak=｛（n-k）am+（m-n）ak｝/｛（n-k）+（m-n）｝，或者说，这是直线上三点（m，am），（n，an），（k，ak）共线的代数表述。

［变式3］等差数列的前m，n，k项的和依次为Sm，Sn，Sk，则（n-k）Sm/m+（k-m）Sn/n+（m-n）Sk/k=0

分析：在实际的解题过程中，学生总是根据问题的具体情境来决定解题方法，这种方法是受情境制约的，如果不对它进行概括和提炼，那么它的适用范围就非常有限。解题过程中，进行“举一反三”，对具体问题、具体方法进行二次加工，久而久之，就能逐渐开阔视野，从而提高解题能力。

二、设计“隐含性条件”的习题，培养学生创造性思维的深刻性

设计“隐含性条件”的习题是教师在编拟习题时，有意识地使题设条件隐而不露，学生只有通过认真审题、深入挖掘和仔细推敲，才能发现隐藏条件，作出正确的解答。而学生在这一分析、破译隐含信息的过程中，由于经过了深入思考，因此创造性思维的深刻性得到了培养和训练。

例2．求函数y=■的值域。

分析：本题常用判别式法，将原函数变形得：（y-1）x2+（y-4）x-3（2y+1）=0 ①

当y=1时，①式化为-3x=9，有解x=3；

当y≠1时，①式中x∈R Δ=（y-1）2+4×3（y-1）（2y+1）≥0，

即：25y2-20y+4≥0，解这个不等式得y∈R。故有些同学就认为原函数值域y∈R。导致结果错误。错误的原因是忽视了隐含条件“x2+x-6≠0”，即要使原函数有意义，必须有：x≠2且x≠-3。在此前提下，原函数可化为：y=■=■（y-1）x=2y+1

y≠1且x=■≠-3，解得y≠1且y≠■

原函数值域为：y∈（-∞，■）∪（■，1）∪（1，+∞）

例3．设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值是多少？

分析：本例题根据一元二次方程根与系数的关系易得：

α+β=2k，αβ=k+6

（α-1）2+（β+1）2=α2-2α+1+β2-2β+1

=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2

=4（k-■）2-■。

故有些同学就把答案写成了-■，这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度好好审视这个题目，就会发现：

原方程有两个实根α、β， Δ=4k2-4（k+6）≥0?圯k≤-2或k≥3

当k≥3时，（α-1）2+（β-1）2的最小值是8；当k≤-2时，（α-1）2+（β-1）2的最小值是18。所以该题的正确答案就只能是8。

此类习题就要求学生要抓住事物的本质，不能停留在问题的表层，学生通过挖掘题中的隐含条件，不仅有利于良好审题习惯的养成，而且有利于创造性思维深刻性的培养。

三、设计“多余性条件”的习题，培养创造性思维的批判性

“多余性条件”的习题就是指习题中的条件过剩，有用和无用的条件混在一起，形成干扰和迷惑，学生在解题时容易出现错误。此类习题的练习，可以防止学生滥用习题所给的条件、信息，乱套公式、公理，让学生逐步学会通过观察现象，抓住本质的方法，从而达到培养创造性思维的批判性品质。

例4．如果你有两张报纸，将其中的一张厚度为0.05 毫米的报纸对拆，再对拆……对拆50次后，报纸的厚度是多少？你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？（已知地球与月球的距离约为4×108米）

分析：该题中含有两个信息：“如果你有两张报纸”是“多余条件”。“将其中的一张厚度为0.05毫米的报纸对拆，再对拆……对拆50次后，报纸的厚度是多少？”才是关键信息，我们抓住了这个主干，就基本掌握了大局。对折50次后，报纸的厚度应理解为等比数列的第n项，易误理解为是等比数列的前n项和。

对折一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列an，则数列an是以an=0，a1=0.05×10-3米为首项，公比为2的等比数列。从而对折50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球间的距离为4×108

由例题4的解答可知，教师应在教学中，注意引导学生对多余条件的辨别与分析，以培养学生思维的批判性。

四、设计“转化型”习题，培养学生创造性思维的灵活性

“转化型”习题的特点是当运用题中所给情境解题而思路受阻时，转向与所给情境对立、相关、制约的一面，就可以迅速找到正确的解题途径。通过此类习题的设计，可以使学生的思维处于一种“追求另一角度思考问题”的动态之中，培养学生思维的灵活性。

例5．已知sinx+siny=■，求siny-cos2x的最大值。

分析：此题学生都能通过条件sinx+siny=■将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换元的转化思想令t=sinx，将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解。

由已知条件有siny=■-sinx且siny=■-sinx∈［-1，1］（结合sinx∈［-1，1］）得：-■≤sinx≤1，而siny-cos2x=■-sinx-cos2x=sin2x-sinx-■，令t=sinx（-■≤t≤1），则原式=t2-t-■（-■≤t≤1）。根据二次函数配方得：当t=-■即sinx=-■时，原式取得最大值■。

由例题5可知，有些习题按常规方法去思考，往往会迷失在“山重水复疑无路”的困惑之中，但我们若能够调整思维方向，把问题进行巧妙的转化后，就会有“柳暗花明又一村”之感。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。因此，转化技巧反映了创造性思维的灵活性。在高中数学教学中，要重视设计转化型习题，以训练学生创造性思维的灵活性。

总之，数学习题设计是教师的一种理论思维和艺术创造，旨在通过习题教学，提高学生对高中数学知识的加深与巩固，帮助学生提高分析问题的能力、解决问题的能力，同时增强学生思维的创新能力，最终实现以有效的数学习题设计为突破口，不断推进素质教育和新课程向纵深方向发展。

（作者单位 江苏省震泽中学城区校）